Concours ENSAM Maroc 2024 — Énoncé de mathématiques
Concours commun d’accès en 1re année ENSAM — Session du 29 juillet 2024
Version pédagogique destinée à l’entraînement des candidats
Présentation du sujet
Cette page rassemble les questions de mathématiques disponibles pour le concours ENSAM Maroc 2024. La ressource est mise en forme pour faciliter la lecture, l’entraînement et la navigation entre les questions.
La version consultée annonce 25 QSM et une durée de 2 h 15 min. Cette présentation pédagogique ne remplace pas le document officiel du concours.
Énoncé question par question
QCM 1 — Probabilité d’avoir tout juste
On propose à un candidat un QCM de 30 questions. Pour chaque question, il y a 5 réponses possibles dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité \(P\) pour que toutes ses réponses soient justes sachant qu’il va répondre au hasard à ce questionnaire ?
La probabilité \(P\) est égale à :
QCM 2 — Dérivée de la réciproque
Soit \(f(x)=x+\ln x\) une fonction strictement croissante et bijective de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) sa fonction réciproque qui est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Quelle est la valeur de \(g'(x)\) ?
QCM 3 — Dérivée en zéro
On pose : \[ f(x)=(1+x)(1+2x)\cdots(1+nx). \] Cocher la valeur de \(f'(0)\).
QCM 4 — Limite de suite
Déterminer la limite de la suite de terme général : \[ u_n=\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2},\qquad n\in\mathbb{N}^*. \]
La suite de terme général \(u_n\) tend vers :
QCM 5 — Racine cinquième de l’unité
Soit \(u\) une racine 5ème de l’unité et \(u\ne1\). Calculer : \[ 1+u+u^2+u^3. \]
QCM 6 — Parallélogramme complexe
Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives : \[ 1+4i,\qquad 2-i,\qquad -3-5i. \]
Déterminer l’affixe \(z_D\) du point \(D\) tel que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme.
QCM 7 — Modulo \(17\)
Quel est le reste \(r\) de la division de : \[ 1^{17}+2^{17}+3^{17}+\cdots+15^{17} \] par \(17\) ?
QCM 8 — Divisibilité par \(13\)
Pour \(n\in\mathbb{N}\), on définit l’entier : \[ A_n=1+5^n+5^{2n}+5^{3n}. \] Déterminer la condition nécessaire et suffisante pour laquelle \(A_n\) est un multiple de \(13\).
QCM 9 — Loi de composition
On définit dans \(\mathbb{R}^2\) la loi notée \(*\) par : \[ \forall\big((x,y),(x',y')\big)\in(\mathbb{R}^2)^2,\qquad (x,y)*(x',y')=(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x}). \]
Choisir la bonne réponse :
QCM 10 — Bijection sur \([0,1]\)
Soit \(f\) une fonction définie, continue et strictement monotone de \([0,1]\) sur \([0,1]\).
Pour tout \(\alpha\in[0,1]\), l’équation : \[ f(x^2)=\alpha \] admet :
QCM 11 — Intégrale dépendant d’un paramètre
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par : \[ f(t)=\int_0^1\frac{dx}{t+\sin x}. \] Choisir la bonne réponse :
QCM 12 — Rolle
Soit \(f\) la fonction définie par : \[ f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3). \] L’équation \(f'(x)=0\) admet sur \(\mathbb{R}\) :
QCM 13 — Limite avec racine quatrième
Déterminer la limite : \[ \ell=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[4]{20x^2-4}-2}{2x^2+x-3}. \]
La limite \(\ell\) est égale à :
QCM 14 — Forme trigonométrique
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe : \[ z=\sin\theta+2i\sin^2\frac{\theta}{2}. \] Cocher la bonne réponse :
QCM 15 — Fonction impaire
Calculer la valeur de l’intégrale : \[ I=\int_{-7}^{7}(x^3-5x)^{13}\,dx. \] Choisir la bonne réponse :
QCM 16 — Partie entière
On désigne par \([x]\) la partie entière de \(x\). Calculer la valeur \(\ell\) de : \[ \lim_{x\to0}\left([x^2]-[x]^2\right). \]
QCM 17 — Série \(\sum nr^n\)
Calculer la valeur de la somme : \[ S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{5^n} =\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{5^k}. \]
QCM 18 — Inéquation
Soit \(f\) la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}-1. \]
Déterminer dans \(\mathbb{R}\) l’ensemble \(S\) des solutions de l’inéquation : \[ f(x)\le x. \]
QCM 19 — Somme télescopique
On note : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n \] pour tout \(n\in\mathbb{N}\), avec : \[ v_n=\ln\left(\frac{n+2}{n+3}\right). \] Déterminer : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]
QCM 20 — Puissance complexe
Écrire sous forme algébrique le complexe : \[ z=\left(\frac{1+i\sqrt3}{1-i}\right)^{20}. \]
QCM 21 — Intégrale trigonométrique
Calculer : \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(t)\sin^2(t)\,dt. \]
QCM 22 — Lieu complexe
Soit \(z=x+iy\), \(x\) et \(y\) étant deux réels tels que \((x,y)\ne(1,0)\).
On pose : \[ Z=\frac{z+2i}{z-1}. \]
L’ensemble \(E\) des points d’affixe \(z\) tel que \(Z\) soit un imaginaire pur est un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\), privé d’un point \(M\). Déterminer les coordonnées des points \(C\) et \(M\), et la valeur du rayon \(r\).
QCM 23 — Primitive avec racine
Déterminer l’ensemble \(P\) des primitives de la fonction : \[ x\mapsto \frac{\sin(\sqrt x)}{\sqrt x}. \]
QCM 25-A — Équation cubique complexe
Soit : \[ P(z)=z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i. \] Résoudre l’équation \(P(z)=0\), sachant qu’elle admet un imaginaire pur comme solution.
QCM 25-B — Limite trigonométrique
Calculer : \[ I=\lim_{x\to0}\sin\sqrt{\frac{2x^2}{1-\cos x}}. \]
Conseil de travail
Traitez d’abord les questions sans consulter la correction. Notez les résultats obtenus, puis comparez vos démarches avec la correction détaillée. Pour les questions à choix multiples, justifiez chaque réponse avant de sélectionner une proposition.
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