Concours Médecine Casablanca 2017 — Énoncé Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca — épreuve de mathématiques.
Année universitaire 2017-2018 — 5 exercices.
Compétences et points clés
Casablanca Médecine 2017 réunit une fonction avec racine, une limite logarithmique, une intégrale avec valeur absolue et une suite transformée. La mise en équation doit respecter le domaine avant de passer aux variations ou à une expression explicite.
Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; signe des fonctions et intégrale sur un segment; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes.
Rappels de cours utiles
Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.
Intégrale et aire. L’aire entre deux courbes sur un segment se calcule à partir de la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure. Si leur ordre change, séparer le calcul aux points d’intersection. Une intégrale signée peut être négative ; une aire géométrique est positive ou nulle et tient compte des unités du repère.
Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour la fonction de départ, déterminer les valeurs réelles autorisées par le radicand avant de dériver. Dans l’intégrale, étudier le signe du polynôme sur tout le segment. Pour la suite, exploiter la transformation proposée et contrôler les bornes qui permettent de revenir à la racine positive.
Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca 2017.
Les exercices portent sur l’étude d’une fonction, les limites, le calcul intégral, la géométrie de l’espace et les suites.
Données de l’énoncé
- Concours : Médecine et Pharmacie.
- Ville : Casablanca.
- Année universitaire : 2017-2018.
- Épreuve : Mathématiques.
- Durée indiquée : 30 minutes.
- Nombre d’exercices : 5.
Consignes
- Les réponses doivent être portées dans les cadres prévus.
- Les résultats numériques ou analytiques doivent être donnés sous une forme simplifiée.
Énoncé — Mathématiques
Exercice I — Étude d’une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=-x\sqrt{1-4x^2}. \]On note \(C_f\) sa courbe représentative.
1) Parmi les expressions suivantes, choisir l’expression convenable de \(f'(x)\), sachant que \(f\) est décroissante sur l’intervalle :
\[ \left[-\frac{\sqrt2}{6},\frac{\sqrt2}{6}\right]. \]2) La courbe \(C_f\) admet deux tangentes horizontales. Donner les coordonnées des deux points \(A_1(x_1,f(x_1))\) et \(A_2(x_2,f(x_2))\) par lesquels passent ces tangentes.
\(\displaystyle A_1\left(-\frac{\sqrt2}{4},\ \right)\)
\(\displaystyle A_2\left(\frac{\sqrt2}{4},\ \right)\)
3) Répondre par oui ou non :
a) La fonction \(f\) est paire.
b) La courbe \(C_f\) est symétrique par rapport à l’origine.
4) Calculer l’aire \(\mathcal A\) du domaine compris entre la courbe de \(f\) et l’axe des abscisses.
\(\mathcal A=\)
Exercice II — Limite
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+2x)}{x^2+x}. \]
Exercice III — Calcul intégral
Calculer :
\[ \int_{2}^{3}|x^2-4x+3|\,dx. \]
Exercice IV — Géométrie de l’espace
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère :
- le plan \((P)\) d’équation : \[ x-4y+z-2=0 ; \]
- la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(1,9,1)\) et passant par le point \(A(9,5,2)\).
On donne :
\[ d(\Omega,(P))=6\sqrt2. \]L’intersection du plan \((P)\) avec la sphère \((S)\) est un cercle. Déterminer le rayon et les coordonnées de son centre.
Rayon : \(r=\)
Centre : \(C(\ ,\ ,\ )\)
Exercice V — Suites
On considère la suite numérique \((U_n)\), \(n\in\mathbb N\), définie par :
\[ U_{n+1}=\frac1{\sqrt2}\sqrt{U_n^2+2}, \qquad U_0=0. \]On pose :
\[ V_n=U_n^2-2,\qquad \forall n\in\mathbb N. \]1) Donner la nature de la suite \((V_n)\) et sa raison.
Nature :
Raison :
2) Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}V_n. \]
3) En déduire :
\[ \lim_{n\to+\infty}U_n. \]
Conseil aux élèves
Cette épreuve demande des calculs précis mais courts : dérivation avec racine, limite logarithmique, valeur absolue dans une intégrale, projection orthogonale et suite géométrique auxiliaire.
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