Concours Médecine Casablanca 2015 — Énoncé de mathématiques

Université Hassan II — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca.

Concours d’accès 2015-2016 — Durée : 30 minutes — 6 questions.

Compétences et points clés

Casablanca Médecine 2015 passe d’une fonction oscillante avec exponentielle à une limite rationnelle, une intégrale, des complexes et une population modélisée par une suite. Le sujet demande de choisir le modèle propre à chaque situation.

Prérequis à revoir : dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; combinaisons, arrangements et permutations.

Rappels de cours utiles

Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour la fonction exponentielle et trigonométrique, traiter la dérivée comme celle d’un produit. Pour la limite rationnelle, comparer les termes de plus haut degré. Dans la population, distinguer variation proportionnelle et ajout fixe. Pour les boules, définir les catégories et le tirage avant de compter.

Cette page présente la transcription française fidèle de l’épreuve officielle de mathématiques, initialement rédigée en arabe, du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca 2015.

Les questions portent sur l’étude d’une fonction, les limites, les intégrales, les nombres complexes, les suites et les probabilités.

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Données de l’épreuve

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Casablanca.
Université : Université Hassan II.
Année universitaire : 2015-2016.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Nombre de questions indiqué : 6.

Présentation du sujet

Les réponses devaient être inscrites directement dans les espaces prévus sur la feuille officielle. La question VI impose de choisir les deux probabilités parmi une liste de valeurs numériques.

Énoncé — Mathématiques

Question I — Étude d’une fonction

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=e^x(\cos x-\sin x), \]

et \(C_f\) sa courbe représentative.

1) Calculer : \[ \lim_{{x\to-\infty}}f(x). \]

2) Étudier la fonction \(f\) sur l’intervalle : \[ \left[\frac{{\pi}}{{2}},\frac{{3\pi}}{{2}}\right]. \]

Dans le cadre de cette étude, répondre aux questions suivantes.

2-1) Donner, sans détailler les calculs, les coordonnées du point :

\[ A\bigl(x_A,f(x_A)\bigr) \]

par lequel passe une tangente horizontale à \(C_f\).

2-2) Répondre par « oui » ou « non » aux affirmations suivantes :

a) La fonction \(f\) est décroissante sur :

\[ \left[\frac{{3\pi}}{{4}},\pi\right]. \]

b) La fonction \(f\) est décroissante sur :

\[ \left[\frac{{5\pi}}{{4}},\frac{{3\pi}}{{2}}\right]. \]

Question II — Limite

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{{x\to+\infty}} \frac{{x^2+2\sqrt3\,x+3}}{{3-x^2}}. \]

Question III — Intégrale

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^1 \frac{{x}}{{2x^4+3x^2+\frac98}}\,dx. \]

Question IV — Nombres complexes et géométrie

Énoncé

On considère trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan complexe, d’affixes respectives :

\[ z_A=2-4i, \qquad z_B=4+2i, \qquad z_C=8-6i. \]

On pose :

\[ W=\frac{{z_B-z_A}}{{z_C-z_A}}. \]

1) Calculer le module et un argument de \(W\) : \[ |W| \qquad\text{{et}}\qquad \arg(W). \]

2) Déterminer la nature du triangle \(BAC\).

Question V — Modélisation par une suite

Énoncé

Dans un milieu nutritif, on introduit \(1000\) bactéries d’une espèce donnée. On suppose que le nombre de ces bactéries augmente de \(50\%\) chaque jour.

On note \(U_n\) le nombre de bactéries présentes dans le milieu au jour \(n\).

1) Quelle est la nature de la suite \((U_n)\) ?

2) Donner sa raison.

Question VI — Probabilités

Énoncé

Une boîte contient \(10\) boules indiscernables au toucher. Certaines sont blanches et les autres sont noires. Certaines sont décorées de dessins et les autres ne sont pas décorées.

On sait que :

la boîte contient \(3\) boules noires ;
la boîte contient \(7\) boules décorées ;
une seule boule est à la fois noire et décorée.

Pour répondre aux deux questions suivantes, utiliser exclusivement l’une des valeurs proposées :

\(0\) \(0{{,}}166\) \(0{{,}}216\) \(0{{,}}343\) \(0{{,}}900\) \(1\)

1) On tire au hasard une seule boule. Calculer la probabilité \(P\) que cette boule soit noire ou décorée.

2) On tire successivement trois boules avec remise. Calculer la probabilité \(P'\) d’obtenir trois boules blanches et décorées.

Conseil aux élèves

Cette épreuve demande des réponses courtes, mais elle mobilise plusieurs chapitres. Il faut identifier immédiatement la propriété utile, respecter les intervalles demandés et lire précisément les données probabilistes.

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