Correction Concours Médecine Agadir 2019

Correction Concours Médecine Agadir 2019 — Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Agadir — session juillet 2019.

Correction détaillée des questions 21 à 30.

Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Agadir 2019.

Les propositions sont analysées séparément, car plusieurs questions peuvent contenir plus d’une proposition correcte.

Voir l’énoncé Guide Médecine Page Concours

Tableau des propositions correctes

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 21&22&23&24&25&26&27&28&29&30\\ \hline \text{Réponse} & A,C&A,D&A,C,D&B,C&A,D&B&A,B&B&A,C&A,B,C \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 21 — Nombre complexe

Rappel complet de la question

On considère le nombre complexe :

\[ Z=\frac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt3)^4}. \]

A) \(|Z|=2\)

B) \(|Z|=\dfrac12\)

C) \(\arg(Z)=\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

D) \(\arg(Z)=-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

Rappel utile
Pour une puissance d’un nombre complexe, on écrit le nombre sous forme trigonométrique, puis on élève le module à la puissance et on multiplie l’argument par cette puissance.

Correction

On écrit :

\[ 1-i=\sqrt2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right). \]

Donc :

\[ (1-i)^{10}=(\sqrt2)^{10} \left(\cos\left(-\frac{10\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{10\pi}{4}\right)\right). \]

Comme \((\sqrt2)^{10}=32\), le module du numérateur vaut \(32\).

De même :

\[ 1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \]

Donc :

\[ (1+i\sqrt3)^4=2^4 \left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right). \]

Le module du dénominateur vaut \(16\). Ainsi :

\[ |Z|=\frac{32}{16}=2. \]

Pour l’argument :

\[ \arg(Z)=10\left(-\frac{\pi}{4}\right)-4\left(\frac{\pi}{3}\right). \]

Donc :

\[ \arg(Z)=-\frac{5\pi}{2}-\frac{4\pi}{3} =-\frac{23\pi}{6}. \]

Or :

\[ -\frac{23\pi}{6}\equiv \frac{\pi}{6}\ [2\pi]. \]

Idée utile : On traite séparément le module et l’argument.

Propositions correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ C}\)

Question 22 — Limites

Rappel complet de la question

On considère les propositions suivantes :

A) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}=0\)

B) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{\sin 2x}=1\)

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(0{,}999)^x=+\infty\)

D) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}=0\)

Rappel utile
Pour juger plusieurs limites, on utilise les équivalents usuels au voisinage de \(0\) et les croissances comparées à l’infini.

Correction

Pour A :

\[ 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}, \qquad \sin x\sim x. \]

Donc :

\[ \frac{1-\cos x}{\sin x}\sim \frac{x^2/2}{x}=\frac{x}{2}\to0. \]

La proposition A est correcte.

Pour B :

\[ \ln(1+x)\sim x, \qquad \sin2x\sim2x. \]

Donc :

\[ \frac{\ln(1+x)}{\sin2x}\to\frac12. \]

La proposition B est fausse.

Pour C, comme \(0\lt0{,}999\lt1\), on a :

\[ (0{,}999)^x\to0\quad (x\to+\infty). \]

La proposition C est fausse.

Pour D, par croissance comparée :

\[ \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x}}\to0. \]

La proposition D est correcte.

Idée utile : Attention : \(\ln(1+x)\) est équivalent à \(x\), mais \(\sin2x\) est équivalent à \(2x\).

Propositions correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ D}\)

Question 23 — Intégrales

Rappel complet de la question

On considère les propositions suivantes :

A) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos 2x\,dx=\dfrac12\)

B) \(\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2(e^{2x}-e^{-2x})\,dx=e^2\)

C) \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^2x\,dx\le\dfrac{\pi}{2}\)

D) \(\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx=4-2\sqrt e\)

Rappel utile
Pour valider une proposition intégrale, on peut utiliser une primitive, la parité de l’intégrande ou une inégalité simple.

Correction

Pour A :

\[ \int_{0}^{\pi/4}\cos2x\,dx = \left[\frac12\sin2x\right]_{0}^{\pi/4} = \frac12. \]

La proposition A est correcte.

Pour B, la fonction \(x^2\) est paire et \(e^{2x}-e^{-2x}\) est impaire. Le produit est donc impair.

Alors :

\[ \int_{-1}^{1}x^2(e^{2x}-e^{-2x})\,dx=0. \]

La proposition B est fausse.

Pour C, on sait que :

\[ 0\le \sin^2x\le1. \]

Donc :

\[ 0\le\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx\le\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2}. \]

La proposition C est correcte.

Pour D, on pose \(x=t^2\). Alors \(dx=2t\,dt\), \(\sqrt x=t\) et \(\ln x=2\ln t\).

Donc :

\[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = 4\int_1^{\sqrt e}\ln t\,dt. \]

Or :

\[ \int\ln t\,dt=t\ln t-t. \]

Ainsi :

\[ 4\left[t\ln t-t\right]_1^{\sqrt e} = 4\left(\frac{\sqrt e}{2}-\sqrt e+1\right) = 4-2\sqrt e. \]

La proposition D est correcte.

Idée utile : Une intégrale sur \([-a,a]\) d’une fonction impaire est nulle.

Propositions correctes : \(\boxed{A,\ C\ \text{et}\ D}\)

Question 24 — Probabilité et variable aléatoire

Rappel complet de la question

On lance deux dés dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\). Pour chaque dé, les probabilités d’obtenir une des six faces sont égales. On note \(S\) la somme des points des faces supérieures.

Si \(2\le S\le3\), on gagne \(20\) points ; si \(3\lt S\le5\), on gagne \(10\) points ; si \(5\lt S\lt10\), on gagne \(5\) points et si \(10\le S\le12\), on gagne \(1\) point.

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de points par lancer.

A) \(P(X=20)=P(X=1)\)

B) \(P(X=5)=\dfrac59\)

C) \(P(X\le5)=\dfrac{13}{18}\)

D) \(E(X)=\dfrac{64}{9}\)

Rappel utile
Pour deux dés, il y a \(36\) issues équiprobables. On compte les sommes correspondant à chaque valeur de \(X\).

Correction

Les sommes \(S=2,3\) correspondent à :

\[ 1+2=3 \]

issues. Donc :

\[ P(X=20)=\frac3{36}=\frac1{12}. \]

Les sommes \(S=10,11,12\) correspondent à :

\[ 3+2+1=6 \]

issues. Donc :

\[ P(X=1)=\frac6{36}=\frac16. \]

La proposition A est fausse.

Les sommes \(6,7,8,9\) correspondent à :

\[ 5+6+5+4=20 \]

issues. Donc :

\[ P(X=5)=\frac{20}{36}=\frac59. \]

La proposition B est correcte.

On a :

\[ P(X\le5)=P(X=5)+P(X=1)=\frac{20}{36}+\frac6{36}=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}. \]

La proposition C est correcte.

Enfin :

\[ E(X)=20\cdot\frac3{36}+10\cdot\frac7{36}+5\cdot\frac{20}{36}+1\cdot\frac6{36}. \]

Donc :

\[ E(X)=\frac{60+70+100+6}{36}=\frac{236}{36}=\frac{59}{9}. \]

La proposition D est fausse.

Idée utile : Le tableau des sommes de deux dés est indispensable pour compter sans erreur.

Propositions correctes : \(\boxed{B\ \text{et}\ C}\)

Question 25 — Nombres complexes et géométrie

Rappel complet de la question

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\). On considère \(A\) le point d’affixe \(z_A=-2i\), \(B\) le point d’affixe \(z_B=2\) et \(C\) le point d’affixe \(z_C=2+2i\sqrt3\).

A) L’écriture trigonométrique de \(2+2i\sqrt3\) est : \(4\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\).

B) \(C\) est situé sur le cercle de centre \(B\) et de rayon \(r=2\).

C) L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(z+\overline z=2\) est une droite parallèle à \((OB)\).

D) L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que \(|z+2i|=|z-2|\) est la médiatrice du segment \([AB]\).

Rappel utile
En géométrie complexe, \(|z-z_A|\) représente la distance du point \(M(z)\) au point \(A(z_A)\).

Correction

Pour A, on calcule le module de \(2+2i\sqrt3\) :

\[ |2+2i\sqrt3|=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4. \]

Son argument est :

\[ \frac{\pi}{3}. \]

Donc :

\[ 2+2i\sqrt3=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right). \]

La proposition A est correcte.

Pour B :

\[ BC=|z_C-z_B|=|2+2i\sqrt3-2|=|2i\sqrt3|=2\sqrt3. \]

Donc \(C\) n’est pas sur le cercle de centre \(B\) et de rayon \(2\). La proposition B est fausse.

Pour C, si \(z=x+iy\), alors :

\[ z+\overline z=2x. \]

La condition \(z+\overline z=2\) donne :

\[ 2x=2, \qquad x=1. \]

C’est une droite verticale, donc elle n’est pas parallèle à \((OB)\), qui est l’axe réel. La proposition C est fausse.

Pour D :

\[ |z+2i|=|z-z_A|, \qquad |z-2|=|z-z_B|. \]

La condition signifie que \(M\) est équidistant de \(A\) et \(B\). L’ensemble est donc la médiatrice de \([AB]\).

La proposition D est correcte.

Idée utile : Transformer chaque condition complexe en distance géométrique clarifie la réponse.

Propositions correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ D}\)

Question 26 — Probabilités conditionnelles

Rappel complet de la question

Dans une classe, \(80\%\) des étudiants ont préparé l’examen. Un étudiant n’ayant pas préparé l’examen le réussit avec une probabilité de \(0{,}1\), tandis qu’un étudiant l’ayant préparé réussit avec une probabilité de \(0{,}85\).

A) La probabilité qu’un étudiant ne prépare pas l’examen et réussisse est \(0{,}2\).

B) La probabilité qu’un étudiant réussisse l’examen est \(0{,}7\).

C) La probabilité qu’un étudiant n’a pas préparé l’examen sachant qu’il a réussi est \(0{,}3\).

D) La probabilité qu’un étudiant échoue à l’examen est \(0{,}03\).

Rappel utile
On utilise la formule des probabilités totales en séparant les étudiants qui ont préparé et ceux qui n’ont pas préparé.

Correction

On note \(P\) l’événement « l’étudiant a préparé » et \(R\) l’événement « l’étudiant réussit ».

On a :

\[ P(P)=0{,}8,\qquad P(\overline P)=0{,}2. \]

De plus :

\[ P(R|P)=0{,}85, \qquad P(R|\overline P)=0{,}1. \]

Alors :

\[ P(\overline P\cap R)=0{,}2\times0{,}1=0{,}02. \]

La proposition A est fausse.

Par la formule des probabilités totales :

\[ P(R)=0{,}8\times0{,}85+0{,}2\times0{,}1. \]

Donc :

\[ P(R)=0{,}68+0{,}02=0{,}70. \]

La proposition B est correcte.

Ensuite :

\[ P(\overline P|R)=\frac{P(\overline P\cap R)}{P(R)} =\frac{0{,}02}{0{,}70} =\frac1{35}. \]

Ce n’est pas \(0{,}3\). La proposition C est fausse.

Enfin :

\[ P(\overline R)=1-P(R)=1-0{,}7=0{,}3. \]

La proposition D est fausse.

Idée utile : Le piège principal est de confondre \(P(\overline P\cap R)\) avec \(P(\overline P)\).

Proposition correcte : \(\boxed{B}\)

Question 27 — Géométrie de l’espace

Rappel complet de la question

Dans le repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) de l’espace, on considère les plans \((P)\) et \((P')\) tels que :

\[ (P):x-y-z-1=0 \quad\text{et}\quad (P'):x+y+3z+1=0. \]

On considère aussi les droites \((D)\) et \((D')\) telles que :

\[ (D): \begin{cases} x=-2-2t\\ y=2t\\ z=1+2t \end{cases} \quad t\in\mathbb R \] \[ (D'): \begin{cases} x=1-k\\ y=-1-2k\\ z=k \end{cases} \quad k\in\mathbb R. \]

A) La droite \((D)\) est orthogonale au plan \((P)\).

B) Le plan \((P)\) est tangent à la sphère \((S)\) de centre \(O\) et de rayon \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).

C) L’intersection des plans \((P)\) et \((P')\) est la droite \((D')\).

D) Les droites \((D)\) et \((D')\) sont coplanaires.

Rappel utile
Une droite est orthogonale à un plan lorsque son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.

Correction

Pour le plan \((P)\), un vecteur normal est :

\[ \vec n=(1,-1,-1). \]

Pour la droite \((D)\), un vecteur directeur est :

\[ \vec u=(-2,2,2)=-2(1,-1,-1). \]

Donc \((D)\) est orthogonale à \((P)\). La proposition A est correcte.

La distance de \(O(0,0,0)\) au plan \((P)\) est :

\[ d(O,(P))=\frac{|0-0-0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}} =\frac1{\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{3}. \]

Cette distance est égale au rayon de la sphère. Le plan est donc tangent à la sphère. La proposition B est correcte.

Pour la proposition C, on teste un point de \((D')\). Pour \(k=0\), on obtient :

\[ (1,-1,0). \]

Dans \((P)\) :

\[ 1-(-1)-0-1=1\ne0. \]

Donc \((D')\) n’est pas l’intersection des deux plans. La proposition C est fausse.

Pour la coplanarité des droites \((D)\) et \((D')\), on prend :

\[ A(-2,0,1)\in(D),\qquad B(1,-1,0)\in(D'). \]

Les vecteurs directeurs sont :

\[ \vec u=(-2,2,2),\qquad \vec v=(-1,-2,1). \]

Et :

\[ \overrightarrow{AB}=(3,-1,-1). \]

Le déterminant formé par ces trois vecteurs vaut :

\[ \det(\vec u,\vec v,\overrightarrow{AB})=12\ne0. \]

Les droites ne sont donc pas coplanaires. La proposition D est fausse.

Idée utile : Pour tester une droite donnée comme intersection, il suffit déjà de contrôler si ses points appartiennent aux deux plans.

Propositions correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ B}\)

Question 28 — Fonction et primitive

Rappel complet de la question

Soit \(f\) la fonction définie sur l’ensemble \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=x(1-x^2)^3. \]

A) La courbe représentative de la fonction \(f\) est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

B) Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a \(f'(x)=(1-x^2)^2(1-7x^2)\), où \(f'\) est la fonction dérivée de \(f\).

C) Les fonctions \(F\) définies sur \(\mathbb R\) par \(F(x)=\dfrac14(1-x^2)^4+c\), avec \(c\in\mathbb R\), sont les primitives de \(f\) sur \(\mathbb R\).

D) \(\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=-\dfrac18\).

Rappel utile
On contrôle séparément la parité, la dérivée, puis la primitive ou l’intégrale.

Correction

On a :

\[ f(-x)=(-x)(1-(-x)^2)^3=-x(1-x^2)^3=-f(x). \]

Donc \(f\) est impaire, et sa courbe n’est pas symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. La proposition A est fausse.

Calculons la dérivée :

\[ f(x)=x(1-x^2)^3. \]

Donc :

\[ f'(x)=(1-x^2)^3+x\cdot3(1-x^2)^2(-2x). \]

Ainsi :

\[ f'(x)=(1-x^2)^2\left((1-x^2)-6x^2\right). \]

Donc :

\[ f'(x)=(1-x^2)^2(1-7x^2). \]

La proposition B est correcte.

Pour C, si :

\[ F(x)=\frac14(1-x^2)^4+c, \]

alors :

\[ F'(x)=\frac14\cdot4(1-x^2)^3(-2x)=-2x(1-x^2)^3. \]

Donc \(F'(x)\ne f(x)\). La proposition C est fausse.

Enfin :

\[ \int_0^1 x(1-x^2)^3\,dx. \]

On pose \(u=1-x^2\), donc \(du=-2x\,dx\). Alors :

\[ \int_0^1 x(1-x^2)^3\,dx = \frac12\int_0^1 u^3\,du = \frac18. \]

La proposition D est fausse.

Idée utile : Le signe de la primitive proposée se contrôle immédiatement en dérivant.

Proposition correcte : \(\boxed{B}\)

Question 29 — Fonction logarithmique

Rappel complet de la question

Soit \(g\) la fonction définie pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) par :

\[ g(x)=\ln^2(x)+\ln(x). \]

\((C_g)\) est la courbe représentative de la fonction \(g\) dans un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\).

A) Pour tout \(x\in]0,+\infty[\), on a : \(g(x)\ge-\dfrac14\).

B) L’équation \(g(x)=e\) admet une solution unique sur \(]0,+\infty[\).

C) La tangente \((T)\) à la courbe \((C_g)\) au point d’abscisse \(e^{-1}\) est parallèle à la droite d’équation \(y=e-ex\).

D) La droite d’équation \(y=0\) est asymptote à la courbe \((C_g)\).

Rappel utile
Le changement \(t=\ln x\) permet de transformer \(g(x)\) en un polynôme du second degré.

Correction

Posons :

\[ t=\ln x. \]

Alors :

\[ g(x)=t^2+t. \]

On complète le carré :

\[ t^2+t=\left(t+\frac12\right)^2-\frac14. \]

Donc :

\[ g(x)\ge-\frac14. \]

La proposition A est correcte.

Pour \(g(x)=e\), on obtient :

\[ t^2+t=e. \]

Cette équation du second degré admet deux racines réelles car :

\[ \Delta=1+4e>0. \]

Chaque racine réelle \(t\) donne un réel \(x=e^t\gt0\). Il y a donc deux solutions. La proposition B est fausse.

Calculons la dérivée :

\[ g'(x)=\frac{2\ln x+1}{x}. \]

Au point d’abscisse \(e^{-1}\), on a \(\ln(e^{-1})=-1\). Donc :

\[ g'(e^{-1})=\frac{2(-1)+1}{e^{-1}}=-e. \]

La droite \(y=e-ex\) a aussi pour coefficient directeur \(-e\). La tangente est donc parallèle à cette droite. La proposition C est correcte.

Enfin, lorsque \(x\to+\infty\), on a \(g(x)\to+\infty\), et lorsque \(x\to0^+\), on a aussi \(g(x)\to+\infty\). La droite \(y=0\) n’est donc pas une asymptote à la courbe. La proposition D est fausse.

Idée utile : Le minimum de \(t^2+t\) donne directement la borne inférieure de \(g\).

Propositions correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ C}\)

Question 30 — Suites logarithmiques

Rappel complet de la question

On considère les deux suites \((u_n)_{n\ge0}\) et \((v_n)_{n\ge0}\) définies par :

\[ u_0=e,\qquad u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n}\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N, \]

\[ v_n=\ln(u_n)\quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on note :

\[ S=v_0+v_1+v_2+\cdots+v_n \]

\[ P=u_0\times u_1\times u_2\times\cdots\times u_n. \]

A) \((v_n)_{n\ge0}\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac13\).

B) Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(S=\dfrac12\left(3-\dfrac1{3^n}\right)\).

C) Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(P=e^S\).

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P=+\infty\).

Rappel utile
Prendre le logarithme transforme les racines successives en une suite géométrique.

Correction

On a :

\[ v_n=\ln(u_n). \]

Or :

\[ u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n}=u_n^{1/3}. \]

Donc :

\[ v_{n+1}=\ln(u_{n+1})=\ln(u_n^{1/3})=\frac13\ln(u_n)=\frac13v_n. \]

De plus :

\[ v_0=\ln(e)=1. \]

La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(\frac13\). La proposition A est correcte.

On obtient :

\[ v_n=\left(\frac13\right)^n. \]

Alors :

\[ S=1+\frac13+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{3^n}. \]

Donc :

\[ S=\frac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}. \]

Ainsi :

\[ S=\frac32\left(1-\frac1{3^{n+1}}\right) =\frac12\left(3-\frac1{3^n}\right). \]

La proposition B est correcte.

Comme :

\[ P=u_0u_1\cdots u_n, \]

on a :

\[ \ln P=\ln u_0+\ln u_1+\cdots+\ln u_n. \]

Donc :

\[ \ln P=S. \]

Ainsi :

\[ P=e^S. \]

La proposition C est correcte.

Enfin :

\[ S\to\frac32. \]

Donc :

\[ P=e^S\to e^{3/2}. \]

La limite n’est pas \(+\infty\). La proposition D est fausse.

Idée utile : Le produit \(P\) devient une somme lorsqu’on prend le logarithme.

Propositions correctes : \(\boxed{A,\ B\ \text{et}\ C}\)

Conseil aux élèves

Dans cette partie, il faut traiter chaque proposition comme une affirmation indépendante : calculer, comparer, puis retenir seulement les propositions compatibles avec le résultat obtenu.

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