Concours Médecine Agadir 2019 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Agadir — épreuve de mathématiques.

Session juillet 2019 — Questions 21 à 30.

Compétences et points clés

Agadir Médecine 2019 associe puissances complexes, limites usuelles, probabilités conditionnelles et suites transformées. Le sujet est particulièrement utile pour comparer deux manières d’exploiter une donnée : une forme algébrique directe ou une représentation plus adaptée.

Prérequis à revoir : conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; événements, intersections et arbres pondérés; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes.

Rappels de cours utiles

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour la puissance complexe, séparer calcul du module et de l’argument. Dans les probabilités de réussite, distinguer les étudiants préparés et non préparés avant de réunir les branches. Pour les deux suites finales, lire le rang initial et examiner l’effet de la racine sur les termes positifs.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Agadir 2019.

Les questions portent sur les nombres complexes, limites, intégrales, probabilités, géométrie de l’espace, fonctions, logarithmes et suites.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire.
Ville : Agadir.
Session : juillet 2019.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 21 à 30.
Durée indiquée : 30 minutes.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Les propositions sont notées A, B, C et D.
L’utilisation des calculatrices non programmables est autorisée.

Énoncé — Mathématiques

Question 21

Énoncé

On considère le nombre complexe :

\[ Z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt3)^4}. \]

A) \(|Z|=2\)

B) \(|Z|=\dfrac12\)

C) \(\arg(Z)=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

D) \(\arg(Z)=-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

Question 22

Énoncé

A) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=0\)

B) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{\sin 2x}=1\)

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(0{,}999)^x=+\infty\)

D) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}=0\)

Question 23

Énoncé

A) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos 2x\,dx=\dfrac12\)

B) \(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2(e^{2x}-e^{-2x})\,dx=e^2\)

C) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^2x\,dx\le\dfrac{\pi}{2}\)

D) \(\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=4-2\sqrt e\)

Question 24

Énoncé

On lance deux dés dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\). Pour chaque dé, les probabilités d’obtenir une des six faces sont égales. On note \(S\) la somme des points des faces supérieures.

Si \(2\le S\le3\), on gagne \(20\) points ; si \(3\lt S\le5\), on gagne \(10\) points ; si \(5\lt S\lt10\), on gagne \(5\) points et si \(10\le S\le12\), on gagne \(1\) point.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points par lancer.

A) \(P(X=20)=P(X=1)\)

B) \(P(X=5)=\dfrac59\)

C) \(P(X\le5)=\dfrac{13}{18}\)

D) \(E(X)=\dfrac{64}{9}\)

Question 25

Énoncé

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\). On considère \(A\) le point d’affixe \(z_A=-2i\), \(B\) le point d’affixe \(z_B=2\) et \(C\) le point d’affixe \(z_C=2+2i\sqrt3\).

A) L’écriture trigonométrique de \(2+2i\sqrt3\) est : \(4\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).

B) \(C\) est situé sur le cercle de centre \(B\) et de rayon \(r=2\).

C) L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(z+\overline z=2\) est une droite parallèle à \((OB)\).

D) L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z+2i|=|z-2|\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

Question 26

Énoncé

Dans une classe, \(80\%\) des étudiants ont préparé l’examen. Un étudiant n’ayant pas préparé l’examen le réussit avec une probabilité de \(0{,}1\), tandis qu’un étudiant l’ayant préparé réussit avec une probabilité de \(0{,}85\).

A) La probabilité qu’un étudiant ne prépare pas l’examen et réussisse est \(0{,}2\).

B) La probabilité qu’un étudiant réussisse l’examen est \(0{,}7\).

C) La probabilité qu’un étudiant n’a pas préparé l’examen sachant qu’il a réussi est \(0{,}3\).

D) La probabilité qu’un étudiant échoue à l’examen est \(0{,}03\).

Question 27

Énoncé

Dans le repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) de l’espace, on considère les plans \((P)\) et \((P')\) tels que :

\[ (P):x-y-z-1=0 \quad\text{et}\quad (P'):x+y+3z+1=0. \]

On considère aussi les droites \((D)\) et \((D')\) telles que :

\[ (D): \begin{cases} x=-2-2t\\ y=2t\\ z=1+2t \end{cases} \quad t\in\mathbb R \] \[ (D'): \begin{cases} x=1-k\\ y=-1-2k\\ z=k \end{cases} \quad k\in\mathbb R. \]

A) La droite \((D)\) est orthogonale au plan \((P)\).

B) Le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\) de centre \(O\) et de rayon \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).

C) L’intersection des plans \((P)\) et \((P')\) est la droite \((D')\).

D) Les droites \((D)\) et \((D')\) sont coplanaires.

Question 28

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x(1-x^2)^3. \]

A) La courbe représentative de la fonction \(f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

B) Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(f'(x)=(1-x^2)^2(1-7x^2)\), où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\).

C) Les fonctions \(F\) définies sur \(\mathbb R\) par \(F(x)=\dfrac14(1-x^2)^4+c\), avec \(c\in\mathbb R\), sont les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).

D) \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=-\dfrac18\).

Question 29

Énoncé

Soit \(g\) la fonction définie pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) par :

\[ g(x)=\ln^2(x)+\ln(x). \]

\((C_g)\) est la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\).

A) Pour tout \(x\in]0,+\infty[\), on a : \(g(x)\ge-\dfrac14\).

B) L’équation \(g(x)=e\) admet une solution unique sur \(]0,+\infty[\).

C) La tangente \((T)\) à la courbe \((C_g)\) au point d’abscisse \(e^{-1}\) est parallèle à la droite d’équation \(y=e-ex\).

D) La droite d’équation \(y=0\) est asymptote à la courbe \((C_g)\).

Question 30

Énoncé

On considère les deux suites \((u_n)_{n\ge0}\) et \((v_n)_{n\ge0}\) définies par :

\[ u_0=e,\qquad u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n}\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N, \]

\[ v_n=\ln(u_n)\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on note :

\[ S=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n \]

\[ P=u_0\times u_1\times u_2\times\cdots\times u_n. \]

A) \((v_n)_{n\ge0}\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac13\).

B) Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(S=\dfrac12\left(3-\dfrac1{3^n}\right)\).

C) Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(P=e^S\).

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P=+\infty\).

Conseil aux élèves

Dans cette partie mathématiques, les propositions demandent souvent d’analyser rapidement la validité de plusieurs affirmations. Il faut donc contrôler chaque proposition séparément.

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