Concours ENSAM Maroc 2025 — Énoncé de mathématiques
Concours commun d’accès en 1ère année ENSAM — Session du 23 juillet 2025 — Mathématiques.
Compétences et points clés
ENSAM 2025 associe un modèle de réponses aléatoires, une lecture de courbe liée à une intégrale et des questions d’analyse plus algébriques. L’entraînement consiste à passer d’une représentation à l’autre sans perdre le sens de la quantité étudiée.
Prérequis à revoir : indépendance, dénombrement et coefficients binomiaux; signe des fonctions et intégrale sur un segment; limites usuelles et définition du nombre dérivé.
Rappels de cours utiles
Modèle binomial. Une loi binomiale suppose un nombre fixé d’épreuves de Bernoulli indépendantes, avec la même probabilité de succès à chaque épreuve. Ces conditions doivent être justifiées dans le modèle du sujet. Un tirage sans remise ou une modification de l’urne peut empêcher de les utiliser.
Intégrale et aire. L’aire entre deux courbes sur un segment se calcule à partir de la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure. Si leur ordre change, séparer le calcul aux points d’intersection. Une intégrale signée peut être négative ; une aire géométrique est positive ou nulle et tient compte des unités du repère.
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour l’intégrale définie à partir du graphe, repérer les zones au-dessus et au-dessous de l’axe. Dans les urnes, recopier les effectifs avant chaque branche. Pour les expressions avec partie entière, comparer les comportements à gauche et à droite des points critiques.
Cette page présente l’énoncé de mathématiques du Concours ENSAM Maroc 2025. L’épreuve comporte 30 questions à choix unique, avec une durée indiquée de 1 h 45 min. La correction détaillée est disponible via le bouton placé en haut de l’article.
La correction détaillée de cet énoncé est maintenant disponible.
Consignes de l’épreuve
- Cette épreuve comporte 30 questions à choix unique.
- Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
- Barème indiqué : +2 points pour une réponse juste, 0 point sans réponse, -1 point pour une réponse fausse ou multiple.
- Dans certaines questions, l’une des propositions possibles est Autre Réponse, abrégée AR.
Énoncé — Mathématiques
Question 1
Lors du concours ENSAM Maroc — Mathématiques 2025, un candidat répond au hasard à l’ensemble des 30 questions d’un QCM. Il ne laisse donc aucune question sans réponse.
Quelle est la probabilité que ce candidat obtienne exactement 25 points ?
Question 2
On définit : \[ h(x)=\int_0^x f(t)\,dt. \] La courbe suivante représente la fonction \(f\).
Parmi les propositions ci-dessous, laquelle est vraie ?
Question 3
Soient \(f,g\) et \(h\) des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\). Elles satisfont les relations suivantes pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[ f'(x)=g(x+1)\quad \text{et}\quad g'(x)=h(x-1). \] Calculer \(f''(2x)\).
Question 4
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite géométrique de raison \(q\). On définit \(v_n=\dfrac{u_n}{2}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et l’on suppose que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\).
Déterminer \(q+r\).
Question 5
On considère la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) définie par : \[ a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+1,\qquad a_1=1. \] Sachant que \(a_{100}=\dfrac{k}{m}\), déterminer la valeur du 95ème terme \(a_{98}\).
Question 6
Soit la fonction : \[ f(x)=\left(\frac{-1+\ln x}{1+\ln x}\right)^2, \] et posons \(f(x)=xg(x)+1\).
Quelle est la valeur de \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)\) ?
Question 7
On cherche le plus petit entier naturel à trois chiffres \(x\) pour lequel il existe un entier \(y\) satisfaisant l’équation : \[ 43x+77y=27. \] Quelle est la somme des chiffres de cet entier \(x\) ?
Question 8
Combien de solutions réelles distinctes possède l’équation : \[ \left(\left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3\right)^2=4 ? \]
Question 9
On considère l’intégrale suivante : \[ \int_0^{\pi/2}(\sin^2 x+3\cos^2 x)\,dx. \] La valeur de l’intégrale est :
Question 10
La suite \((u_n)_{n\ge 0}\) est définie par : \[ u_n=\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \] Elle est :
Question 11
Pour chaque entier \(n\ge1\), on considère les fonctions suivantes : \[ f_n(x)=x^2-(n+1)x+b_n,\qquad g_n(x)=x^2-nx+b_n. \] Sachant que la courbe de \(f_n\) rencontre l’axe des abscisses, tandis que celle de \(g_n\) ne le rencontre pas.
Quelle est la valeur de \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}\) ?
Question 12
Soient deux fonctions réelles \(f\) et \(g\) telles que : \[ f(-x)=-f(x)\quad \text{et}\quad g(-x)=g(x)\quad (\forall x\in\mathbb{R}). \] On pose \(h(x)=f(x)g(x)\). Sachant que : \[ \int_{-3}^{3}(x+5)h'(x)\,dx=10, \] déterminer la valeur de \(h(3)\).
Question 13
Soit \(z\in\mathbb{C}\) tel que : \[ \left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1 \quad \text{et}\quad |z|=\frac52. \] Quelle est la valeur de \(|z+3i|\) ?
Question 14
On pose : \[ N=11^{2025}+(2025)^{11}. \] Le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(9\) est égal à :
Question 15
On pose : \[ \int_1^2 \frac{x^2}{1+x^4}\,dx=A, \] où \(A\gt0\) est laissé indéterminé.
En déduire la valeur de : \[ \int_1^2 \frac{x^{-2}}{1+x^4}\,dx \] en fonction de \(A\).
Question 16
On dispose de deux urnes A et B. L’urne A contient 6 boules bleues, 4 boules vertes et 5 boules rouges. L’urne B contient 5 boules bleues, 3 boules vertes et 6 boules rouges. On effectue l’expérience aléatoire suivante : on tire au hasard une boule de l’urne A et on la place dans l’urne B, puis on tire au hasard et sans remise une boule de l’urne B.
Déterminer la probabilité que la boule tirée de l’urne B soit de couleur bleue.
Question 17
Soit : \[ z(\theta)=\frac{3+2i\sin(\theta)}{1-2i\sin(\theta)}, \qquad \theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\pi\right[. \] Déterminer la somme de toutes les valeurs de \(\theta\) pour lesquelles \(z(\theta)\) est purement imaginaire.
Question 18
On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’équation : \[ x^2-4kx+y^2-4y+8=k^3-k, \qquad k\in\mathbb{R}. \] Pour quelles valeurs de \(k\) cette équation représente-t-elle un cercle de rayon strictement positif ?
Question 19
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par : \[ f(x)=x^2\sin(x^2). \] On note \(I=f(\mathbb{R})\), l’image de l’ensemble \(\mathbb{R}\) par la fonction \(f\).
Lequel des énoncés suivants est correct ?
Question 20
On note \(E(t)\) la partie entière, c’est-à-dire le plus grand entier \(\le t\). Pour un réel \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), on considère : \[ L=\lim_{x\to0}\left|\frac{1-x+|x|}{\lambda-x+E(x)}\right|. \] Si cette limite existe et est finie, sa valeur \(L\) est :
Question 21
Soient \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tels que l’équation : \[ z^2+\alpha z+\beta=0 \] admette \(1-2i\) comme solution.
Déterminer la valeur de \(\alpha-\beta\).
Question 22
Soit la limite suivante : \[ \lim_{x\to2}\frac{2x-5}{x^2+ax+b}=-\infty. \] Quelle est la valeur de \(a+b\) ?
Question 23
Un plan \(E\) est perpendiculaire aux deux plans : \[ 2x-2y+z=0 \quad \text{et}\quad x-y+2z=4, \] et passe par le point \(P(1,-1,1)\).
Si la distance du plan \(E\) au point \(Q(a,a,2)\) vaut \(3\sqrt2\), alors \((PQ)^2\) est égal à :
Question 24
Soit : \[ f:\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}_+^* \] telle que, pour tous \(x,y\in\mathbb{R}_+^*\), \[ f(x)+f(y)=\frac{1}{xy}. \] Déterminer la valeur de \(f(2025)\). Indication : poser \(x=y=1\).
Question 25
On considère le nombre à quatre chiffres 2652, qui possède la propriété suivante : chaque paire de chiffres consécutifs forme un multiple de 13, en effet : 26, 65, 52. On cherche un nombre \(N\) de 2025 chiffres qui satisfait :
- il commence par le chiffre 9 ;
- toute paire de chiffres consécutifs constitue un multiple de 13.
Quel est le dernier chiffre de \(N\) ?
Question 26
On considère le rectangle ci-contre, partagé en cinq régions. Chaque région doit être coloriée d’une couleur unie choisie parmi rouge, orange, jaune, bleu, vert, de telle sorte que deux régions ayant un côté commun soient de couleurs différentes. On peut utiliser la même couleur pour des régions qui ne se touchent pas par un côté.
Combien de colorations distinctes sont possibles ?
Question 27
Dans le repère cartésien ci-contre, un carré \(L\), en haut, a un côté posé sur l’axe des ordonnées, tandis qu’un carré \(R\), en bas, a un côté posé sur l’axe des abscisses. Les deux carrés partagent un sommet. Un sommet de chacun de ces carrés se trouve sur la droite : \[ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1. \]
Quelle est la longueur du côté du carré \(L\) ?
Question 28
Soit \(m\in\mathbb{R}\) et la fonction : \[ f:I\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt{x-2\sqrt{mx-1}}, \] définie sur un intervalle \(I\) choisi afin que \(f\) soit bijective sur \(I\). La fonction réciproque \(f^{-1}\) coupe la droite \((d):y=12-x\) au point d’ordonnée \(10\).
Quelle est la valeur de \(f(m+4)\) ?
Question 29
La fonction \(f\) est strictement décroissante et son domaine de définition est l’ensemble des réels négatifs \(\mathbb{R}^-\).
On sait que : \[ f(m^2-m-5)\lt f(-3+2m-m^2). \] Combien de valeurs entières \(m\) satisfont cette inégalité ?
Question 30
On note \(E(x)\) la partie entière, c’est-à-dire le plus grand entier \(\le x\). Soient \(k\in\mathbb{N}\) et \(n\in\mathbb{N}\). On considère la fonction : \[ f(x)= \begin{cases} |x-E(-x)|, & \text{si } E(x) \text{ est pair},\\ |x-E(x)|+k, & \text{si } E(x) \text{ est impair}. \end{cases} \] On suppose que \(f\) est continue aux points \(x=n\) et \(x=-n\).
Quelle affirmation concernant l’entier \(n\) est correcte ?
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