Correction Concours ENSAM Maroc 2023 — Mathématiques
Concours commun d’accès en 1ère année ENSAM — Session du 24 juillet 2023.
Correction pédagogique des 25 questions de mathématiques.
Cette page présente la correction détaillée du Concours ENSAM Maroc 2023 — Mathématiques.
Correction détaillée question par question
Question 1 — Existence et unicité
Dans \([1,\pi]\), l’équation \[ \ln(x)e^x-\cos(x)-1=0 \] admet :
Posons : \[ F(x)=e^x\ln x-\cos x-1. \] On a : \[ F(1)=-\cos(1)-1\lt0, \] et : \[ F(\pi)=e^\pi\ln\pi-\cos\pi-1=e^\pi\ln\pi\gt0. \] De plus : \[ F'(x)=e^x\ln x+\frac{e^x}{x}+\sin x. \] Sur \([1,\pi]\), on a : \[ \ln x\ge0,\qquad \frac{e^x}{x}\gt0,\qquad \sin x\ge0. \] Donc : \[ F'(x)\gt0. \] La fonction \(F\) est strictement croissante. Elle s’annule donc une seule fois dans \([1,\pi]\).
Question 2 — Somme géométrique
Pour \(n\in\mathbb{N}\), soit \[ S_n=1-\frac13-\frac1{3^2}-\cdots-\frac1{3^n}. \] Choisir la bonne réponse.
On calcule : \[ \sum_{k=1}^{n}\frac1{3^k} = \frac{\frac13(1-(\frac13)^n)}{1-\frac13} = \frac12\left(1-\frac1{3^n}\right). \] Donc : \[ S_n=1-\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right) = \frac12+\frac{1}{2\cdot3^n}. \] Ainsi : \[ S_n\to\frac12. \]
Question 3 — Suite récurrente
Soit la suite \((u_n)\) définie par : \[ \begin{cases} u_0=\dfrac12,\\[4pt] u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n^2+2u_n},\quad \forall n\ge0. \end{cases} \] Sachant que la suite \((u_n)_n\) est croissante, choisir la bonne réponse.
On cherche une limite éventuelle \(\ell\). Si \((u_n)\) converge, alors : \[ \ell=\sqrt[3]{\ell^2+2\ell}. \] Donc : \[ \ell^3=\ell^2+2\ell, \] d’où : \[ \ell(\ell^2-\ell-2)=0. \] Ainsi : \[ \ell\in\{0,-1,2\}. \] Comme \(u_0=\frac12\) et la suite est croissante, la seule limite possible est : \[ \ell=2. \] De plus, si \(0\lt u_n\lt2\), alors \(u_{n+1}\lt2\). La suite est donc croissante et majorée par \(2\), donc convergente vers \(2\).
Question 4 — Dérivabilité en zéro
Soit \(f\) une fonction dérivable en \(0\) telle que \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac12\). La limite \[ \ell=\lim_{x\to0}\frac{x}{f(x)+2f\left(\frac{x}{2}\right)+\cdots+n f\left(\frac{x}{n}\right)} \] est égale à :
Si \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f(0)=0\), alors on peut écrire : \[ f(t)=t\left(f'(0)+\varepsilon(t)\right), \qquad \varepsilon(t)\to0 \quad (t\to0). \] Dans cette correction, la notation \(u(t)\sim v(t)\) signifie : \[ \lim \frac{u(t)}{v(t)}=1. \] Autrement dit, \(u(t)\) et \(v(t)\) ont le même terme principal pour le calcul de la limite.
Ici \(f(0)=0\) et \(f'(0)=\dfrac12\). Donc : \[ f(t)=t\left(\frac12+\varepsilon(t)\right), \qquad \varepsilon(t)\to0. \] Pour \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\), on applique cette relation à \(t=\dfrac{x}{k}\). Lorsque \(x\to0\), on a \(\dfrac{x}{k}\to0\), donc : \[ f\left(\frac{x}{k}\right) = \frac{x}{k}\left(\frac12+\varepsilon\left(\frac{x}{k}\right)\right). \] Ainsi : \[ k f\left(\frac{x}{k}\right) = x\left(\frac12+\varepsilon\left(\frac{x}{k}\right)\right). \] Le dénominateur devient : \[ \sum_{k=1}^{n}k f\left(\frac{x}{k}\right) = x\left(\frac n2+\sum_{k=1}^{n}\varepsilon\left(\frac{x}{k}\right)\right). \] Comme \(n\) est fixé et \(\varepsilon\left(\frac{x}{k}\right)\to0\), on obtient : \[ \frac{\sum_{k=1}^{n}k f\left(\frac{x}{k}\right)}{x} \to \frac n2. \] Donc : \[ \ell= \lim_{x\to0} \frac{x}{\sum_{k=1}^{n}k f\left(\frac{x}{k}\right)} = \frac{1}{n/2} = \frac2n. \]
Question 5 — Étude locale en zéro
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=\frac{e^{x^2}-\cos(x)}{x}\quad \text{si }x\ne0 \] et \(f(0)=0\), et soit \(C_f\) la courbe représentative de \(f\). Choisir la bonne réponse.
Au voisinage de \(0\), on garde les termes utiles jusqu’à l’ordre \(2\). On écrit les petites erreurs avec des fonctions \(\varepsilon_1\) et \(\varepsilon_2\) qui tendent vers \(0\).
On a : \[ e^{x^2}=1+x^2+x^2\varepsilon_1(x), \qquad \varepsilon_1(x)\to0, \] et : \[ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon_2(x), \qquad \varepsilon_2(x)\to0. \]
On calcule le numérateur : \[ e^{x^2}-\cos x = \left(1+x^2+x^2\varepsilon_1(x)\right) - \left(1-\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon_2(x)\right). \] Donc : \[ e^{x^2}-\cos x = x^2\left(\frac32+\varepsilon_1(x)-\varepsilon_2(x)\right). \] Pour \(x\ne0\), on obtient : \[ f(x)= \frac{e^{x^2}-\cos x}{x} = x\left(\frac32+\varepsilon_1(x)-\varepsilon_2(x)\right). \] Comme \(\varepsilon_1(x)\to0\) et \(\varepsilon_2(x)\to0\), on a : \[ f(x)\to0=f(0). \] Donc \(f\) est continue en \(0\). De plus : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{f(x)}{x} = \frac32+\varepsilon_1(x)-\varepsilon_2(x) \to \frac32. \] Ainsi : \[ f'(0)=\frac32. \] La tangente en \(O\) est donc : \[ y=\frac32x. \]
Question 6 — Branche infinie
Soit \[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x}}-\frac{\ln(x)}{1+x}. \] La courbe représentative \(C_f\) de \(f\) admet en \(+\infty\) :
Quand \(x\to+\infty\), on a : \[ \frac{e^x}{\sqrt x}\to+\infty, \] car l’exponentielle \(e^x\) devient beaucoup plus grande que \(\sqrt x\).
D’autre part : \[ \frac{\ln x}{1+x}\to0. \] Donc : \[ f(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x}}-\frac{\ln(x)}{1+x}\to+\infty. \] Pour étudier la direction de la branche infinie, on calcule : \[ \frac{f(x)}{x} = \frac{e^x}{x\sqrt x} - \frac{\ln x}{x(1+x)}. \] Or : \[ \frac{e^x}{x\sqrt x}\to+\infty, \qquad \frac{\ln x}{x(1+x)}\to0. \] Donc : \[ \frac{f(x)}{x}\to+\infty. \] La courbe n’admet donc ni asymptote horizontale ni asymptote oblique en \(+\infty\). Elle possède une branche infinie de direction l’axe des ordonnées.
Question 7 — Lieu complexe
Pour \(z\in\mathbb{C}\), on note par \(M(z)\) le point du plan complexe d’affixe \(z\). L’ensemble \[ A=\{M(z):2z+2\overline{z}+z\overline{z}=0\} \] est :
Posons : \[ z=x+iy. \] Alors : \[ z+\overline z=2x, \] et : \[ z\overline z=x^2+y^2. \] Donc : \[ 2z+2\overline z+z\overline z=0 \] équivaut à : \[ 4x+x^2+y^2=0. \] Ainsi : \[ (x+2)^2+y^2=4. \] C’est un cercle de centre \((-2,0)\) et de rayon \(2\).
Question 8 — Distance d’un point à un plan
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) avec \(\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=\|\vec{k}\|=1\,\text{cm}\), on considère le plan \((P)\) passant par \(O\) et de vecteur normal \(\vec n(2,-1,3)\).
La distance \(d\) du point \(A(1,0,-1)\) au plan \((P)\) est égale à :
Comme \((P)\) passe par \(O\) et a pour vecteur normal \((2,-1,3)\), son équation est : \[ 2x-y+3z=0. \] La distance de \(A(1,0,-1)\) au plan est : \[ d=\frac{|2\cdot1-0+3(-1)|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}. \] Donc : \[ d=\frac{|2-3|}{\sqrt{14}} = \frac1{\sqrt{14}}. \]
Question 9 — Deux intégrales liées
Pour \(n\in\mathbb{N}\), soit \[ I_n=\int_0^1\frac{x^n}{1+x^n}\,dx \quad\text{et}\quad J_n=\int_0^1\frac{1}{1+x^n}\,dx. \] Choisir la bonne réponse.
On additionne les intégrandes : \[ \frac{x^n}{1+x^n}+\frac1{1+x^n}=1. \] Donc : \[ I_n+J_n=\int_0^1 1\,dx=1. \] De plus, pour \(x\in[0,1[\), on a \(x^n\to0\). Ainsi : \[ I_n\to0, \qquad J_n\to1. \]
Question 10 — Valeur d’un polynôme
Pour \(n\in\mathbb{N}^*\) et \(a\in\mathbb{R}\), soit le polynôme \[ P=X^n+aX^{n-1}+aX^{n-2}+\cdots+aX+a. \] Le nombre réel \(P(1-a)\) est égal à :
Posons : \[ r=1-a. \] Alors : \[ a=1-r. \] On obtient : \[ P(r)=r^n+(1-r)(r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+r+1). \] Or : \[ (1-r)(1+r+\cdots+r^{n-1})=1-r^n. \] Donc : \[ P(r)=r^n+1-r^n=1. \] Ainsi : \[ P(1-a)=1. \]
Question 11 — Équation fonctionnelle
Soit \(f\) une fonction de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}^*\) telle que : \[ f(x-y)=f(x)f(y),\qquad \forall(x,y)\in\mathbb{R}^2. \] Choisir la bonne réponse.
En prenant \(x=y\), on obtient : \[ f(0)=f(x)^2. \] En prenant \(x=y=0\), on obtient : \[ f(0)=f(0)^2. \] Comme \(f(0)\ne0\), on a : \[ f(0)=1. \] Donc : \[ f(x)^2=1. \] En prenant \(x=0\), on obtient : \[ f(-y)=f(y), \] donc \(f\) est paire. Ainsi : \[ f(x)=f\left(\frac{x}{2}-\left(-\frac{x}{2}\right)\right) =f\left(\frac{x}{2}\right)f\left(-\frac{x}{2}\right) =f\left(\frac{x}{2}\right)^2=1. \] Donc : \[ f(x)=1,\quad \forall x\in\mathbb R. \]
Question 12 — Équation trigonométrique
L’équation \[ 1+\cos(x)+\cos(2x)=0 \] admet dans \(]-\pi,\pi]\) :
On utilise : \[ \cos(2x)=2\cos^2x-1. \] L’équation devient : \[ 1+\cos x+2\cos^2x-1=0. \] Donc : \[ \cos x(2\cos x+1)=0. \] Ainsi : \[ \cos x=0 \quad\text{ou}\quad \cos x=-\frac12. \] Dans \(]-\pi,\pi]\), les solutions sont : \[ -\frac\pi2,\quad \frac\pi2,\quad -\frac{2\pi}{3},\quad \frac{2\pi}{3}. \]
Question 13 — Équation dans \(\mathbb Z^2\)
Dans \(\mathbb{Z}^2\), l’équation \[ x^2-3y^2=8 \] admet :
La notation \(a\equiv b\pmod m\) signifie que \(a\) et \(b\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(m\). Pour montrer qu’une équation n’a pas de solution entière, on peut chercher une contradiction sur les restes modulo un entier bien choisi.
On raisonne modulo \(3\). L’équation donne : \[ x^2\equiv8\pmod3. \] Or : \[ 8\equiv2\pmod3. \] Donc : \[ x^2\equiv2\pmod3. \] Mais les carrés modulo \(3\) sont seulement : \[ 0\quad\text{ou}\quad1. \] C’est impossible.
Question 14 — Reste d’une division
Le reste \(r\) de la division euclidienne de \[ 2022^{2023} \] est :
Le diviseur n’est pas précisé. Or un reste de division euclidienne n’a de sens que si le diviseur est indiqué. On ne peut donc pas déterminer \(r\) avec certitude à partir de l’énoncé disponible.
Question 15 — Chiffre des unités
Soit \(u\) le chiffre des unités du nombre entier naturel \[ 4444^{6666}+6666^{4444}. \] Choisir la bonne réponse.
Le chiffre des unités de \(4444^{6666}\) est celui de : \[ 4^{6666}. \] Les puissances de \(4\) alternent \(4,6,4,6,\ldots\). Comme \(6666\) est pair, le chiffre des unités est \(6\).
Le chiffre des unités de \(6666^{4444}\) est toujours \(6\). Donc le chiffre des unités de la somme est celui de : \[ 6+6=12. \] Ainsi : \[ u=2. \]
Question 16 — Probabilité totale
Une enquête faite auprès de la population étudiante d’un campus révèle : la population féminine représente \(48\%\) de la population totale, \(60\%\) des filles possèdent des compétences en soft skills et \(20\%\) des garçons sont sans compétences.
Quelle est la probabilité \(P\) pour qu’un étudiant interrogé au hasard soit sans compétences ?
La proportion de filles sans compétences est : \[ 48\%\times40\%=0,48\times0,40=0,192. \] La proportion de garçons est : \[ 52\%. \] La proportion de garçons sans compétences est : \[ 52\%\times20\%=0,52\times0,20=0,104. \] Donc : \[ P=0,192+0,104=0,296. \] Ainsi : \[ P=\frac{37}{125}. \]
Question 17 — Nombre de formules de voyage
Une société de voyage marocaine propose aux touristes pressés une formule « Le Maroc en huit jours ». Il s’agit de visiter 4 villes principales, en passant 2 jours dans chaque ville.
Ces villes sont Meknès, Fès, Taza, Rabat, Marrakech et Agadir, suivant le goût de chaque client. Quel est le nombre \(N\) de formules possibles ?
Lorsqu’on choisit \(p\) objets parmi \(n\) et que l’ordre compte, on utilise les arrangements : \[ A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1). \] Ici, une formule de voyage correspond à un itinéraire : visiter Meknès puis Fès n’est pas la même formule que visiter Fès puis Meknès.
On doit choisir et ordonner \(4\) villes parmi les \(6\) villes proposées. Le nombre de formules possibles est donc : \[ A_6^4=6\times5\times4\times3. \] Ainsi : \[ N=360. \]
Question 18 — Tangente d’un angle
En donnant la forme géométrique et la forme algébrique du nombre complexe \[ \frac{1+i\sqrt3}{2-2i}, \] déterminer la valeur de \[ \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right). \]
On a : \[ \frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}. \] Donc : \[ \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{3}+\tan\frac{\pi}{4}}{1-\tan\frac{\pi}{3}\tan\frac{\pi}{4}}. \] Ainsi : \[ \tan\left(\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3}. \] En simplifiant : \[ \frac{\sqrt3+1}{1-\sqrt3} = -2-\sqrt3. \]
Question 19 — Nature d’un quadrilatère complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A,B,C\) et \(D\) d’affixes respectivement \(a,b,c\) et \(d\).
Sachant que \[ a+c=b+d \quad\text{et}\quad \frac{c-a}{b-d}=i, \] donner la nature du quadrilatère \(ABCD\).
La relation : \[ a+c=b+d \] signifie que les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) ont le même milieu. Donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
La relation : \[ c-a=i(b-d) \] signifie que les vecteurs diagonaux sont perpendiculaires et de même longueur, car la multiplication par \(i\) est une rotation d’angle \(\frac\pi2\). Dans un parallélogramme, si les diagonales sont à la fois perpendiculaires et de même longueur, alors le quadrilatère est un carré.
Question 20 — Limite exponentielle
Calculer la limite \[ \lim_{x\to1^-} f(x), \] où \[ f(x)=\frac{e^{\frac{2}{\ln(x)}}}{\sqrt{x}-1}. \]
Quand \(u\to0\), on a : \[ e^u-1=u+u\varepsilon(u), \qquad \varepsilon(u)\to0. \] On utilisera aussi le fait que, lorsque \(y\to+\infty\), l’exponentielle \(e^{2y}\) devient plus grande que \(y\), donc : \[ \frac{y}{e^{2y}}\to0. \]
Posons : \[ t=\ln x. \] Quand \(x\to1^-\), on a : \[ t\to0^-. \] Comme \(x=e^t\), on obtient : \[ \sqrt{x}-1=e^{t/2}-1. \] En appliquant le rappel avec \(u=\frac t2\), on a : \[ e^{t/2}-1=\frac t2+\frac t2\,\varepsilon\left(\frac t2\right), \qquad \varepsilon\left(\frac t2\right)\to0. \] Donc : \[ \sqrt{x}-1=\frac t2\left(1+\varepsilon\left(\frac t2\right)\right). \] Ainsi : \[ f(x) = \frac{e^{2/t}}{\frac t2\left(1+\varepsilon\left(\frac t2\right)\right)}. \] Il reste à étudier \(\dfrac{e^{2/t}}{t}\) lorsque \(t\to0^-\). Posons : \[ y=-\frac1t. \] Alors \(y\to+\infty\), et : \[ \frac{e^{2/t}}{t} = -y e^{-2y} = -\frac{y}{e^{2y}} \to0. \] Donc : \[ f(x)\to0. \]
Question 21 — Intégrale logarithmique
Calculer l’intégrale \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)+\sin(x)}\,dx. \]
On remarque que : \[ (\cos x+\sin x)'=-\sin x+\cos x=\cos x-\sin x. \] Donc : \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{(\cos x+\sin x)'}{\cos x+\sin x}\,dx. \] Ainsi : \[ I=\left[\ln(\cos x+\sin x)\right]_0^{\frac{\pi}{4}}. \] Or : \[ \cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}=\sqrt2, \] et : \[ \cos0+\sin0=1. \] Donc : \[ I=\ln(\sqrt2)=\frac12\ln2. \]
Question 22 — Volume de révolution
Soit \[ f(x)=\frac{\sqrt{xe^x}}{e^x+1} \] et soit \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) tel que \(\|\vec i\|=\|\vec j\|=1\,\text{cm}\).
Calculer le volume \(V\) du solide engendré par la rotation de \(C_f\) autour de l’axe des abscisses et délimité par les plans d’équations \(x=0\) et \(x=1\).
Le volume est : \[ V=\pi\int_0^1 f(x)^2\,dx. \] Or : \[ f(x)^2=\frac{xe^x}{(e^x+1)^2}. \] Donc : \[ V=\pi\int_0^1\frac{xe^x}{(e^x+1)^2}\,dx. \] On utilise : \[ \left(\frac1{e^x+1}\right)'=-\frac{e^x}{(e^x+1)^2}. \] Par intégration par parties : \[ \int_0^1\frac{xe^x}{(e^x+1)^2}\,dx = -\left[\frac{x}{e^x+1}\right]_0^1+\int_0^1\frac{dx}{e^x+1}. \] Or : \[ \int\frac{dx}{e^x+1}=x-\ln(1+e^x). \] Donc : \[ \int_0^1\frac{xe^x}{(e^x+1)^2}\,dx = -\frac1{e+1}+1-\ln(1+e)+\ln2. \] Ainsi : \[ V=\pi\left(\frac{e}{e+1}+\ln\frac{2}{e+1}\right). \]
Question 23 — Plan tangent à une sphère
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’origine \(O\), on considère la sphère \(S\) d’équation cartésienne : \[ x^2+y^2+z^2-2y-2z=0. \]
Déterminer l’équation cartésienne du plan \((P)\) tangent à la sphère \(S\) au point \(O\).
On écrit : \[ x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=2. \] Le centre de la sphère est : \[ C(0,1,1). \] Le point de tangence est : \[ O(0,0,0). \] Le vecteur normal au plan tangent est : \[ \overrightarrow{CO}=(0,-1,-1). \] Donc l’équation du plan tangent passant par \(O\) est : \[ -y-z=0. \] Ainsi : \[ y+z=0. \]
Question 24 — Équation différentielle
On considère l’équation différentielle \[ (E):\quad y''-2y'+2y=\cos(x)+2\sin(x). \]
Sachant que la fonction \(x\mapsto\cos(x)\) est une solution de \((E)\), déterminer la solution particulière \(y_0\) de \((E)\) telle que sa courbe représentative passe par l’origine \(O\) et ayant une tangente en \(O\) de coefficient directeur \(-1\).
Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, on commence par l’équation homogène associée. Si l’équation caractéristique admet deux racines complexes \(a\pm ib\), alors la solution homogène est : \[ e^{ax}(A\cos bx+B\sin bx). \] La solution générale de l’équation complète est : \[ \text{solution particulière}+\text{solution homogène}. \]
L’équation homogène associée est : \[ y''-2y'+2y=0. \] Son équation caractéristique est : \[ r^2-2r+2=0, \] d’où : \[ r=1\pm i. \] La solution générale est donc : \[ y(x)=\cos x+e^x(A\cos x+B\sin x). \] La condition \(y(0)=0\) donne : \[ 1+A=0, \] donc : \[ A=-1. \] On dérive : \[ y'(0)=A+B. \] La condition \(y'(0)=-1\) donne : \[ -1+B=-1, \] donc : \[ B=0. \] Ainsi : \[ y_0(x)=\cos x-e^x\cos x. \]
Question 25 — Optimisation d’une boîte
Une boîte en carton parallélépipède rectangle ouverte sur le dessus a un volume de \(32\,\text{cm}^3\) et une arête de la base de dessous de longueur \(4\,\text{cm}\).
Quelles doivent être ses dimensions pour que sa surface totale soit minimale ?
Soit \(x\) l’autre arête de la base et \(h\) la hauteur. Le volume donne : \[ 4xh=32, \] donc : \[ h=\frac8x. \] La surface sans couvercle est : \[ S=4x+2(4h)+2(xh). \] Donc : \[ S(x)=4x+8h+2xh. \] En remplaçant \(h=\frac8x\), on obtient : \[ S(x)=4x+\frac{64}{x}+16. \] On dérive : \[ S'(x)=4-\frac{64}{x^2}. \] Le minimum est atteint lorsque : \[ 4-\frac{64}{x^2}=0. \] Donc : \[ x^2=16, \] et comme \(x\gt0\) : \[ x=4. \] Alors : \[ h=\frac84=2. \] Les dimensions sont donc : \[ 4\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\times2\,\text{cm}. \]
Tableau récapitulatif des réponses finales
| Question | Réponse | Remarque |
|---|---|---|
| Q1 | Une solution unique | |
| Q2 | \(\frac12+\frac{1}{2\cdot3^n}\), limite \(\frac12\) | |
| Q3 | \(2\) | |
| Q4 | \(\frac2n\) | |
| Q5 | Tangente \(y=\frac32x\) | |
| Q6 | Branche de direction \((Oy)\) | |
| Q7 | Cercle de centre \((-2,0)\), rayon \(2\) | |
| Q8 | \(\frac1{\sqrt{14}}\) | |
| Q9 | \(I_n+J_n=1\), \(I_n\to0\), \(J_n\to1\) | |
| Q10 | \(1\) | |
| Q11 | \(f\equiv1\) | |
| Q12 | 4 solutions | |
| Q13 | Aucune solution | |
| Q14 | Énoncé incomplet | Diviseur non visible dans la transcription. |
| Q15 | \(2\) | |
| Q16 | \(\frac{37}{125}\) | |
| Q17 | \(360\) | |
| Q18 | \(-2-\sqrt3\) | |
| Q19 | Carré | |
| Q20 | \(0\) | |
| Q21 | \(\frac12\ln2\) | |
| Q22 | \(\pi\left(\frac{e}{e+1}+\ln\frac{2}{e+1}\right)\) | |
| Q23 | \(y+z=0\) | |
| Q24 | \((1-e^x)\cos x\) | |
| Q25 | \(4\,\text{cm}\times4\,\text{cm}\times2\,\text{cm}\) |
Conseil aux élèves
Cette épreuve ENSAM 2023 mobilise principalement : continuité, suites, limites, complexes, géométrie dans l’espace, intégrales, arithmétique, probabilités, dénombrement, équations différentielles et optimisation.
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