Concours ENSAM Maroc 2024 — Énoncé de mathématiques
Concours commun d’accès en 1re année ENSAM — Session du 29 juillet 2024
Version pédagogique destinée à l’entraînement des candidats
Compétences et points clés
ENSAM 2024 propose une collection pédagogique dont la numérotation disponible passe de 23 à 25-A et 25-B. Réciproque, Rolle, arithmétique et partie entière demandent des contrôles précis ; la préparation respecte cette numérotation sans ajouter de question absente.
Prérequis à revoir : image d’un intervalle, monotonie et dérivée; continuité, dérivabilité et zéros d’une fonction; limites usuelles et définition du nombre dérivé.
Rappels de cours utiles
Fonction réciproque. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle vers son image. Au point correspondant à un nombre dérivé non nul, la dérivée de la réciproque est son inverse multiplicatif, évalué au bon antécédent. L’image doit être déterminée avant de composer les fonctions.
Théorème de Rolle. Rolle s’applique à une fonction continue sur un segment, dérivable à son intérieur et prenant la même valeur aux deux bornes. Il garantit alors un point intérieur où la dérivée s’annule. Pour compter des zéros, choisir les segments entre des racines distinctes et vérifier ces conditions sur chacun.
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour la dérivée de la réciproque, utiliser l’antécédent dans la dérivée de la fonction initiale. Pour Rolle, vérifier les trois conditions avant la conclusion. Pour la partie entière près de zéro, séparer les limites latérales. Dans les racines de l’unité, conserver l’exclusion de la racine égale à un.
Présentation du sujet
Cette page rassemble les questions de mathématiques disponibles pour le concours ENSAM Maroc 2024. La ressource est mise en forme pour faciliter la lecture, l’entraînement et la navigation entre les questions.
La version consultée annonce 25 QSM et une durée de 2 h 15 min. Cette présentation pédagogique ne remplace pas le document officiel du concours.
Énoncé question par question
QCM 1 — Probabilité d’avoir tout juste
On propose à un candidat un QCM de 30 questions. Pour chaque question, il y a 5 réponses possibles dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité \(P\) pour que toutes ses réponses soient justes sachant qu’il va répondre au hasard à ce questionnaire ?
La probabilité \(P\) est égale à :
QCM 2 — Dérivée de la réciproque
Soit \(f(x)=x+\ln x\) une fonction strictement croissante et bijective de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) sa fonction réciproque qui est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Quelle est la valeur de \(g'(x)\) ?
QCM 3 — Dérivée en zéro
On pose : \[ f(x)=(1+x)(1+2x)\cdots(1+nx). \] Cocher la valeur de \(f'(0)\).
QCM 4 — Limite de suite
Déterminer la limite de la suite de terme général : \[ u_n=\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2},\qquad n\in\mathbb{N}^*. \]
La suite de terme général \(u_n\) tend vers :
QCM 5 — Racine cinquième de l’unité
Soit \(u\) une racine 5ème de l’unité et \(u\ne1\). Calculer : \[ 1+u+u^2+u^3. \]
QCM 6 — Parallélogramme complexe
Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives : \[ 1+4i,\qquad 2-i,\qquad -3-5i. \]
Déterminer l’affixe \(z_D\) du point \(D\) tel que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme.
QCM 7 — Modulo \(17\)
Quel est le reste \(r\) de la division de : \[ 1^{17}+2^{17}+3^{17}+\cdots+15^{17} \] par \(17\) ?
QCM 8 — Divisibilité par \(13\)
Pour \(n\in\mathbb{N}\), on définit l’entier : \[ A_n=1+5^n+5^{2n}+5^{3n}. \] Déterminer la condition nécessaire et suffisante pour laquelle \(A_n\) est un multiple de \(13\).
QCM 9 — Loi de composition
On définit dans \(\mathbb{R}^2\) la loi notée \(*\) par : \[ \forall\big((x,y),(x',y')\big)\in(\mathbb{R}^2)^2,\qquad (x,y)*(x',y')=(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x}). \]
Choisir la bonne réponse :
QCM 10 — Bijection sur \([0,1]\)
Soit \(f\) une fonction définie, continue et strictement monotone de \([0,1]\) sur \([0,1]\).
Pour tout \(\alpha\in[0,1]\), l’équation : \[ f(x^2)=\alpha \] admet :
QCM 11 — Intégrale dépendant d’un paramètre
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par : \[ f(t)=\int_0^1\frac{dx}{t+\sin x}. \] Choisir la bonne réponse :
QCM 12 — Rolle
Soit \(f\) la fonction définie par : \[ f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3). \] L’équation \(f'(x)=0\) admet sur \(\mathbb{R}\) :
QCM 13 — Limite avec racine quatrième
Déterminer la limite : \[ \ell=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[4]{20x^2-4}-2}{2x^2+x-3}. \]
La limite \(\ell\) est égale à :
QCM 14 — Forme trigonométrique
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe : \[ z=\sin\theta+2i\sin^2\frac{\theta}{2}. \] Cocher la bonne réponse :
QCM 15 — Fonction impaire
Calculer la valeur de l’intégrale : \[ I=\int_{-7}^{7}(x^3-5x)^{13}\,dx. \] Choisir la bonne réponse :
QCM 16 — Partie entière
On désigne par \([x]\) la partie entière de \(x\). Calculer la valeur \(\ell\) de : \[ \lim_{x\to0}\left([x^2]-[x]^2\right). \]
QCM 17 — Série \(\sum nr^n\)
Calculer la valeur de la somme : \[ S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{5^n} =\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{5^k}. \]
QCM 18 — Inéquation
Soit \(f\) la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}-1. \]
Déterminer dans \(\mathbb{R}\) l’ensemble \(S\) des solutions de l’inéquation : \[ f(x)\le x. \]
QCM 19 — Somme télescopique
On note : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n \] pour tout \(n\in\mathbb{N}\), avec : \[ v_n=\ln\left(\frac{n+2}{n+3}\right). \] Déterminer : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]
QCM 20 — Puissance complexe
Écrire sous forme algébrique le complexe : \[ z=\left(\frac{1+i\sqrt3}{1-i}\right)^{20}. \]
QCM 21 — Intégrale trigonométrique
Calculer : \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(t)\sin^2(t)\,dt. \]
QCM 22 — Lieu complexe
Soit \(z=x+iy\), \(x\) et \(y\) étant deux réels tels que \((x,y)\ne(1,0)\).
On pose : \[ Z=\frac{z+2i}{z-1}. \]
L’ensemble \(E\) des points d’affixe \(z\) tel que \(Z\) soit un imaginaire pur est un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\), privé d’un point \(M\). Déterminer les coordonnées des points \(C\) et \(M\), et la valeur du rayon \(r\).
QCM 23 — Primitive avec racine
Déterminer l’ensemble \(P\) des primitives de la fonction : \[ x\mapsto \frac{\sin(\sqrt x)}{\sqrt x}. \]
QCM 25-A — Équation cubique complexe
Soit : \[ P(z)=z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i. \] Résoudre l’équation \(P(z)=0\), sachant qu’elle admet un imaginaire pur comme solution.
QCM 25-B — Limite trigonométrique
Calculer : \[ I=\lim_{x\to0}\sin\sqrt{\frac{2x^2}{1-\cos x}}. \]
Conseil de travail
Traitez d’abord les questions sans consulter la correction. Notez les résultats obtenus, puis comparez vos démarches avec la correction détaillée. Pour les questions à choix multiples, justifiez chaque réponse avant de sélectionner une proposition.
Commentaires
Enregistrer un commentaire