Correction Concours ENSAM Maroc 2024 — Mathématiques
Concours commun d’accès en 1ère année ENSAM — Session du 29 juillet 2024.
Correction pédagogique de l’énoncé de mathématiques.
Cette page présente la correction du Concours ENSAM Maroc 2024 — Mathématiques. La version consultée annonce 25 QSM et une durée de 2 h 15 min.
Correction détaillée question par question
QCM 1 — Probabilité d’avoir tout juste
On propose à un candidat un QCM de 30 questions. Pour chaque question, il y a 5 réponses possibles dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité \(P\) pour que toutes ses réponses soient justes sachant qu’il va répondre au hasard à ce questionnaire ?
La probabilité \(P\) est égale à :
Pour chaque question, la probabilité de répondre juste est \(\frac15\). Donc : \[ P=\left(\frac15\right)^{30}=\frac1{5^{30}}. \]
QCM 2 — Dérivée de la réciproque
Soit \(f(x)=x+\ln x\) une fonction strictement croissante et bijective de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). On note \(g\) sa fonction réciproque qui est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Quelle est la valeur de \(g'(x)\) ?
On a : \[ f'(x)=1+\frac1x=\frac{x+1}{x}. \] Donc : \[ g'(x)=\frac1{f'(g(x))}=\frac{g(x)}{g(x)+1}. \]
QCM 3 — Dérivée en zéro
On pose : \[ f(x)=(1+x)(1+2x)\cdots(1+nx). \] Cocher la valeur de \(f'(0)\).
Le coefficient de \(x\) dans le produit vaut : \[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2. \] Donc : \[ f'(0)=\frac{n(n+1)}2. \]
QCM 4 — Limite de suite
Déterminer la limite de la suite de terme général : \[ u_n=\left(\cos\frac{1}{n}\right)^{n^2},\qquad n\in\mathbb{N}^*. \]
La suite de terme général \(u_n\) tend vers :
Pour étudier une suite de la forme \(a_n^{b_n}\) avec \(a_n\gt0\), on écrit \[ a_n^{b_n}=\exp\big(b_n\ln(a_n)\big). \] On a ensuite besoin de l’équivalence suivante, valable au voisinage de \(0\) : \[ \ln(\cos t)\sim -\frac{t^2}{2}. \] La notation \(u(t)\sim v(t)\) signifie que \[ \lim_{t\to0}\frac{u(t)}{v(t)}=1. \] Autrement dit, les deux expressions ont le même comportement principal près de \(0\).
On part des développements limités au voisinage de \(0\) : \[ \cos t=1-\frac{t^2}{2}+\text{un terme plus petit}, \] et \[ \ln(1+X)=X+\text{un terme plus petit}\quad (X\to0). \] Ici, on pose \[ X=\cos t-1=-\frac{t^2}{2}+\text{un terme plus petit}. \] Donc, lorsque \(t\to0\), on a \(X\to0\), et : \[ \ln(\cos t)=\ln(1+X)=X+\text{un terme plus petit}. \] Comme \(X\sim-\dfrac{t^2}{2}\), on obtient : \[ \ln(\cos t)\sim-\frac{t^2}{2}. \]
Ici \(u_n\gt0\), donc : \[ \ln u_n=n^2\ln\left(\cos\frac1n\right). \] On applique l’équivalence précédente avec : \[ t=\frac1n. \] Lorsque \(n\to+\infty\), on a \(t\to0\), donc : \[ \ln\left(\cos\frac1n\right)\sim-\frac{1}{2n^2}. \] Ainsi : \[ n^2\ln\left(\cos\frac1n\right)\to-\frac12. \] Donc : \[ \ln u_n\to-\frac12. \] Par continuité de la fonction exponentielle : \[ u_n\to e^{-1/2}. \]
QCM 5 — Racine cinquième de l’unité
Soit \(u\) une racine 5ème de l’unité et \(u\ne1\). Calculer : \[ 1+u+u^2+u^3. \]
On sait que : \[ 1+u+u^2+u^3+u^4=0. \] Donc : \[ 1+u+u^2+u^3=-u^4=-\frac1u. \]
QCM 6 — Parallélogramme complexe
Dans le plan complexe, on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives : \[ 1+4i,\qquad 2-i,\qquad -3-5i. \]
Déterminer l’affixe \(z_D\) du point \(D\) tel que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Dans un parallélogramme \(ABCD\), les diagonales ont le même milieu : \[ z_A+z_C=z_B+z_D. \] Donc : \[ z_D=z_A+z_C-z_B=(1+4i)+(-3-5i)-(2-i)=-4. \]
QCM 7 — Modulo \(17\)
Quel est le reste \(r\) de la division de : \[ 1^{17}+2^{17}+3^{17}+\cdots+15^{17} \] par \(17\) ?
Le petit théorème de Fermat dit que, si \(p\) est un nombre premier, alors pour tout entier \(a\), \[ a^p\equiv a \pmod p. \] La notation \(A\equiv B\pmod p\) signifie que \(A\) et \(B\) ont le même reste dans la division euclidienne par \(p\).
Comme \(17\) est premier, pour tout entier \(k\), on a : \[ k^{17}\equiv k\pmod{17}. \] Donc : \[ 1^{17}+2^{17}+\cdots+15^{17}\equiv 1+2+\cdots+15\pmod{17}. \] Or : \[ 1+2+\cdots+15=\frac{15\times16}{2}=120=17\times7+1. \] Le reste cherché est donc \(1\).
QCM 8 — Divisibilité par \(13\)
Pour \(n\in\mathbb{N}\), on définit l’entier : \[ A_n=1+5^n+5^{2n}+5^{3n}. \] Déterminer la condition nécessaire et suffisante pour laquelle \(A_n\) est un multiple de \(13\).
Dans les questions de divisibilité, on travaille avec les restes modulo le nombre demandé. Ici, on cherche la période de \(5^n\) modulo \(13\), c’est-à-dire le retour périodique des restes.
Modulo \(13\), on a : \[ 5^2=25\equiv -1\pmod{13}, \] donc : \[ 5^4\equiv 1\pmod{13}. \] Les restes de \(5^n\) dépendent donc de \(n\) modulo \(4\). Posons \(a=5^n\). Alors : \[ A_n=1+a+a^2+a^3. \] Si \(n\) est multiple de \(4\), alors \(a\equiv1\), donc : \[ A_n\equiv4\not\equiv0\pmod{13}. \] Si \(n\) n’est pas multiple de \(4\), alors \(a\equiv5,-1\) ou \(8\), et dans chacun de ces trois cas on vérifie que : \[ 1+a+a^2+a^3\equiv0\pmod{13}. \] Donc \(A_n\) est multiple de \(13\) si et seulement si \(n\) n’est pas multiple de \(4\).
QCM 9 — Loi de composition
On définit dans \(\mathbb{R}^2\) la loi notée \(*\) par : \[ \forall\big((x,y),(x',y')\big)\in(\mathbb{R}^2)^2,\qquad (x,y)*(x',y')=(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x}). \]
Choisir la bonne réponse :
L’élément neutre est \((0,0)\), et l’inverse de \((x,y)\) est \((-x,-y)\). La loi est associative par calcul direct. De plus : \[ (x,0)*(x',0)=(x+x',0), \] donc \(\mathbb R\times\{0\}\) est un sous-groupe.
QCM 10 — Bijection sur \([0,1]\)
Soit \(f\) une fonction définie, continue et strictement monotone de \([0,1]\) sur \([0,1]\).
Pour tout \(\alpha\in[0,1]\), l’équation : \[ f(x^2)=\alpha \] admet :
Pour tout \(\alpha\in[0,1]\), il existe un unique \(y\in[0,1]\) tel que \(f(y)=\alpha\). L’équation devient \(x^2=y\), qui admet une unique solution dans \([0,1]\).
QCM 11 — Intégrale dépendant d’un paramètre
Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^*\) par : \[ f(t)=\int_0^1\frac{dx}{t+\sin x}. \] Choisir la bonne réponse :
Quand \(t\) augmente, \(t+\sin x\) augmente, donc l’intégrande diminue. Ainsi \(f\) est décroissante. De plus : \[ 0\le f(t)\le\frac1t, \] donc \(f(t)\to0\) quand \(t\to+\infty\).
QCM 12 — Rolle
Soit \(f\) la fonction définie par : \[ f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3). \] L’équation \(f'(x)=0\) admet sur \(\mathbb{R}\) :
Le polynôme \(f\) possède quatre racines réelles simples : \[ -3,-2,-1,0. \] Par le théorème de Rolle, \(f'\) possède une racine dans chacun des trois intervalles entre deux racines consécutives. Comme \(f'\) est de degré \(3\), il y a exactement trois solutions.
QCM 13 — Limite avec racine quatrième
Déterminer la limite : \[ \ell=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[4]{20x^2-4}-2}{2x^2+x-3}. \]
La limite \(\ell\) est égale à :
On écrit la limite comme quotient de deux taux d’accroissement : si \(u(1)=v(1)=0\), \(u\) et \(v\) sont dérivables en \(1\), et \(v'(1)\ne0\), alors \[ \lim_{x\to1}\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u'(1)}{v'(1)}. \] C’est une conséquence directe de la définition de la dérivée.
Posons : \[ u(x)=\sqrt[4]{20x^2-4}-2,\qquad v(x)=2x^2+x-3. \] On a \(u(1)=0\) et \(v(1)=0\). Pour \(\phi(x)=\sqrt[4]{20x^2-4}\) : \[ \phi'(x)=10x(20x^2-4)^{-3/4}, \] donc : \[ u'(1)=\phi'(1)=10\cdot16^{-3/4}=\frac54. \] De plus : \[ v'(x)=4x+1,\qquad v'(1)=5. \] Ainsi : \[ \ell=\frac{u'(1)}{v'(1)}=\frac{\frac54}{5}=\frac14. \]
QCM 14 — Forme trigonométrique
Donner la forme trigonométrique du nombre complexe : \[ z=\sin\theta+2i\sin^2\frac{\theta}{2}. \] Cocher la bonne réponse :
Comme : \[ \sin\theta=2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2, \] on a : \[ z=2\sin\frac\theta2\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right). \]
QCM 15 — Fonction impaire
Calculer la valeur de l’intégrale : \[ I=\int_{-7}^{7}(x^3-5x)^{13}\,dx. \] Choisir la bonne réponse :
La fonction \(x\mapsto x^3-5x\) est impaire. Sa puissance \(13\) reste impaire. L’intégrale d’une fonction impaire sur \([-7,7]\) est donc nulle.
QCM 16 — Partie entière
On désigne par \([x]\) la partie entière de \(x\). Calculer la valeur \(\ell\) de : \[ \lim_{x\to0}\left([x^2]-[x]^2\right). \]
Si \(x\to0^+\), alors \([x]=0\) et \([x^2]=0\), donc la limite à droite vaut \(0\). Si \(x\to0^-\), alors \([x]=-1\) et \([x^2]=0\), donc l’expression vaut \(-1\). Les deux limites sont différentes.
QCM 17 — Série \(\sum nr^n\)
Calculer la valeur de la somme : \[ S=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{5^n} =\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{5^k}. \]
Pour \(|r|\lt1\), on connaît la somme géométrique : \[ \sum_{n=0}^{+\infty}r^n=\frac1{1-r}. \] Dans un cadre de concours, on peut dériver cette identité terme à terme à l’intérieur de l’intervalle \(]-1,1[\). On obtient : \[ \sum_{n=1}^{+\infty}nr^{n-1}=\frac1{(1-r)^2}. \] En multipliant par \(r\), on en déduit : \[ \sum_{n=1}^{+\infty}nr^n=\frac{r}{(1-r)^2}. \] Cette formule est appelée série géométrique dérivée.
Ici : \[ \frac{n}{5^n}=n\left(\frac15\right)^n, \] donc \(r=\frac15\), avec \(|r|\lt1\). Ainsi : \[ S=\sum_{n=1}^{+\infty}n\left(\frac15\right)^n =\frac{\frac15}{\left(1-\frac15\right)^2}. \] Donc : \[ S=\frac{\frac15}{\left(\frac45\right)^2} =\frac{\frac15}{\frac{16}{25}} =\frac5{16}. \]
QCM 18 — Inéquation
Soit \(f\) la fonction définie de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}-1. \]
Déterminer dans \(\mathbb{R}\) l’ensemble \(S\) des solutions de l’inéquation : \[ f(x)\le x. \]
L’inéquation équivaut à : \[ \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\le x+1. \] Donc : \[ (x+1)\left(\frac1{\sqrt{x^2+1}}-1\right)\le0. \] Le second facteur est \(\le0\). Ainsi il faut et il suffit que \(x+1\ge0\).
QCM 19 — Somme télescopique
On note : \[ S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n \] pour tout \(n\in\mathbb{N}\), avec : \[ v_n=\ln\left(\frac{n+2}{n+3}\right). \] Déterminer : \[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]
On a : \[ S_n=\ln\left(\prod_{k=0}^n\frac{k+2}{k+3}\right) =\ln\left(\frac2{n+3}\right). \] Donc : \[ S_n\to-\infty. \]
QCM 20 — Puissance complexe
Écrire sous forme algébrique le complexe : \[ z=\left(\frac{1+i\sqrt3}{1-i}\right)^{20}. \]
La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul est : \[ z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta), \] où \(r=|z|\) est le module et \(\theta\) un argument de \(z\). Elle permet de calculer les puissances : \[ (re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}. \]
On écrit : \[ 1+i\sqrt3=2e^{i\pi/3},\qquad 1-i=\sqrt2e^{-i\pi/4}. \] Donc : \[ \frac{1+i\sqrt3}{1-i}=\frac{2}{\sqrt2}e^{i(\pi/3+\pi/4)}=\sqrt2e^{i7\pi/12}. \] Alors : \[ z=(\sqrt2)^{20}e^{i20\cdot7\pi/12}=1024e^{i35\pi/3}. \] Comme \(\frac{35\pi}{3}\equiv\frac{5\pi}{3}\pmod{2\pi}\), on obtient : \[ z=1024e^{i5\pi/3}=1024\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right). \] Ainsi : \[ z=512-512\sqrt3\,i. \]
QCM 21 — Intégrale trigonométrique
Calculer : \[ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(t)\sin^2(t)\,dt. \]
On utilise ici une formule avancée d’intégrale trigonométrique, utile dans les concours : \[ \int_0^{\pi/2}\sin^m t\cos^n t\,dt =\frac12B\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right). \] La notation \(B(a,b)\) désigne la fonction bêta. Elle est liée à la fonction gamma \(\Gamma\) par : \[ B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}. \] La fonction gamma prolonge la factorielle : pour un entier \(n\ge1\), \(\Gamma(n)=(n-1)!\). On utilise aussi : \[ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi, \qquad \Gamma(x+1)=x\Gamma(x). \] Ces relations permettent de calculer les valeurs nécessaires.
Ici : \[ I=\int_0^{\pi/2}\cos^4(t)\sin^2(t)\,dt, \] donc \(m=2\) et \(n=4\). Par la formule précédente : \[ I=\frac12B\left(\frac32,\frac52\right). \] Or : \[ B\left(\frac32,\frac52\right)= \frac{\Gamma(\frac32)\Gamma(\frac52)}{\Gamma(4)}. \] À partir de \(\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi\) et \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\), on obtient : \[ \Gamma\left(\frac32\right)=\frac12\Gamma\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt\pi}{2}, \] \[ \Gamma\left(\frac52\right)=\frac32\Gamma\left(\frac32\right)=\frac{3\sqrt\pi}{4}, \] et : \[ \Gamma(4)=3!=6. \] Donc : \[ I=\frac12\cdot\frac{\frac{\sqrt\pi}{2}\cdot\frac{3\sqrt\pi}{4}}{6} =\frac{\pi}{32}. \]
QCM 22 — Lieu complexe
Soit \(z=x+iy\), \(x\) et \(y\) étant deux réels tels que \((x,y)\ne(1,0)\).
On pose : \[ Z=\frac{z+2i}{z-1}. \]
L’ensemble \(E\) des points d’affixe \(z\) tel que \(Z\) soit un imaginaire pur est un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\), privé d’un point \(M\). Déterminer les coordonnées des points \(C\) et \(M\), et la valeur du rayon \(r\).
Posons \(z=x+iy\). La partie réelle de \(Z\) est nulle si : \[ x(x-1)+y(y+2)=0. \] Donc : \[ x^2-x+y^2+2y=0. \] En complétant les carrés : \[ \left(x-\frac12\right)^2+(y+1)^2=\frac54. \] Donc : \[ C\left(\frac12,-1\right),\quad r=\frac{\sqrt5}{2}. \] Le point exclu est \(M(1,0)\).
QCM 23 — Primitive avec racine
Déterminer l’ensemble \(P\) des primitives de la fonction : \[ x\mapsto \frac{\sin(\sqrt x)}{\sqrt x}. \]
Posons \(u=\sqrt x\). Alors \(dx=2u\,du\). Donc : \[ \int\frac{\sin(\sqrt x)}{\sqrt x}\,dx=2\int\sin u\,du=-2\cos u+C. \] Ainsi : \[ F(x)=-2\cos(\sqrt x)+C. \]
QCM 25-A — Équation cubique complexe
Soit : \[ P(z)=z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i. \] Résoudre l’équation \(P(z)=0\), sachant qu’elle admet un imaginaire pur comme solution.
Un nombre complexe imaginaire pur s’écrit sous la forme \(z=it\), avec \(t\in\mathbb{R}\). Cette écriture transforme la recherche d’une racine imaginaire pure en une équation réelle sur \(t\).
On cherche d’abord une racine imaginaire pure, donc on pose : \[ z=it,\qquad t\in\mathbb{R}. \] En remplaçant dans \(P(z)\), on trouve la racine : \[ z=-i. \] Donc \(z+i\) est un facteur de \(P(z)\). La division polynomiale donne : \[ P(z)=(z+i)(z^2-8z+17). \] On résout ensuite : \[ z^2-8z+17=0. \] Son discriminant vaut : \[ \Delta=64-68=-4. \] Donc : \[ z=4-i\quad\text{ou}\quad z=4+i. \] Les solutions sont : \[ -i,\quad 4-i,\quad 4+i. \]
QCM 25-B — Limite trigonométrique
Calculer : \[ I=\lim_{x\to0}\sin\sqrt{\frac{2x^2}{1-\cos x}}. \]
Lorsque \(x\to0\), on utilise l’équivalence classique : \[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. \] Cette équivalence vient du développement limité de \(\cos x\) au voisinage de \(0\) : \[ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\text{un terme plus petit}. \] Donc : \[ 1-\cos x=\frac{x^2}{2}+\text{un terme plus petit}, \] et par conséquent : \[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. \] Autrement dit, \(1-\cos x\) et \(\frac{x^2}{2}\) ont le même terme principal au voisinage de \(0\).
On a : \[ 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}. \] Donc : \[ \frac{2x^2}{1-\cos x}\to \frac{2x^2}{x^2/2}=4. \] Comme la quantité sous la racine est positive au voisinage de \(0\), on obtient : \[ \sqrt{\frac{2x^2}{1-\cos x}}\to2. \] Enfin, comme la fonction sinus est continue : \[ I=\sin 2. \]
Tableau récapitulatif des réponses finales
Conseil aux élèves
Cette épreuve ENSAM 2024 mobilise surtout : probabilités, fonctions réciproques, suites, complexes, arithmétique, intégrales, partie entière, séries et géométrie complexe.
Quand une archive présente une , il faut la signaler clairement et corriger les questions sans inventer une question manquante.
Commentaires
Enregistrer un commentaire