Concours Médecine Dentaire Rabat 2015 — Énoncé de mathématiques
Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine Dentaire.
Session du 28 juillet 2015 — Épreuve 1 : Mathématiques — 10 QCM.
Compétences et points clés
Médecine Dentaire Rabat 2015 utilise des intégrales trigonométriques puis une urne renforcée. Les questions successives permettent de transformer un calcul long en relation entre expressions, à condition de conserver les données d’une étape à l’autre.
Prérequis à revoir : dérivation des fonctions usuelles et composées; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; événements, intersections et arbres pondérés.
Rappels de cours utiles
Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.
Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.
Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Dans les intégrales trigonométriques, dériver la fonction auxiliaire proposée pour obtenir une relation utile. Pour les logarithmes, déterminer le domaine. Dans l’urne renforcée, actualiser la composition selon la première couleur tirée et distinguer la probabilité demandée du conditionnement final.
Cette page présente la transcription française fidèle de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès en première année de Médecine Dentaire à Rabat en 2015.
Le sujet comporte trois exercices et dix questions à choix multiple.
Consigne du sujet
Pour chaque question, une seule réponse devait être cochée parmi les quatre propositions.
Énoncé — Mathématiques
Question 1 — Calcul d’une intégrale trigonométrique
On considère les deux intégrales :
\[ I=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x} \]et :
\[ J=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^4x}. \]La valeur de \(I\) est :
Question 2 — Dérivée d’une fonction trigonométrique
On considère la fonction \(g\) définie sur :
\[ \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \]par :
\[ g(x)=\frac{\sin x}{\cos^3x}. \]On écrit sa dérivée sous la forme :
\[ g'(x)=\frac{a}{\cos^4x}+\frac{b}{\cos^2x}. \]Les valeurs de \(a\) et \(b\) sont :
Question 3 — Deuxième intégrale trigonométrique
Avec :
\[ J=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^4x}, \]la valeur de \(J\) est :
Question 4 — Limite en zéro
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x). \]Question 5 — Limite en l’infini
Avec la même fonction :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2, \]calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]Question 6 — Dérivée d’une fonction logarithmique
Pour :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2, \]l’expression de \(f'(x)\) est :
Question 7 — Valeur maximale locale
Pour la fonction :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2, \]une valeur maximale locale est :
Question 8 — Probabilité d’obtenir au moins une boule blanche
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(3\) boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire simultanément \(3\) boules.
La probabilité d’obtenir au moins une boule blanche est :
Question 9 — Urne renforcée — couleur du second tirage
Une urne contient initialement \(3\) boules rouges et \(3\) boules blanches.
Première étape : on tire une boule au hasard.
- Si elle est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute une boule blanche.
- Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on ajoute une boule rouge.
Deuxième étape : on tire une nouvelle boule au hasard.
La probabilité que la boule tirée à la deuxième étape soit blanche est :
Question 10 — Probabilité conditionnelle
On reprend l’expérience précédente.
Sachant que la boule tirée à la deuxième étape est blanche, la probabilité que la boule tirée à la première étape ait été blanche est :
Conseil aux élèves
Le sujet demande une bonne maîtrise des intégrales trigonométriques, des limites logarithmiques, de l’étude de fonctions et des probabilités conditionnelles.
Commentaires
Enregistrer un commentaire