Correction Concours Médecine Casablanca 2015 — Mathématiques
Université Hassan II — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca.
Concours d’accès 2015-2016 — Correction détaillée des 6 questions.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Casablanca 2015.
Chaque question commence par le rappel intégral de l’énoncé, puis tous les calculs sont expliqués étape par étape.
Correction détaillée
Question 1 — Étude d’une fonction
On considère :
\[ f(x)=e^x(\cos x-\sin x). \]1) Calculer :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x). \]2) Étudier \(f\) sur :
\[ \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]. \]2-1) Donner les coordonnées du point \(A\) où la tangente à la courbe est horizontale.
2-2) Répondre par « oui » ou « non » :
a) \(f\) est-elle décroissante sur :
\[ \left[\frac{3\pi}{4},\pi\right]? \]b) \(f\) est-elle décroissante sur :
\[ \left[\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right]? \]Pour tout réel \(x\), on a :
\[ |\cos x-\sin x| \le |\cos x|+|\sin x| \le2. \]Donc :
\[ |f(x)| = e^x|\cos x-\sin x| \le 2e^x. \]Or :
\[ \lim_{x\to-\infty}2e^x=0. \]Par encadrement :
\[ \boxed{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 }. \] 2) Dérivée de la fonctionLa fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\). En utilisant la formule du produit :
\[ f'(x) = e^x(\cos x-\sin x) + e^x(-\sin x-\cos x). \]Après simplification :
\[ f'(x) = -2e^x\sin x. \]Comme :
\[ e^x\gt0 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb R, \]le signe de \(f'(x)\) est l’opposé de celui de \(\sin x\).
Variations sur l’intervalle demandéSur :
\[ \left]\frac{\pi}{2},\pi\right[, \]on a \(\sin x\gt0\). Donc :
\[ f'(x)\lt0. \]Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur :
\[ \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]. \]Sur :
\[ \left]\pi,\frac{3\pi}{2}\right[, \]on a \(\sin x\lt0\). Donc :
\[ f'(x)\gt0. \]Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur :
\[ \left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]. \]Les valeurs utiles sont :
\[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi/2}(0-1) = -e^{\pi/2}, \] \[ f(\pi) = e^\pi(-1-0) = -e^\pi, \] \[ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e^{3\pi/2}(0-(-1)) = e^{3\pi/2}. \]La fonction décroît donc de \(-e^{\pi/2}\) vers \(-e^\pi\), puis croît de \(-e^\pi\) vers \(e^{3\pi/2}\).
2-1) Tangente horizontaleUne tangente est horizontale lorsque :
\[ f'(x)=0. \]Or :
\[ -2e^x\sin x=0. \]Comme \(e^x\ne0\), il faut :
\[ \sin x=0. \]Dans l’intervalle :
\[ \left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right], \]la seule solution est :
\[ x_A=\pi. \]Et :
\[ f(\pi)=-e^\pi. \]Donc :
\[ \boxed{ A(\pi,-e^\pi) }. \] 2-2-a) Décroissance sur \(\left[\frac{3\pi}{4},\pi\right]\)Cet intervalle est inclus dans :
\[ \left[\frac{\pi}{2},\pi\right], \]sur lequel \(f'(x)\le0\). La réponse est donc :
\[ \boxed{\text{Oui}}. \] 2-2-b) Décroissance sur \(\left[\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right]\)Cet intervalle est inclus dans :
\[ \left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right], \]sur lequel \(f'(x)\ge0\). La fonction y est croissante, et non décroissante.
\[ \boxed{\text{Non}}. \]Question 2 — Limite d’une fonction rationnelle
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+2\sqrt3\,x+3}{3-x^2}. \]On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :
\[ \frac{x^2+2\sqrt3\,x+3}{3-x^2} = \frac{ 1+\frac{2\sqrt3}{x}+\frac3{x^2} }{ \frac3{x^2}-1 }. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac{2\sqrt3}{x}\longrightarrow0 \]et :
\[ \frac3{x^2}\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{x^2+2\sqrt3\,x+3}{3-x^2} = \frac1{-1} = -1. \]Question 3 — Calcul d’une intégrale
Calculer :
\[ I= \int_0^1 \frac{x}{2x^4+3x^2+\frac98}\,dx. \]Posons :
\[ t=x^2. \]Alors :
\[ dt=2x\,dx \qquad\Longrightarrow\qquad x\,dx=\frac12\,dt. \]Lorsque \(x=0\), on a \(t=0\), et lorsque \(x=1\), on a \(t=1\). Donc :
\[ I = \frac12 \int_0^1 \frac{dt}{2t^2+3t+\frac98}. \] Simplification du dénominateurOn remarque que :
\[ 2t^2+3t+\frac98 = 2\left(t+\frac34\right)^2. \]Ainsi :
\[ I = \frac14 \int_0^1 \frac{dt}{\left(t+\frac34\right)^2}. \]Une primitive de :
\[ \frac1{\left(t+\frac34\right)^2} \]est :
\[ -\frac1{t+\frac34}. \]Donc :
\[ I = \frac14 \left[ -\frac1{t+\frac34} \right]_0^1. \]Alors :
\[ I = \frac14 \left( -\frac1{\frac74} + \frac1{\frac34} \right). \]Donc :
\[ I = \frac14 \left( -\frac47+\frac43 \right) = \frac14 \left( \frac{16}{21} \right) = \frac4{21}. \]Question 4 — Nombres complexes et géométrie
On considère les points d’affixes :
\[ z_A=2-4i, \qquad z_B=4+2i, \qquad z_C=8-6i. \]On pose :
\[ W= \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}. \]1) Calculer \(|W|\) et un argument de \(W\).
2) Déterminer la nature du triangle \(BAC\).
On calcule d’abord :
\[ z_B-z_A = (4+2i)-(2-4i) = 2+6i. \]De même :
\[ z_C-z_A = (8-6i)-(2-4i) = 6-2i. \]Ainsi :
\[ W = \frac{2+6i}{6-2i} = \frac{1+3i}{3-i}. \]On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(3+i\) :
\[ W = \frac{(1+3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}. \]Au numérateur :
\[ (1+3i)(3+i) = 3+i+9i+3i^2 = 10i. \]Au dénominateur :
\[ (3-i)(3+i) = 3^2+1^2 = 10. \]Donc :
\[ W=i. \]Par conséquent :
\[ |W|=|i|=1 \]et un argument de \(W\) est :
\[ \arg(W)=\frac{\pi}{2}. \] 2) Nature du triangleComme :
\[ \left| \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A} \right| = \frac{AB}{AC} = 1, \]on obtient :
\[ AB=AC. \]Le triangle est donc isocèle en \(A\).
D’autre part :
\[ \arg\left( \frac{z_B-z_A}{z_C-z_A} \right) = \frac{\pi}{2}. \]Cela signifie que l’angle orienté entre les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) mesure \(\frac{\pi}{2}\). Les droites \((AB)\) et \((AC)\) sont donc perpendiculaires.
Le triangle est rectangle en \(A\).
Il est donc à la fois rectangle et isocèle en \(A\).
Le triangle \(BAC\) est rectangle isocèle en \(A\).
Question 5 — Suite modélisant une population de bactéries
On introduit \(1000\) bactéries dans un milieu nutritif. Leur nombre augmente de \(50\%\) chaque jour.
On note \(U_n\) le nombre de bactéries au jour \(n\).
1) Déterminer la nature de la suite \((U_n)\).
2) Donner sa raison.
Une augmentation de \(50\%\) signifie que le nombre du jour suivant est égal au nombre du jour précédent augmenté de :
\[ 50\%\,U_n = 0{,}5U_n. \]Ainsi :
\[ U_{n+1} = U_n+0{,}5U_n = 1{,}5U_n. \]Donc :
\[ U_{n+1} = \frac32U_n. \]Le quotient :
\[ \frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac32 \]est constant. La suite \((U_n)\) est donc géométrique.
Avec la convention \(U_0=1000\), son terme général est :
\[ U_n = 1000\left(\frac32\right)^n. \]La suite \((U_n)\) est géométrique de raison :
\[ \boxed{ q=\frac32=1{,}5 }. \]Question 6 — Probabilités
Une boîte contient \(10\) boules :
- \(3\) boules noires ;
- \(7\) boules décorées ;
- une seule boule est à la fois noire et décorée.
Valeurs proposées :
\[ 0,\quad 0{,}166,\quad 0{,}216,\quad 0{,}343,\quad 0{,}900,\quad 1. \]1) On tire une boule. Calculer la probabilité qu’elle soit noire ou décorée.
2) On effectue trois tirages successifs avec remise. Calculer la probabilité d’obtenir trois boules blanches et décorées.
Notons :
\[ N=\{\text{la boule est noire}\} \]et :
\[ D=\{\text{la boule est décorée}\}. \]On connaît :
\[ P(N)=\frac3{10}, \qquad P(D)=\frac7{10}, \qquad P(N\cap D)=\frac1{10}. \]La formule de réunion donne :
\[ P(N\cup D) = P(N)+P(D)-P(N\cap D). \]Donc :
\[ P(N\cup D) = \frac3{10} + \frac7{10} - \frac1{10} = \frac9{10}. \]Ainsi :
\[ P=0{,}900. \] 2) Trois boules blanches et décorées avec remiseParmi les \(7\) boules décorées, une seule est noire. Le nombre de boules à la fois blanches et décorées est donc :
\[ 7-1=6. \]Lors d’un tirage, la probabilité d’obtenir une boule blanche et décorée vaut :
\[ \frac6{10} = 0{,}6. \]Les tirages se font avec remise. Les trois tirages sont donc indépendants et la probabilité reste \(0{,}6\) à chaque tirage.
Par conséquent :
\[ P' = (0{,}6)^3. \]Donc :
\[ P' = 0{,}216. \]Tableau récapitulatif
| Question | Résultat principal | Complément |
|---|---|---|
| I | \(0\) | \(A(\pi,-e^\pi)\) ; oui ; non |
| II | \(-1\) | Limite d’un quotient de polynômes |
| III | \(\frac4{21}\) | Changement de variable \(t=x^2\) |
| IV | \(W=i\) | Triangle rectangle isocèle en \(A\) |
| V | Suite géométrique | Raison \(\frac32\) |
| VI | \(P=0{,}900\) | \(P'=0{,}216\) |
Commentaires
Enregistrer un commentaire