Concours Médecine Casablanca 2016 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca — épreuve de mathématiques.

Concours d’accès 2016-2017 — Questions I à VI.

Compétences et points clés

Casablanca Médecine 2016 alterne lecture graphique, domaine composé, limite et tirage simultané. Le travail consiste à relier une information visible sur une courbe à une propriété analytique, sans lire plus que ce que les axes et la légende permettent.

Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; combinaisons, arrangements et permutations; limites, division et différence de fonctions.

Rappels de cours utiles

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.

Branches infinies. Pour une asymptote oblique, contrôler la limite de la différence entre la fonction et la droite candidate. La limite du quotient par x indique une direction, mais ne suffit pas à établir l’équation complète de l’asymptote. Les comportements aux deux infinis se traitent séparément lorsque le domaine le demande.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour le graphe initial, identifier chaque courbe et l’intervalle étudié avant de combiner les informations. Pour le logarithme multiplié par une racine, réunir les restrictions de toutes les composantes. Pour le tirage simultané, compter des groupes et maintenir le même modèle pour les cas favorables et les cas possibles.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca 2016.

Les questions portent sur la lecture graphique, les fonctions logarithmiques, les intégrales, les limites, la géométrie de l’espace et les probabilités.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Casablanca.
Année universitaire : 2016-2017.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Questions : I à VI.

Consignes

Répondre directement aux questions posées.
Lorsque des propositions sont données, choisir la proposition correcte.
Les calculs doivent être effectués avec les données de chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question I — Lecture graphique et fonction associée

Énoncé

Les courbes \(C_f\) et \(C_g\) ci-dessous représentent deux fonctions \(f\) et \(g\) dans un repère orthonormé. La droite \((\Delta)\) est une tangente à la courbe \(C_f\) au point \(A(4,3)\).

Courbe \(C_f\) et tangente \(\Delta\)

Courbe \(C_g\)

1) Déduire graphiquement la valeur de \(f'(2)\).

\(f'(2)=\)

2) Trouver l’équation de la droite \((\Delta)\) sous la forme \(y=ax+b\), puis déterminer \(a\) et \(b\).

\(a=\qquad b=\)

3) On donne \(g(x)=x^2-4x+3\). Choisir la relation correcte :

A) \(f(x)=-g(x)\).

B) \(f(x)=g(x)+1\).

C) \(f(x)=|g(x)|\).

Question II — Domaine de définition

Énoncé

Déterminer le domaine de définition de la fonction \(h\) définie par :

\[h(x)=\ln(-x)\sqrt{1-\ln(4x^2)}.\]

\(D_h=\)

Question III — Calcul d’intégrale

Énoncé

Calculer :

\[\int_{-\frac92}^{-1}\frac{4x+1}{\sqrt{2x^2+x}}\,dx.\]

Question IV — Limite

Énoncé

Calculer :

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{\sqrt{x}}.\]

Question V — Intersection de deux plans

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les plans \(P\) et \(P'\) d’équations :

\[P:x+2y-z=3,\qquad P':3x+2y+z=5.\]

On pose \(z=t\). Parmi les propositions suivantes, choisir la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\), intersection des deux plans \(P\) et \(P'\).

A) \((\Delta):\begin{cases}x=2+t\\ y=\dfrac13\\ z=3t\end{cases}\)

B) \((\Delta):\begin{cases}x=1-t\\ y=1+t\\ z=t\end{cases}\)

C) \((\Delta):\begin{cases}x=2-3t\\ y=2-t\\ z=t\end{cases}\)

Question VI — Probabilités

Énoncé

Une urne contient 5 boules rouges, 3 boules noires et 1 boule blanche. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules de l’urne.

Calculer les probabilités \(P_A\) et \(P_B\) des événements suivants :

Événement A : obtenir au moins deux boules rouges.

\(P_A=\)

Événement B : obtenir au moins deux boules de même couleur.

\(P_B=\)

Pour répondre, utiliser uniquement les valeurs proposées ci-dessous :

\(0\), \(\dfrac5{28}\), \(\dfrac{16}{84}\), \(\dfrac{50}{84}\), \(\dfrac{23}{28}\), \(\dfrac{26}{42}\), \(1\).

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, il faut être rapide dans la lecture graphique, reconnaître les fonctions composées classiques et utiliser correctement les combinaisons dans les probabilités.

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