Correction Concours ENSAM Maroc 2025 — Mathématiques
Concours commun d’accès en 1ère année ENSAM — Session du 23 juillet 2025.
Correction pédagogique complète des 30 questions de mathématiques.
Cette page présente la correction du Concours ENSAM Maroc 2025 — Mathématiques. L’épreuve comporte 30 questions à choix unique.
Correction détaillée question par question
Question 1
Lors du concours ENSAM Maroc — Mathématiques 2025, un candidat répond au hasard à l’ensemble des 30 questions d’un QCM. Il ne laisse donc aucune question sans réponse.
Quelle est la probabilité que ce candidat obtienne exactement 25 points ?
Notons \(X\) le nombre de réponses justes parmi les \(30\) questions.
Chaque réponse juste rapporte \(2\) points et chaque réponse fausse enlève \(1\) point. Comme le candidat répond à toutes les questions, le nombre de réponses fausses est \(30-X\).
Le score obtenu est donc : \[ S=2X-1(30-X)=2X-30+X=3X-30. \] On veut obtenir exactement \(25\) points, donc : \[ 3X-30=25. \] Ainsi : \[ 3X=55. \] Or \(X\) doit être un entier, alors que \(\frac{55}{3}\) n’est pas un entier. Il est donc impossible d’obtenir exactement \(25\) points.
Question 2
On définit : \[ h(x)=\int_0^x f(t)\,dt. \] La courbe suivante représente la fonction \(f\).
Parmi les propositions ci-dessous, laquelle est vraie ?
Comme : \[ h(x)=\int_0^x f(t)\,dt, \] on a : \[ h'(x)=f(x),\qquad h''(x)=f'(x). \] D’après le graphe, au point \(x=6\), la courbe de \(f\) coupe l’axe des abscisses, donc : \[ f(6)=0. \] Ainsi : \[ h'(6)=0. \] La courbe est croissante au voisinage de \(6\), donc sa pente est positive : \[ f'(6)\gt0. \] Ainsi : \[ h''(6)\gt0. \] Enfin, l’intégrale \(h(6)=\int_0^6 f(t)\,dt\) est négative d’après le graphe, car l’aire située sous l’axe des abscisses avant \(6\) est dominante. Donc : \[ h(6)\lt0. \] On obtient : \[ h(6)\lt h'(6)\lt h''(6). \]
Question 3
Soient \(f,g\) et \(h\) des fonctions définies et dérivables sur \(\mathbb{R}\). Elles satisfont les relations suivantes pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \[ f'(x)=g(x+1)\quad \text{et}\quad g'(x)=h(x-1). \] Calculer \(f''(2x)\).
On sait que : \[ f'(x)=g(x+1). \] En dérivant cette relation par rapport à \(x\), on obtient : \[ f''(x)=g'(x+1). \] Or : \[ g'(x)=h(x-1). \] Donc, en remplaçant \(x\) par \(x+1\), on obtient : \[ g'(x+1)=h((x+1)-1)=h(x). \] Ainsi : \[ f''(x)=h(x). \] Donc : \[ f''(2x)=h(2x). \]
Question 4
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite géométrique de raison \(q\). On définit \(v_n=\dfrac{u_n}{2}\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\) et l’on suppose que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\).
Déterminer \(q+r\).
On a : \[ v_n=\frac{u_n}{2}. \] Si \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\), alors : \[ u_{n+1}=q u_n. \] Donc : \[ v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{2}=\frac{q u_n}{2}=qv_n. \] Ainsi \((v_n)\) est aussi géométrique de raison \(q\).
Mais l’énoncé dit aussi que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r\), donc : \[ v_{n+1}=v_n+r. \] Une suite non nulle qui est à la fois géométrique et arithmétique est constante dans ce cadre. Donc : \[ q=1,\qquad r=0. \] Ainsi : \[ q+r=1. \]
Question 5
On considère la suite \((a_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) définie par : \[ a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+1,\qquad a_1=1. \] Sachant que \(a_{100}=\dfrac{k}{m}\), déterminer la valeur du 95ème terme \(a_{98}\).
La relation de récurrence est : \[ a_{n+1}=\frac1{a_n}+1. \] On veut remonter de \(a_{100}\) vers \(a_{98}\). On isole \(a_n\) : \[ a_{n+1}-1=\frac1{a_n}, \] donc : \[ a_n=\frac1{a_{n+1}-1}. \] Comme : \[ a_{100}=\frac{k}{m}, \] on obtient : \[ a_{99}=\frac1{\frac{k}{m}-1} =\frac1{\frac{k-m}{m}} =\frac{m}{k-m}. \] Puis : \[ a_{98}=\frac1{a_{99}-1} = \frac1{\frac{m}{k-m}-1}. \] Donc : \[ a_{98} = \frac1{\frac{m-(k-m)}{k-m}} = \frac{k-m}{2m-k}. \]
Question 6
Soit la fonction : \[ f(x)=\left(\frac{-1+\ln x}{1+\ln x}\right)^2, \] et posons \(f(x)=xg(x)+1\).
Quelle est la valeur de \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)\) ?
D’après : \[ f(x)=xg(x)+1, \] on a, pour \(x\ne0\) : \[ g(x)=\frac{f(x)-1}{x}. \] Or : \[ f(x)=\left(\frac{\ln x-1}{\ln x+1}\right)^2. \] Donc : \[ f(x)-1 = \frac{(\ln x-1)^2-(\ln x+1)^2}{(\ln x+1)^2}. \] En utilisant \((a-b)^2-(a+b)^2=-4ab\), avec \(a=\ln x\) et \(b=1\), on obtient : \[ f(x)-1= \frac{-4\ln x}{(\ln x+1)^2}. \] Ainsi : \[ g(x)=\frac{-4\ln x}{x(\ln x+1)^2}. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ \ln x\to-\infty. \] Donc : \[ -4\ln x\to+\infty, \qquad x(\ln x+1)^2\to0^+. \] Par conséquent : \[ g(x)\to+\infty. \]
Question 7
On cherche le plus petit entier naturel à trois chiffres \(x\) pour lequel il existe un entier \(y\) satisfaisant l’équation : \[ 43x+77y=27. \] Quelle est la somme des chiffres de cet entier \(x\) ?
La notation \(a\equiv b\pmod m\) signifie que \(a\) et \(b\) ont le même reste dans la division par \(m\). Résoudre une équation du type \(ax+my=c\) revient souvent à résoudre une congruence modulo \(m\).
On cherche \(x\) tel qu’il existe un entier \(y\) vérifiant : \[ 43x+77y=27. \] Modulo \(77\), le terme \(77y\) disparaît, donc : \[ 43x\equiv27\pmod{77}. \] On cherche l’inverse de \(43\) modulo \(77\). On vérifie que : \[ 43\times43=1849. \] Or : \[ 1849=77\times24+1. \] Donc : \[ 43^{-1}\equiv43\pmod{77}. \] En multipliant par \(43\), on obtient : \[ x\equiv 27\times43\pmod{77}. \] Comme : \[ 27\times43=1161=77\times15+6, \] on a : \[ x\equiv6\pmod{77}. \] Les entiers correspondants sont : \[ 6,\ 83,\ 160,\ldots \] Le plus petit entier naturel à trois chiffres est donc : \[ x=160. \] La somme de ses chiffres est : \[ 1+6+0=7. \]
Question 8
Combien de solutions réelles distinctes possède l’équation : \[ \left(\left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3\right)^2=4 ? \]
On résout de l’extérieur vers l’intérieur. L’équation est : \[ \left(\left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3\right)^2=4. \] Posons : \[ A=\left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3. \] Alors : \[ A^2=4, \] donc : \[ A=2 \quad \text{ou} \quad A=-2. \] Ainsi : \[ \left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3=2 \quad \text{ou} \quad \left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2-3=-2. \] Donc : \[ \left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2=5 \quad \text{ou} \quad \left(\left(x^2-1\right)^2-2\right)^2=1. \] En poursuivant la résolution des carrés successifs et en gardant seulement les valeurs compatibles avec \(x^2\ge0\), on obtient au total \(7\) solutions réelles distinctes.
Question 9
On considère l’intégrale suivante : \[ \int_0^{\pi/2}(\sin^2 x+3\cos^2 x)\,dx. \] La valeur de l’intégrale est :
On utilise les valeurs classiques : \[ \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx=\frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi/2}\cos^2x\,dx=\frac{\pi}{4}. \] Donc : \[ \int_0^{\pi/2}(\sin^2 x+3\cos^2 x)\,dx = \int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx + 3\int_0^{\pi/2}\cos^2x\,dx. \] Ainsi : \[ I=\frac{\pi}{4}+3\cdot\frac{\pi}{4} = \pi. \]
Question 10
La suite \((u_n)_{n\ge 0}\) est définie par : \[ u_n=\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \] Elle est :
Pour \(n\ge1\), on écrit : \[ u_n=\frac{\sqrt n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}. \] En divisant le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt n\), on obtient : \[ u_n=\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}. \] Lorsque \(n\) augmente, \(\frac1n\) diminue, donc \(\sqrt{1+\frac1n}\) diminue aussi. Le dénominateur diminue, donc la fraction augmente.
Ainsi \((u_n)\) est croissante. De plus : \[ 0\lt u_n\lt \frac12. \] Elle est donc bornée et croissante.
Question 11
Pour chaque entier \(n\ge1\), on considère les fonctions suivantes : \[ f_n(x)=x^2-(n+1)x+b_n,\qquad g_n(x)=x^2-nx+b_n. \] Sachant que la courbe de \(f_n\) rencontre l’axe des abscisses, tandis que celle de \(g_n\) ne le rencontre pas.
Quelle est la valeur de \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^2}\) ?
Pour un polynôme du second degré \(x^2+px+q\), la courbe rencontre l’axe des abscisses si et seulement si le discriminant est positif ou nul.
Pour : \[ f_n(x)=x^2-(n+1)x+b_n, \] on a : \[ \Delta_f=(n+1)^2-4b_n. \] Comme la courbe rencontre l’axe des abscisses : \[ \Delta_f\ge0, \] donc : \[ b_n\le\frac{(n+1)^2}{4}. \] Pour : \[ g_n(x)=x^2-nx+b_n, \] on a : \[ \Delta_g=n^2-4b_n. \] Comme la courbe ne rencontre pas l’axe des abscisses : \[ \Delta_g\lt0, \] donc : \[ b_n\gt\frac{n^2}{4}. \] On obtient l’encadrement : \[ \frac{n^2}{4}\lt b_n\le\frac{(n+1)^2}{4}. \] En divisant par \(n^2\) : \[ \frac14\lt \frac{b_n}{n^2}\le \frac{(n+1)^2}{4n^2}. \] Or : \[ \frac{(n+1)^2}{4n^2}\to\frac14. \] Donc, par encadrement : \[ \frac{b_n}{n^2}\to\frac14. \]
Question 12
Soient deux fonctions réelles \(f\) et \(g\) telles que : \[ f(-x)=-f(x)\quad \text{et}\quad g(-x)=g(x)\quad (\forall x\in\mathbb{R}). \] On pose \(h(x)=f(x)g(x)\). Sachant que : \[ \int_{-3}^{3}(x+5)h'(x)\,dx=10, \] déterminer la valeur de \(h(3)\).
La fonction \(f\) est impaire et \(g\) est paire. Donc : \[ h(-x)=f(-x)g(-x)=(-f(x))g(x)=-h(x). \] Ainsi \(h\) est impaire.
La dérivée d’une fonction impaire dérivable est paire, donc \(h'\) est paire. On décompose : \[ \int_{-3}^{3}(x+5)h'(x)\,dx = \int_{-3}^{3}xh'(x)\,dx + 5\int_{-3}^{3}h'(x)\,dx. \] Comme \(h'\) est paire, la fonction \(x h'(x)\) est impaire. Donc : \[ \int_{-3}^{3}xh'(x)\,dx=0. \] D’autre part : \[ \int_{-3}^{3}h'(x)\,dx=h(3)-h(-3). \] Comme \(h\) est impaire : \[ h(-3)=-h(3). \] Donc : \[ h(3)-h(-3)=h(3)+h(3)=2h(3). \] Ainsi : \[ 10=5\cdot2h(3)=10h(3). \] Donc : \[ h(3)=1. \]
Question 13
Soit \(z\in\mathbb{C}\) tel que : \[ \left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1 \quad \text{et}\quad |z|=\frac52. \] Quelle est la valeur de \(|z+3i|\) ?
Écrivons : \[ z=x+iy. \] La condition : \[ \left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1 \] équivaut à : \[ |z-i|=|z+2i|. \] Cela signifie que le point \(M(z)\) est à égale distance des points d’affixes \(i\) et \(-2i\).
En coordonnées : \[ |z-i|^2=x^2+(y-1)^2, \] et : \[ |z+2i|^2=x^2+(y+2)^2. \] Donc : \[ x^2+(y-1)^2=x^2+(y+2)^2. \] Ainsi : \[ (y-1)^2=(y+2)^2. \] Donc : \[ y=-\frac12. \] Avec : \[ |z|=\frac52, \] on obtient : \[ x^2+y^2=\frac{25}{4}. \] Comme \(y^2=\frac14\), alors : \[ x^2=6. \] Enfin : \[ |z+3i|^2=x^2+(y+3)^2. \] Or : \[ y+3=-\frac12+3=\frac52. \] Donc : \[ |z+3i|^2=6+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}. \] Ainsi : \[ |z+3i|=\frac72. \]
Question 14
On pose : \[ N=11^{2025}+(2025)^{11}. \] Le reste de la division euclidienne de \(N\) par \(9\) est égal à :
Pour calculer un reste modulo \(9\), on peut remplacer chaque nombre par son reste modulo \(9\), puis utiliser la périodicité des puissances.
On a : \[ 11\equiv2\pmod9, \] et : \[ 2025\equiv0\pmod9. \] Donc : \[ N=11^{2025}+2025^{11} \equiv 2^{2025}+0^{11}\pmod9. \] Il reste à calculer \(2^{2025}\) modulo \(9\). Les puissances de \(2\) modulo \(9\) sont périodiques : \[ 2^1\equiv2,\quad 2^2\equiv4,\quad 2^3\equiv8,\quad 2^4\equiv7,\quad 2^5\equiv5,\quad 2^6\equiv1\pmod9. \] La période est donc \(6\). Comme : \[ 2025=6\times337+3, \] on a : \[ 2^{2025}\equiv2^3\equiv8\pmod9. \] Donc le reste de \(N\) dans la division par \(9\) est : \[ 8. \]
Question 15
On pose : \[ \int_1^2 \frac{x^2}{1+x^4}\,dx=A, \] où \(A\gt0\) est laissé indéterminé.
En déduire la valeur de : \[ \int_1^2 \frac{x^{-2}}{1+x^4}\,dx \] en fonction de \(A\).
On pose : \[ A=\int_1^2\frac{x^2}{1+x^4}\,dx \] et : \[ B=\int_1^2\frac{x^{-2}}{1+x^4}\,dx. \] Alors : \[ A+B= \int_1^2\left(\frac{x^2}{1+x^4}+\frac{x^{-2}}{1+x^4}\right)\,dx. \] Or : \[ \frac{x^2}{1+x^4}+\frac{x^{-2}}{1+x^4} = \frac{x^2+x^{-2}}{1+x^4}. \] En multipliant le numérateur et le dénominateur par \(x^2\), on obtient : \[ \frac{x^2+x^{-2}}{1+x^4} = \frac{x^4+1}{x^2(1+x^4)} = \frac1{x^2}. \] Donc : \[ A+B=\int_1^2\frac1{x^2}\,dx. \] Ainsi : \[ A+B=\left[-\frac1x\right]_1^2 = -\frac12+1=\frac12. \] Donc : \[ B=\frac12-A. \]
Question 16
On dispose de deux urnes A et B. L’urne A contient 6 boules bleues, 4 boules vertes et 5 boules rouges. L’urne B contient 5 boules bleues, 3 boules vertes et 6 boules rouges. On effectue l’expérience aléatoire suivante : on tire au hasard une boule de l’urne A et on la place dans l’urne B, puis on tire au hasard et sans remise une boule de l’urne B.
Déterminer la probabilité que la boule tirée de l’urne B soit de couleur bleue.
On utilise la formule des probabilités totales : on sépare les cas selon la couleur de la boule transférée de l’urne A vers l’urne B.
L’urne A contient : \[ 6+4+5=15 \] boules. L’urne B contient au départ : \[ 5+3+6=14 \] boules.
Après le transfert, l’urne B contient \(15\) boules.
Premier cas : on transfère une boule bleue depuis l’urne A. La probabilité de ce cas est : \[ \frac6{15}. \] Alors l’urne B contient \(6\) boules bleues sur \(15\), donc : \[ P(\text{bleue au tirage de B})=\frac6{15}. \] Contribution : \[ \frac6{15}\cdot\frac6{15}. \] Deuxième cas : on ne transfère pas une boule bleue. La probabilité de ce cas est : \[ \frac9{15}. \] Alors l’urne B garde \(5\) boules bleues sur \(15\), donc : \[ P(\text{bleue au tirage de B})=\frac5{15}. \] Contribution : \[ \frac9{15}\cdot\frac5{15}. \] Ainsi : \[ P=\frac6{15}\cdot\frac6{15}+\frac9{15}\cdot\frac5{15}. \] Donc : \[ P=\frac{36+45}{225}=\frac{81}{225}=\frac9{25}. \]
Question 17
Soit : \[ z(\theta)=\frac{3+2i\sin(\theta)}{1-2i\sin(\theta)}, \qquad \theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\pi\right[. \] Déterminer la somme de toutes les valeurs de \(\theta\) pour lesquelles \(z(\theta)\) est purement imaginaire.
Posons : \[ s=\sin\theta. \] Alors : \[ z(\theta)=\frac{3+2is}{1-2is}. \] Pour lire la partie réelle, on multiplie par le conjugué du dénominateur : \[ z(\theta)=\frac{(3+2is)(1+2is)}{(1-2is)(1+2is)}. \] Le dénominateur est réel : \[ (1-2is)(1+2is)=1+4s^2. \] Pour le numérateur : \[ (3+2is)(1+2is)=3+6is+2is+4i^2s^2. \] Comme \(i^2=-1\), on obtient : \[ (3+2is)(1+2is)=3-4s^2+8is. \] Donc : \[ z(\theta)=\frac{3-4s^2}{1+4s^2} + i\frac{8s}{1+4s^2}. \] Le complexe \(z(\theta)\) est purement imaginaire si sa partie réelle est nulle : \[ 3-4s^2=0. \] Ainsi : \[ s^2=\frac34, \] donc : \[ \sin\theta=\pm\frac{\sqrt3}{2}. \] Dans l’intervalle : \[ \left]-\frac{\pi}{2},\pi\right[, \] les solutions sont : \[ -\frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{2\pi}{3}. \] Leur somme vaut : \[ -\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}. \]
Question 18
On considère, dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’équation : \[ x^2-4kx+y^2-4y+8=k^3-k, \qquad k\in\mathbb{R}. \] Pour quelles valeurs de \(k\) cette équation représente-t-elle un cercle de rayon strictement positif ?
On complète les carrés : \[ x^2-4kx=(x-2k)^2-4k^2, \] et : \[ y^2-4y=(y-2)^2-4. \] L’équation devient : \[ (x-2k)^2-4k^2+(y-2)^2-4+8=k^3-k. \] Donc : \[ (x-2k)^2+(y-2)^2 = k^3-k+4k^2-4. \] On factorise le second membre : \[ k^3+4k^2-k-4 = (k+4)(k^2-1) = (k+4)(k-1)(k+1). \] Pour représenter un cercle de rayon strictement positif, il faut : \[ (k+4)(k-1)(k+1)\gt0. \] Les racines sont : \[ -4,\quad -1,\quad 1. \] L’étude du signe donne : \[ -4\lt k\lt -1 \quad \text{ou} \quad k\gt1. \]
Question 19
Soit \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) définie par : \[ f(x)=x^2\sin(x^2). \] On note \(I=f(\mathbb{R})\), l’image de l’ensemble \(\mathbb{R}\) par la fonction \(f\).
Lequel des énoncés suivants est correct ?
Avec \(t=x^2\ge0\), \(f(x)=t\sin t\). Cette fonction continue a des oscillations d’amplitude non bornée ; elle atteint donc toutes les valeurs réelles.
Question 20
On note \(E(t)\) la partie entière, c’est-à-dire le plus grand entier \(\le t\). Pour un réel \(\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\), on considère : \[ L=\lim_{x\to0}\left|\frac{1-x+|x|}{\lambda-x+E(x)}\right|. \] Si cette limite existe et est finie, sa valeur \(L\) est :
On étudie séparément la limite à droite et la limite à gauche de \(0\).
Si \(x\to0^+\), alors : \[ |x|=x,\qquad E(x)=0. \] Donc : \[ 1-x+|x|=1-x+x=1, \] et : \[ \lambda-x+E(x)=\lambda-x\to\lambda. \] La limite à droite vaut donc : \[ \left|\frac1\lambda\right|. \] Si \(x\to0^-\), alors : \[ |x|=-x,\qquad E(x)=-1. \] Donc : \[ 1-x+|x|=1-x-x=1-2x\to1, \] et : \[ \lambda-x+E(x)=\lambda-x-1\to\lambda-1. \] La limite à gauche vaut donc : \[ \left|\frac1{\lambda-1}\right|. \] Pour que la limite existe, il faut : \[ \left|\frac1\lambda\right| = \left|\frac1{\lambda-1}\right|. \] Donc : \[ |\lambda|=|\lambda-1|. \] Cela signifie que \(\lambda\) est à égale distance de \(0\) et de \(1\), donc : \[ \lambda=\frac12. \] La limite vaut alors : \[ \left|\frac1{1/2}\right|=2. \]
Question 21
Soient \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tels que l’équation : \[ z^2+\alpha z+\beta=0 \] admette \(1-2i\) comme solution.
Déterminer la valeur de \(\alpha-\beta\).
L’autre racine est \(1+2i\). La somme vaut \(2\), donc \(\alpha=-2\). Le produit vaut \(5\), donc \(\beta=5\). Ainsi \(\alpha-\beta=-7\).
Question 22
Soit la limite suivante : \[ \lim_{x\to2}\frac{2x-5}{x^2+ax+b}=-\infty. \] Quelle est la valeur de \(a+b\) ?
Lorsque \(x\to2\), le numérateur tend vers : \[ 2\cdot2-5=-1. \] Il est donc négatif au voisinage de \(2\).
Pour que le quotient tende vers \(-\infty\) des deux côtés, le dénominateur doit tendre vers \(0\) en restant positif des deux côtés de \(2\). Il doit donc avoir une racine double en \(x=2\).
Ainsi : \[ x^2+ax+b=(x-2)^2. \] Donc : \[ x^2+ax+b=x^2-4x+4. \] Par identification : \[ a=-4,\qquad b=4. \] Ainsi : \[ a+b=0. \]
Question 23
Un plan \(E\) est perpendiculaire aux deux plans : \[ 2x-2y+z=0 \quad \text{et}\quad x-y+2z=4, \] et passe par le point \(P(1,-1,1)\).
Si la distance du plan \(E\) au point \(Q(a,a,2)\) vaut \(3\sqrt2\), alors \((PQ)^2\) est égal à :
Un vecteur normal du premier plan est : \[ \vec n_1=(2,-2,1). \] Un vecteur normal du second plan est : \[ \vec n_2=(1,-1,2). \] Le plan \(E\) est perpendiculaire aux deux plans donnés. Donc un vecteur normal de \(E\) doit être orthogonal à \(\vec n_1\) et à \(\vec n_2\). On peut prendre un vecteur colinéaire au produit vectoriel : \[ \vec n_1\wedge \vec n_2. \] On trouve un vecteur normal colinéaire à : \[ (1,1,0). \] Donc \(E\) a une équation de la forme : \[ x+y+c=0. \] Comme \(E\) passe par \(P(1,-1,1)\), on obtient : \[ 1+(-1)+c=0, \] donc : \[ c=0. \] Ainsi : \[ E:x+y=0. \] La distance du point \(Q(a,a,2)\) au plan \(E\) vaut : \[ d(Q,E)=\frac{|a+a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|2a|}{\sqrt2} = \sqrt2|a|. \] Or : \[ d(Q,E)=3\sqrt2. \] Donc : \[ \sqrt2|a|=3\sqrt2, \] d’où : \[ |a|=3. \] Enfin : \[ (PQ)^2=(a-1)^2+(a+1)^2+(2-1)^2. \] Donc : \[ (PQ)^2=(a^2-2a+1)+(a^2+2a+1)+1=2a^2+3. \] Comme \(a^2=9\), on obtient : \[ (PQ)^2=18+3=21. \]
Question 24
Soit : \[ f:\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}_+^* \] telle que, pour tous \(x,y\in\mathbb{R}_+^*\), \[ f(x)+f(y)=\frac{1}{xy}. \] Déterminer la valeur de \(f(2025)\). Indication : poser \(x=y=1\).
On teste l’équation fonctionnelle avec les valeurs simples proposées par l’indication.
En prenant : \[ x=y=1, \] on obtient : \[ f(1)+f(1)=1, \] donc : \[ 2f(1)=1, \] et : \[ f(1)=\frac12. \] En prenant : \[ x=1,\quad y=2, \] on obtient : \[ f(1)+f(2)=\frac12. \] Comme \(f(1)=\frac12\), on déduit : \[ f(2)=0. \] Mais en prenant : \[ x=y=2, \] on obtient : \[ f(2)+f(2)=\frac14, \] donc : \[ 2f(2)=\frac14, \] et : \[ f(2)=\frac18. \] On obtient deux valeurs différentes pour \(f(2)\), ce qui est contradictoire. L’énoncé doit donc être vérifié avant de retenir une valeur numérique pour \(f(2025)\).
Question 25
On considère le nombre à quatre chiffres 2652, qui possède la propriété suivante : chaque paire de chiffres consécutifs forme un multiple de 13, en effet : 26, 65, 52. On cherche un nombre \(N\) de 2025 chiffres qui satisfait :
- il commence par le chiffre 9 ;
- toute paire de chiffres consécutifs constitue un multiple de 13.
Quel est le dernier chiffre de \(N\) ?
On cherche les transitions possibles entre deux chiffres consécutifs. Les multiples de \(13\) à deux chiffres sont : \[ 13,\ 26,\ 39,\ 52,\ 65,\ 78,\ 91. \] Comme le nombre commence par \(9\), la seule paire possible qui commence par \(9\) est : \[ 91. \] Donc le deuxième chiffre est \(1\).
Ensuite, la seule paire possible qui commence par \(1\) est : \[ 13. \] Donc le troisième chiffre est \(3\).
Puis la seule paire possible qui commence par \(3\) est : \[ 39. \] Donc le quatrième chiffre est \(9\).
On obtient donc le cycle : \[ 9,\ 1,\ 3,\ 9,\ 1,\ 3,\ldots \] La période est \(3\).
Le rang \(2025\) vérifie : \[ 2025\equiv0\pmod3. \] Dans le cycle \(9,1,3\), le rang multiple de \(3\) correspond au chiffre : \[ 3. \] Donc le dernier chiffre de \(N\) est : \[ 3. \]
Question 26
On considère le rectangle ci-contre, partagé en cinq régions. Chaque région doit être coloriée d’une couleur unie choisie parmi rouge, orange, jaune, bleu, vert, de telle sorte que deux régions ayant un côté commun soient de couleurs différentes. On peut utiliser la même couleur pour des régions qui ne se touchent pas par un côté.
Combien de colorations distinctes sont possibles ?
On modélise les régions par leurs adjacences. La région centrale touche les quatre autres régions.
On choisit d’abord la couleur de la région centrale : \[ 5 \text{ choix}. \] Chaque région qui touche la région centrale ne peut pas prendre sa couleur. Il reste donc \(4\) couleurs possibles pour la première région adjacente.
Ensuite, en respectant les adjacences entre les régions restantes, on obtient successivement : \[ 4,\quad 3,\quad 3,\quad 3 \] choix possibles.
Le nombre total de colorations est : \[ 5\times4\times3\times3\times3. \] Donc : \[ N=540. \]
Question 27
Dans le repère cartésien ci-contre, un carré \(L\), en haut, a un côté posé sur l’axe des ordonnées, tandis qu’un carré \(R\), en bas, a un côté posé sur l’axe des abscisses. Les deux carrés partagent un sommet. Un sommet de chacun de ces carrés se trouve sur la droite : \[ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1. \]
Quelle est la longueur du côté du carré \(L\) ?
La réponse dépend de la lecture exacte de la figure : il faut identifier précisément quels sommets des deux carrés appartiennent à la droite : \[ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1. \] Avec la figure disponible, cette lecture n’est pas suffisamment nette pour choisir une proposition avec certitude.
Dans ce type de question, la méthode consiste normalement à :
- noter \(a\) la longueur du côté du carré \(L\),
- écrire les coordonnées du sommet de \(L\) situé sur la droite,
- noter \(b\) la longueur du côté du carré \(R\),
- utiliser le sommet commun des deux carrés,
- remplacer les coordonnées des sommets dans l’équation de la droite.
Question 28
Soit \(m\in\mathbb{R}\) et la fonction : \[ f:I\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt{x-2\sqrt{mx-1}}, \] définie sur un intervalle \(I\) choisi afin que \(f\) soit bijective sur \(I\). La fonction réciproque \(f^{-1}\) coupe la droite \((d):y=12-x\) au point d’ordonnée \(10\).
Quelle est la valeur de \(f(m+4)\) ?
La droite est : \[ y=12-x. \] Le point d’ordonnée \(10\) sur cette droite vérifie : \[ 10=12-x. \] Donc : \[ x=2. \] Ainsi, le point d’intersection est : \[ (2,10). \] Comme ce point appartient à la courbe de \(f^{-1}\), on a : \[ f^{-1}(2)=10. \] Cela équivaut à : \[ f(10)=2. \] Or : \[ f(x)=\sqrt{x-2\sqrt{mx-1}}. \] Donc : \[ f(10)=\sqrt{10-2\sqrt{10m-1}}=2. \] En élevant au carré : \[ 10-2\sqrt{10m-1}=4. \] Donc : \[ 2\sqrt{10m-1}=6, \] et : \[ \sqrt{10m-1}=3. \] Ainsi : \[ 10m-1=9, \] donc : \[ m=1. \] On demande : \[ f(m+4)=f(5). \] Avec \(m=1\) : \[ f(5)=\sqrt{5-2\sqrt{5-1}} = \sqrt{5-2\sqrt4} = \sqrt{5-4} = 1. \]
Question 29
La fonction \(f\) est strictement décroissante et son domaine de définition est l’ensemble des réels négatifs \(\mathbb{R}^-\).
On sait que : \[ f(m^2-m-5)\lt f(-3+2m-m^2). \] Combien de valeurs entières \(m\) satisfont cette inégalité ?
La fonction \(f\) est décroissante. Donc, si : \[ f(A)\lt f(B), \] alors : \[ A\gt B. \] Ici : \[ A=m^2-m-5, \qquad B=-3+2m-m^2. \] Donc : \[ m^2-m-5\gt -3+2m-m^2. \] On regroupe : \[ 2m^2-3m-2\gt0. \] On factorise : \[ 2m^2-3m-2=(2m+1)(m-2). \] Donc : \[ (2m+1)(m-2)\gt0. \] Ainsi : \[ m\lt-\frac12 \quad \text{ou} \quad m\gt2. \] En tenant compte de la condition de domaine imposée par les deux expressions dans \(f\), il reste la valeur entière : \[ m=-1. \]
Question 30
On note \(E(x)\) la partie entière, c’est-à-dire le plus grand entier \(\le x\). Soient \(k\in\mathbb{N}\) et \(n\in\mathbb{N}\). On considère la fonction : \[ f(x)= \begin{cases} |x-E(-x)|, & \text{si } E(x) \text{ est pair},\\ |x-E(x)|+k, & \text{si } E(x) \text{ est impair}. \end{cases} \] On suppose que \(f\) est continue aux points \(x=n\) et \(x=-n\).
Quelle affirmation concernant l’entier \(n\) est correcte ?
La difficulté vient des points où la partie entière change de valeur. Il faut donc comparer les limites à gauche et à droite aux points critiques.
L’étude montre que, lorsque \(n\) est pair, les deux limites latérales aux points concernés ne coïncident pas. La continuité est donc impossible.
Lorsque \(n\) est impair, les signes se compensent correctement. La condition de continuité obtenue aux deux points critiques est : \[ k=2n. \] Donc la continuité est possible exactement lorsque : \[ n \text{ est impair} \quad \text{et} \quad k=2n. \]
Tableau récapitulatif des réponses finales
| Question | Réponse | Remarque |
|---|---|---|
| Q1 | C | |
| Q2 | A | |
| Q3 | C* | Réponse C si la proposition est bien \(h(2x)\). La proposition transcrite doit être vérifiée. |
| Q4 | B | |
| Q5 | A | |
| Q6 | Réserve | La limite obtenue est \(+\infty\), absente des choix finis. |
| Q7 | Réserve | La somme obtenue est \(7\), absente des choix proposés. |
| Q8 | C | |
| Q9 | D | |
| Q10 | D | |
| Q11 | A | |
| Q12 | A | |
| Q13 | B | |
| Q14 | D | |
| Q15 | E | |
| Q16 | A | Réponse liée à la transcription retenue : 5 boules bleues dans l’urne B. |
| Q17 | C | |
| Q18 | B | |
| Q19 | C | |
| Q20 | B | |
| Q21 | D | |
| Q22 | B | |
| Q23 | C | |
| Q24 | Réserve | L’équation fonctionnelle transcrite est contradictoire. |
| Q25 | B | |
| Q26 | D | |
| Q27 | Réserve | La lecture précise de la figure officielle est nécessaire. |
| Q28 | D | |
| Q29 | A | |
| Q30 | B |
Les questions marquées “Réserve” nécessitent une vérification de la source originale avant usage officiel.
Conseil aux élèves
Cette épreuve ENSAM 2025 demande une bonne maîtrise des outils classiques : probabilités, lecture graphique, suites, limites, intégrales, arithmétique, complexes, géométrie analytique, dénombrement et fonctions.
Lorsqu’une réponse obtenue rigoureusement ne figure pas parmi les propositions, il faut garder une réserve pédagogique et vérifier l’énoncé original au lieu de forcer une réponse.
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