Correction Concours Médecine Casablanca 2016 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca — concours d’accès 2016-2017.
Correction détaillée des questions I à VI.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Casablanca 2016.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question I — Lecture graphique et fonction associée
Les courbes \(C_f\) et \(C_g\) représentent deux fonctions \(f\) et \(g\). La droite \((\Delta)\) est tangente à \(C_f\) au point \(A(4,3)\). On demande \(f'(2)\), l’équation de \((\Delta)\), puis la relation entre \(f\) et \(g\), sachant que \(g(x)=x^2-4x+3\).
La dérivée en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul.
1) D’après la courbe \(C_f\), au point d’abscisse \(2\), la tangente est horizontale. Donc :
\[f'(2)=0.\]2) La droite \((\Delta)\) passe par \(A(4,3)\) et coupe l’axe des abscisses en \((3,0)\). Son coefficient directeur est donc :
\[a=\frac{3-0}{4-3}=3.\]Son équation est \(y=3x+b\). Comme \(A(4,3)\in(\Delta)\), on obtient :
\[3=3\times4+b\quad\Rightarrow\quad b=-9.\]Ainsi :
\[(\Delta):y=3x-9.\]3) On a :
\[g(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\]La courbe de \(g\) est une parabole qui est négative entre \(1\) et \(3\). La courbe \(C_f\) conserve la partie positive de \(g\) et renverse la partie négative au-dessus de l’axe des abscisses. Donc :
\[f(x)=|g(x)|.\]Question II — Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition de la fonction :
\[h(x)=\ln(-x)\sqrt{1-\ln(4x^2)}.\]Il faut vérifier simultanément la condition du logarithme et la condition de la racine carrée.
La condition \(\ln(-x)\) impose :
\[-x\gt0\quad\Rightarrow\quad x\lt0.\]La racine carrée impose :
\[1-\ln(4x^2)\ge0.\]Donc :
\[\ln(4x^2)\le1.\]Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, on obtient :
\[4x^2\le e.\]Ainsi :
\[x^2\le\frac e4\quad\Rightarrow\quad -\frac{\sqrt e}{2}\le x\le \frac{\sqrt e}{2}.\]En combinant avec \(x\lt0\), on trouve :
\[D_h=\left[-\frac{\sqrt e}{2},0\right[.\]Question III — Calcul d’intégrale
Calculer :
\[\int_{-\frac92}^{-1}\frac{4x+1}{\sqrt{2x^2+x}}\,dx.\]On reconnaît la forme \(\dfrac{u'}{\sqrt u}\), dont une primitive est \(2\sqrt u\).
On pose :
\[u(x)=2x^2+x.\]Alors :
\[u'(x)=4x+1.\]Donc :
\[\int\frac{4x+1}{\sqrt{2x^2+x}}\,dx=2\sqrt{2x^2+x}.\]Par conséquent :
\[\int_{-\frac92}^{-1}\frac{4x+1}{\sqrt{2x^2+x}}\,dx=\left[2\sqrt{2x^2+x}\right]_{-\frac92}^{-1}.\]On calcule :
\[2(-1)^2+(-1)=1,\qquad 2\left(-\frac92\right)^2-\frac92=36.\]Donc :
\[\left[2\sqrt{2x^2+x}\right]_{-\frac92}^{-1}=2\sqrt1-2\sqrt{36}=2-12=-10.\]Question IV — Limite
Calculer :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{\sqrt{x}}.\]Pour \(x\gt0\), on peut simplifier en divisant chaque terme par \(\sqrt x\).
Pour \(x\gt0\), on a :
\[\frac{3x+2}{\sqrt x}=3\sqrt x+\frac2{\sqrt x}.\]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(3\sqrt x\to+\infty\) et \(\dfrac2{\sqrt x}\to0\). Donc :
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+2}{\sqrt x}=+\infty.\]Question V — Intersection de deux plans
On considère les plans :
\[P:x+2y-z=3,\qquad P':3x+2y+z=5.\]On pose \(z=t\). Il faut choisir la représentation paramétrique de la droite \((\Delta)=P\cap P'\).
L’intersection de deux plans non parallèles est une droite. Pour obtenir une représentation paramétrique, on fixe une variable comme paramètre.
On pose \(z=t\). Les équations deviennent :
\[x+2y-t=3\quad\Rightarrow\quad x+2y=3+t,\]\[3x+2y+t=5\quad\Rightarrow\quad 3x+2y=5-t.\]En soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient :
\[2x=2-2t.\]Donc :
\[x=1-t.\]En remplaçant dans \(x+2y=3+t\), on trouve :
\[1-t+2y=3+t\quad\Rightarrow\quad 2y=2+2t\quad\Rightarrow\quad y=1+t.\]Comme \(z=t\), la représentation paramétrique est :
\[(\Delta):\begin{cases}x=1-t,\\ y=1+t,\\ z=t.\end{cases}\]Question VI — Probabilités
Une urne contient \(5\) boules rouges, \(3\) boules noires et \(1\) boule blanche. On tire simultanément \(3\) boules.
Événement \(A\) : obtenir au moins deux boules rouges. Événement \(B\) : obtenir au moins deux boules de même couleur.
Dans un tirage simultané, l’ordre ne compte pas. On utilise les combinaisons \(\mathrm C_n^p\), lues “\(p\) parmi \(n\)”.
Le nombre total de tirages possibles est :
\[\mathrm C_9^3=84.\]Calcul de \(P_A\). L’événement \(A\) signifie : obtenir exactement deux rouges ou exactement trois rouges.
\[P_A=\frac{\mathrm C_5^2\mathrm C_4^1+\mathrm C_5^3}{\mathrm C_9^3}.\]Donc :
\[P_A=\frac{10\times4+10}{84}=\frac{50}{84}.\]Calcul de \(P_B\). L’événement contraire de \(B\) est : obtenir trois boules de couleurs toutes différentes, c’est-à-dire une rouge, une noire et une blanche.
\[P(\overline B)=\frac{\mathrm C_5^1\mathrm C_3^1\mathrm C_1^1}{\mathrm C_9^3}=\frac{15}{84}.\]Donc :
\[P_B=1-\frac{15}{84}=\frac{69}{84}=\frac{23}{28}.\]Conseil aux élèves
Cette épreuve demande surtout de reconnaître rapidement les formes classiques : tangente graphique, condition de domaine, primitive de type \(u'/\sqrt u\), limite dominante, système de deux plans et dénombrement sans ordre.
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