Concours Médecine Casablanca 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2017-2018 — 5 exercices.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca 2017.

Les exercices portent sur l’étude d’une fonction, les limites, le calcul intégral, la géométrie de l’espace et les suites.

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Données de l’énoncé

• Concours : Médecine et Pharmacie.
• Ville : Casablanca.
• Année universitaire : 2017-2018.
• Épreuve : Mathématiques.
• Durée indiquée : 30 minutes.
• Nombre d’exercices : 5.

Consignes

• Les réponses doivent être portées dans les cadres prévus.
• Les résultats numériques ou analytiques doivent être donnés sous une forme simplifiée.

Accès rapide aux exercices

Ex. I Ex. II Ex. III Ex. IV Ex. V

Énoncé — Mathématiques

Exercice I — Étude d’une fonction

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=-x\sqrt{1-4x^2}. \]

On note \(C_f\) sa courbe représentative.

1) Parmi les expressions suivantes, choisir l’expression convenable de \(f'(x)\), sachant que \(f\) est décroissante sur l’intervalle :

\[ \left[-\frac{\sqrt2}{6},\frac{\sqrt2}{6}\right]. \]

A) \(\displaystyle f'(x)=\frac{8x^2-1}{\sqrt{1-4x^2}}\)

B) \(\displaystyle f'(x)=\frac{8x^2+1}{\sqrt{1-4x^2}}\)

C) \(\displaystyle f'(x)=\frac{|8x^2-1|}{\sqrt{1-4x^2}}\)

D) \(\displaystyle f'(x)=\frac{1-8x^2}{\sqrt{1-4x^2}}\)

2) La courbe \(C_f\) admet deux tangentes horizontales. Donner les coordonnées des deux points \(A_1(x_1,f(x_1))\) et \(A_2(x_2,f(x_2))\) par lesquels passent ces tangentes.

\(\displaystyle A_1\left(-\frac{\sqrt2}{4},\ \right)\)

\(\displaystyle A_2\left(\frac{\sqrt2}{4},\ \right)\)

3) Répondre par oui ou non :

a) La fonction \(f\) est paire.

b) La courbe \(C_f\) est symétrique par rapport à l’origine.

4) Calculer l’aire \(\mathcal A\) du domaine compris entre la courbe de \(f\) et l’axe des abscisses.

\(\mathcal A=\)

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Exercice II — Limite

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+2x)}{x^2+x}. \]

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Exercice III — Calcul intégral

Énoncé

Calculer :

\[ \int_{2}^{3}|x^2-4x+3|\,dx. \]

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Exercice IV — Géométrie de l’espace

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère :

• le plan \((P)\) d’équation : \[ x-4y+z-2=0 ; \]
• la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,9,1)\) et passant par le point \(A(9,5,2)\).

On donne :

\[ d(\Omega,(P))=6\sqrt2. \]

L’intersection du plan \((P)\) avec la sphère \((S)\) est un cercle. Déterminer le rayon et les coordonnées de son centre.

Rayon : \(r=\)

Centre : \(C(\ ,\ ,\ )\)

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Exercice V — Suites

Énoncé

On considère la suite numérique \((U_n)\), \(n\in\mathbb N\), définie par :

\[ U_{n+1}=\frac1{\sqrt2}\sqrt{U_n^2+2}, \qquad U_0=0. \]

On pose :

\[ V_n=U_n^2-2,\qquad \forall n\in\mathbb N. \]

1) Donner la nature de la suite \((V_n)\) et sa raison.

Nature :

Raison :

2) Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}V_n. \]

3) En déduire :

\[ \lim_{n\to+\infty}U_n. \]

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Conseil aux élèves

Cette épreuve demande des calculs précis mais courts : dérivation avec racine, limite logarithmique, valeur absolue dans une intégrale, projection orthogonale et suite géométrique auxiliaire.

Ressources liées

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