Correction Concours Médecine Casablanca 2017 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca — année universitaire 2017-2018.
Correction détaillée des 5 exercices.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Casablanca 2017.
Les calculs sont rédigés étape par étape : dérivée, tangentes horizontales, aire, limite, intégrale, intersection plan-sphère et suite auxiliaire.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée
Exercice I — Étude de \(f(x)=-x\sqrt{1-4x^2}\)
On considère \(f(x)=-x\sqrt{1-4x^2}\). On demande l’expression de \(f'(x)\), les points de tangentes horizontales, la parité et l’aire du domaine compris entre la courbe et l’axe des abscisses.
Pour dériver un produit contenant une racine, on dérive séparément les deux facteurs puis on factorise par \(\sqrt{1-4x^2}\).
On écrit :
\[ f(x)=-x(1-4x^2)^{\frac12}. \]Donc :
\[ f'(x)=-(1-4x^2)^{\frac12}-x\cdot\frac12(1-4x^2)^{-\frac12}(-8x). \]Ainsi :
\[ f'(x)=-\sqrt{1-4x^2}+\frac{4x^2}{\sqrt{1-4x^2}}. \]On réduit au même dénominateur :
\[ f'(x)=\frac{-(1-4x^2)+4x^2}{\sqrt{1-4x^2}}=\frac{8x^2-1}{\sqrt{1-4x^2}}. \]Une tangente horizontale correspond à \(f'(x)=0\). On résout donc :
\[ 8x^2-1=0. \]D’où :
\[ x=\pm\frac{\sqrt2}{4}. \]Pour \(x=-\frac{\sqrt2}{4}\) :
\[ f\left(-\frac{\sqrt2}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}\sqrt{1-4\cdot\frac18}=\frac14. \]Pour \(x=\frac{\sqrt2}{4}\) :
\[ f\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)=-\frac14. \]Donc :
\[ A_1\left(-\frac{\sqrt2}{4},\frac14\right),\qquad A_2\left(\frac{\sqrt2}{4},-\frac14\right). \]On calcule :
\[ f(-x)=-(-x)\sqrt{1-4(-x)^2}=x\sqrt{1-4x^2}. \]Or :
\[ -f(x)=x\sqrt{1-4x^2}. \]Donc :
\[ f(-x)=-f(x). \]La fonction est impaire. Elle n’est pas paire et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Sur \([0,\frac12]\), on a \(f(x)\le0\). Par symétrie :
\[ \mathcal A=2\int_0^{\frac12}x\sqrt{1-4x^2}\,dx. \]Posons \(u=1-4x^2\). Alors \(du=-8x\,dx\). Ainsi :
\[ \int_0^{\frac12}x\sqrt{1-4x^2}\,dx=\frac18\int_0^1\sqrt u\,du=\frac18\cdot\frac23=\frac1{12}. \]Donc :
\[ \mathcal A=2\cdot\frac1{12}=\frac16. \]Exercice II — Limite logarithmique
Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+2x)}{x^2+x}. \]À l’infini, une fonction logarithme croît beaucoup plus lentement qu’une puissance de \(x\).
Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ \ln(1+2x)\sim \ln x,\qquad x^2+x\sim x^2. \]Donc :
\[ \frac{\ln(1+2x)}{x^2+x}\sim \frac{\ln x}{x^2}. \]Or :
\[ \frac{\ln x}{x^2}\to0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+2x)}{x^2+x}=0. \]Exercice III — Intégrale avec valeur absolue
Calculer :
\[ \int_{2}^{3}|x^2-4x+3|\,dx. \]Avant de retirer une valeur absolue, on étudie le signe de l’expression à l’intérieur.
On factorise :
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]Sur \([2,3]\), on a \(x-1\ge0\) et \(x-3\le0\). Donc :
\[ x^2-4x+3\le0. \]Ainsi :
\[ |x^2-4x+3|=-x^2+4x-3. \]Donc :
\[ \int_2^3|x^2-4x+3|\,dx=\int_2^3(-x^2+4x-3)\,dx. \]Une primitive est :
\[ -\frac{x^3}{3}+2x^2-3x. \]Pour \(x=3\), on obtient \(0\). Pour \(x=2\), on obtient :
\[ -\frac83+8-6=-\frac23. \]Donc :
\[ I=0-\left(-\frac23\right)=\frac23. \]Exercice IV — Intersection d’un plan et d’une sphère
On considère le plan \((P):x-4y+z-2=0\) et la sphère de centre \(\Omega(1,9,1)\) passant par \(A(9,5,2)\). On donne \(d(\Omega,(P))=6\sqrt2\).
Le centre du cercle d’intersection est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan.
Le rayon de la sphère est :
\[ R=\Omega A. \]On calcule :
\[ \Omega A^2=(9-1)^2+(5-9)^2+(2-1)^2=64+16+1=81. \]Donc :
\[ R=9. \]Le rayon \(r\) du cercle d’intersection vérifie :
\[ r^2=R^2-d^2. \]Donc :
\[ r^2=81-(6\sqrt2)^2=81-72=9. \]Ainsi :
\[ r=3. \]Un vecteur normal au plan est :
\[ \vec n=(1,-4,1). \]Le centre \(C\) du cercle est de la forme :
\[ C=\Omega+\lambda\vec n=(1+\lambda,9-4\lambda,1+\lambda). \]Comme \(C\in(P)\), on remplace dans l’équation du plan :
\[ (1+\lambda)-4(9-4\lambda)+(1+\lambda)-2=0. \]Donc :
\[ 18\lambda-36=0,\qquad \lambda=2. \]Ainsi :
\[ C=(3,1,3). \]Exercice V — Suite auxiliaire
On considère \(U_{n+1}=\frac1{\sqrt2}\sqrt{U_n^2+2}\), \(U_0=0\), et \(V_n=U_n^2-2\).
Pour exploiter une relation avec une racine carrée, on commence par élever au carré.
En élevant au carré :
\[ U_{n+1}^2=\frac12(U_n^2+2). \]Donc :
\[ V_{n+1}=U_{n+1}^2-2=\frac12(U_n^2+2)-2=\frac12U_n^2-1. \]Or :
\[ V_n=U_n^2-2. \]Donc :
\[ \frac12V_n=\frac12U_n^2-1. \]Ainsi :
\[ V_{n+1}=\frac12V_n. \]La suite \((V_n)\) est géométrique de raison \(\frac12\). De plus :
\[ V_0=U_0^2-2=-2. \]Donc :
\[ V_n=-2\left(\frac12\right)^n. \]Comme \(\left(\frac12\right)^n\to0\), on obtient :
\[ V_n=-2\left(\frac12\right)^n\to0. \]On a :
\[ U_n^2=V_n+2. \]Comme \(V_n\to0\), on obtient :
\[ U_n^2\to2. \]La suite \((U_n)\) est positive, car elle est définie à partir d’une racine carrée. Donc :
\[ U_n\to\sqrt2. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, chaque exercice repose sur une transformation simple : factoriser, changer de signe dans une valeur absolue, projeter orthogonalement ou introduire une suite auxiliaire.
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