Correction Concours Médecine Dentaire Rabat 2015 — Mathématiques
Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine Dentaire.
Session du 28 juillet 2015 — Correction détaillée des 10 QCM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Dentaire Rabat 2015.
Chaque question reprend l’énoncé et toutes les propositions, puis expose la résolution étape par étape.
Correction détaillée
Question 1 — Calcul d’une intégrale trigonométrique
On considère les deux intégrales :
\[ I=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x} \]et :
\[ J=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^4x}. \]La valeur de \(I\) est :
On utilise la primitive classique :
\[ \int \frac{dx}{\cos^2x}=\tan x+C. \]Ainsi :
\[ I = \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2x} = \left[\tan x\right]_0^{\pi/4}. \]Or :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \qquad\text{et}\qquad \tan(0)=0. \]Donc :
\[ I=1-0=1. \]Question 2 — Dérivée d’une fonction trigonométrique
On considère la fonction \(g\) définie sur :
\[ \left[0,\frac{\pi}{4}\right] \]par :
\[ g(x)=\frac{\sin x}{\cos^3x}. \]On écrit sa dérivée sous la forme :
\[ g'(x)=\frac{a}{\cos^4x}+\frac{b}{\cos^2x}. \]Les valeurs de \(a\) et \(b\) sont :
On considère :
\[ g(x)=\frac{\sin x}{\cos^3x} = \sin x\,(\cos x)^{-3}. \]En dérivant le produit :
\[ g'(x) = \cos x\,(\cos x)^{-3} + \sin x\, \left[ -3(\cos x)^{-4}(-\sin x) \right]. \]Donc :
\[ g'(x) = \frac1{\cos^2x} + \frac{3\sin^2x}{\cos^4x}. \]On met au même dénominateur :
\[ g'(x) = \frac{\cos^2x+3\sin^2x}{\cos^4x}. \]Comme :
\[ \sin^2x=1-\cos^2x, \]on obtient :
\[ \cos^2x+3\sin^2x = \cos^2x+3(1-\cos^2x). \]Ainsi :
\[ \cos^2x+3\sin^2x = 3-2\cos^2x. \]Par conséquent :
\[ g'(x) = \frac3{\cos^4x} - \frac2{\cos^2x}. \]En comparant avec :
\[ g'(x)=\frac a{\cos^4x}+\frac b{\cos^2x}, \]on trouve :
\[ a=3 \qquad\text{et}\qquad b=-2. \]Question 3 — Deuxième intégrale trigonométrique
Avec :
\[ J=\int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^4x}, \]la valeur de \(J\) est :
On veut calculer :
\[ J= \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^4x}. \]On écrit :
\[ \frac1{\cos^4x} = \frac1{\cos^2x} \left( 1+\tan^2x \right). \]Posons :
\[ u=\tan x. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{\cos^2x}. \]Lorsque \(x=0\), on a \(u=0\), et lorsque \(x=\frac{\pi}{4}\), on a \(u=1\).
Donc :
\[ J = \int_0^1(1+u^2)\,du. \]Ainsi :
\[ J = \left[ u+\frac{u^3}{3} \right]_0^1. \]Par conséquent :
\[ J = 1+\frac13 = \frac43. \]Question 4 — Limite en zéro
Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x). \]On considère :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2. \]Lorsque \(x\to0^+\), on sait que :
\[ x\ln x\longrightarrow0 \]et :
\[ \ln x\longrightarrow-\infty. \]Posons :
\[ t=-\ln x. \]Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ -2\ln x=2t, \qquad -(\ln x)^2=-t^2. \]Ainsi :
\[ -2\ln x-(\ln x)^2 = 2t-t^2. \]Or :
\[ 2t-t^2 = -t(t-2) \longrightarrow-\infty. \]Le terme \(x\ln x\) tend vers \(0\). Il ne modifie donc pas la limite finale.
Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]Question 5 — Limite en l’infini
Avec la même fonction :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2, \]calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]On factorise par \(x\ln x\) :
\[ f(x) = x\ln x \left[ 1-\frac2x-\frac{\ln x}{x} \right]. \]Lorsque \(x\to+\infty\) :
\[ \frac2x\longrightarrow0 \]et :
\[ \frac{\ln x}{x}\longrightarrow0. \]Donc :
\[ 1-\frac2x-\frac{\ln x}{x} \longrightarrow1. \]D’autre part :
\[ x\ln x\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ f(x)\longrightarrow+\infty. \]Question 6 — Dérivée d’une fonction logarithmique
Pour :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2, \]l’expression de \(f'(x)\) est :
On dérive chaque terme :
\[ (x\ln x)'=\ln x+1, \] \[ (-2\ln x)'=-\frac2x, \]et :
\[ \left[-(\ln x)^2\right]' = -\frac{2\ln x}{x}. \]Donc :
\[ f'(x) = \ln x+1-\frac2x-\frac{2\ln x}{x}. \]On met au même dénominateur :
\[ f'(x) = \frac{ x\ln x+x-2-2\ln x }{x}. \]On factorise le numérateur :
\[ x\ln x+x-2-2\ln x = (x-2)(1+\ln x). \]Ainsi :
\[ f'(x) = \frac{(x-2)(1+\ln x)}{x}. \]Donc :
\[ f'(x) = \left( 1-\frac2x \right) (1+\ln x). \]Question 7 — Valeur maximale locale
Pour la fonction :
\[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^2, \]une valeur maximale locale est :
D’après la question précédente :
\[ f'(x) = \frac{(x-2)(1+\ln x)}{x}. \]Comme \(x\gt0\), le signe de \(f'(x)\) dépend de :
\[ (x-2)(1+\ln x). \]Les points critiques sont :
\[ x=2 \]et :
\[ 1+\ln x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac1e. \] Signe de la dérivée- Sur \(\left]0,\frac1e\right[\), les deux facteurs sont négatifs, donc \(f'(x)\gt0\).
- Sur \(\left]\frac1e,2\right[\), le facteur \(x-2\) est négatif et \(1+\ln x\) est positif, donc \(f'(x)\lt0\).
- Sur \(]2,+\infty[\), les deux facteurs sont positifs, donc \(f'(x)\gt0\).
La fonction admet donc un maximum local en :
\[ x=\frac1e. \]Calculons sa valeur :
\[ f\left(\frac1e\right) = \frac1e\ln\left(\frac1e\right) - 2\ln\left(\frac1e\right) - \left[ \ln\left(\frac1e\right) \right]^2. \]Comme :
\[ \ln\left(\frac1e\right)=-1, \]on obtient :
\[ f\left(\frac1e\right) = -\frac1e+2-1. \]Donc :
\[ f\left(\frac1e\right) = 1-\frac1e = \frac{e-1}{e}. \]Question 8 — Probabilité d’obtenir au moins une boule blanche
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(3\) boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire simultanément \(3\) boules.
La probabilité d’obtenir au moins une boule blanche est :
On cherche la probabilité d’obtenir au moins une boule blanche.
Il est plus simple d’utiliser l’événement contraire :
\[ \text{« obtenir trois boules rouges »}. \]Le nombre total de tirages simultanés de \(3\) boules parmi \(6\) est :
\[ \binom63=20. \]Il n’existe qu’une seule façon de tirer les trois boules rouges :
\[ \binom33=1. \]Donc :
\[ P(\text{trois rouges}) = \frac1{20}. \]Par conséquent :
\[ P(\text{au moins une blanche}) = 1-\frac1{20}. \]Ainsi :
\[ P(\text{au moins une blanche}) = \frac{19}{20}. \]Question 9 — Urne renforcée — couleur du second tirage
Une urne contient initialement \(3\) boules rouges et \(3\) boules blanches.
Première étape : on tire une boule au hasard.
- Si elle est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute une boule blanche.
- Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on ajoute une boule rouge.
Deuxième étape : on tire une nouvelle boule au hasard.
La probabilité que la boule tirée à la deuxième étape soit blanche est :
Notons :
\[ B_1=\{\text{la première boule est blanche}\} \]et :
\[ B_2=\{\text{la deuxième boule est blanche}\}. \]Au départ, il y a \(3\) boules blanches et \(3\) boules rouges. Donc :
\[ P(B_1)=\frac36=\frac12. \]Si la première boule est blanche, l’urne contient ensuite \(4\) blanches et \(3\) rouges. Donc :
\[ P(B_2\mid B_1)=\frac47. \]Si la première boule est rouge, l’urne contient ensuite \(3\) blanches et \(4\) rouges. Donc :
\[ P(B_2\mid \overline{B_1})=\frac37. \]La formule des probabilités totales donne :
\[ P(B_2) = P(B_1)P(B_2\mid B_1) + P(\overline{B_1}) P(B_2\mid\overline{B_1}). \]Ainsi :
\[ P(B_2) = \frac12\times\frac47 + \frac12\times\frac37. \]Donc :
\[ P(B_2) = \frac{4+3}{14} = \frac7{14} = \frac12. \]Question 10 — Probabilité conditionnelle
On reprend l’expérience précédente.
Sachant que la boule tirée à la deuxième étape est blanche, la probabilité que la boule tirée à la première étape ait été blanche est :
On cherche :
\[ P(B_1\mid B_2). \]D’après la formule des probabilités conditionnelles :
\[ P(B_1\mid B_2) = \frac{P(B_1\cap B_2)}{P(B_2)}. \]On a :
\[ P(B_1\cap B_2) = P(B_1) P(B_2\mid B_1). \]Donc :
\[ P(B_1\cap B_2) = \frac12\times\frac47 = \frac27. \]D’après la question précédente :
\[ P(B_2)=\frac12. \]Par conséquent :
\[ P(B_1\mid B_2) = \frac{\frac27}{\frac12}. \]Ainsi :
\[ P(B_1\mid B_2) = \frac27\times2 = \frac47. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | proposition D — \(I=1\). |
| Q2 | proposition B — \(a=3\) et \(b=-2\). |
| Q3 | proposition B — \(J=\frac43\). |
| Q4 | proposition B — la limite vaut \(-\infty\). |
| Q5 | proposition A — la limite vaut \(+\infty\). |
| Q6 | proposition B — \(f'(x)=\left(1-\frac2x\right)(1+\ln x)\). |
| Q7 | proposition C — le maximum local vaut \(\frac{e-1}{e}\). |
| Q8 | proposition C — la probabilité vaut \(\frac{19}{20}\). |
| Q9 | proposition B — la probabilité vaut \(\frac12\). |
| Q10 | proposition A — la probabilité conditionnelle vaut \(\frac47\). |
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