Concours Médecine Dentaire Rabat 2016 — Énoncé Mathématiques

Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine Dentaire.

Session du 28 juillet 2016 — Épreuve de mathématiques — Questions 1 à 12.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès en première année de Médecine Dentaire à Rabat en 2016.

Les questions portent sur les suites, les fonctions logarithmiques, les intégrales et les probabilités.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine Dentaire.
Ville : Rabat.
Université : Université Mohammed V de Rabat.
Faculté : Faculté de Médecine Dentaire.
Date de la session : 28 juillet 2016.
Épreuve : Mathématiques.
Organisation : 4 exercices et 12 questions.

Consignes

Pour chaque question, quatre propositions sont données : A, B, C et D.
Il faut cocher la ou les propositions correctes sur la grille de réponses.
Une même question peut donc comporter plusieurs réponses correctes.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Exercice 1

Énoncé

On considère la suite numérique \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :

\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^2}} \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ v_n=\frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \]

La suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison :

A) \(\dfrac14\).

B) \(2\).

C) \(\dfrac12\).

D) \(4\).

Question 2

Exercice 1

Énoncé

L’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) est :

A) \(\displaystyle u_n=\frac{2^n}{\sqrt{3+2^{2n}}}\).

B) \(\displaystyle u_n=\frac{2^n\sqrt3}{\sqrt{2+2^{2n}}}\).

C) \(\displaystyle u_n=\sqrt{\frac{3\times4^n}{2+4^n}}\).

D) \(\displaystyle u_n=\sqrt{\frac{4^n}{3+4^n}}\).

Question 3

Exercice 1

Énoncé

La valeur de la limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n \]

est :

A) \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).

B) \(\sqrt3\).

C) \(2\).

D) \(+\infty\).

Question 4

Exercice 2

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=x+2x\ln x+\frac{\ln x}{x}. \]

La limite :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x) \]

est égale à :

A) \(+\infty\).

B) \(-\infty\).

C) \(0\).

D) \(1\).

Question 5

Exercice 2

Énoncé

On admet que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

L’équation :

\[ f(x)=0 \]

admet une solution dans l’intervalle :

A) \(]0,\dfrac12[\).

B) \(]\dfrac12,1[\).

C) \(]1,e[\).

D) \(]0,+\infty[\).

Question 6

Exercice 2

Énoncé

La fonction dérivée de la fonction :

\[ x\longmapsto x^2\ln x \qquad\text{sur } ]0,+\infty[ \]

est :

A) \(\displaystyle x\longmapsto2x\ln x+x\).

B) \(\displaystyle x\longmapsto x\ln x+x\).

C) \(\displaystyle x\longmapsto x\left(1+\ln x^2\right)\).

D) \(\displaystyle x\longmapsto\frac{x}{2}\ln x\).

Question 7

Exercice 2

Énoncé

La valeur de l’intégrale :

\[ \int_1^e f(x)\,dx \]

est :

A) \(\displaystyle e^2+\frac12\).

B) \(\displaystyle e^2-\frac12\).

C) \(\displaystyle \frac{1+e^2}{4}\).

D) \(\displaystyle \frac{1+e^2}{2}\).

Question 8

Exercice 3

Énoncé

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ I_n=\int_1^e x^n\ln x\,dx. \]

L’expression de \(I_n\) en fonction de \(n\) est :

A) \(\displaystyle I_n=\frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}\).

B) \(\displaystyle I_n=\frac{ne^{n+1}}{(n+1)^2}\).

C) \(\displaystyle I_n=n\frac{e^{n+1}}{(n+1)^2}+\frac1{(n+1)^2}\).

D) \(\displaystyle I_n=\frac{e^n}{n(n+1)}+\frac1{(n+1)^2}\).

Question 9

Exercice 3

Énoncé

La valeur de la limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}I_n \]

est :

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(2\).

D) \(+\infty\).

Question 10

Exercice 4 — Première expérience

Énoncé

Une urne \(U\) contient quatre boules indiscernables au toucher : trois boules portent le numéro \(2\) et une boule porte le numéro \(1\).

On tire simultanément et au hasard trois boules de l’urne \(U\).

La probabilité de l’événement « obtenir la boule portant le numéro \(1\) parmi les boules tirées » est :

A) \(\dfrac12\).

B) \(\dfrac34\).

C) \(\dfrac13\).

D) \(\dfrac14\).

Question 11

Exercice 4 — Deuxième expérience

Énoncé

On tire successivement, au hasard et avec remise, trois boules de l’urne \(U\).

La probabilité de l’événement « obtenir une boule portant le numéro \(1\) et deux boules portant le numéro \(2\) » est :

A) \(\dfrac{15}{64}\).

B) \(\dfrac1{16}\).

C) \(\dfrac{11}{16}\).

D) \(\dfrac{27}{64}\).

Question 12

Exercice 4 — Troisième expérience

Énoncé

On tire au hasard une boule de l’urne \(U\), puis on la remet dans l’urne. On tire ensuite simultanément deux boules de la même urne.

La probabilité de l’événement « parmi les trois boules tirées, une boule porte le numéro \(1\) et deux boules portent le numéro \(2\) » est :

A) \(\dfrac12\).

B) \(\dfrac34\).

C) \(\dfrac13\).

D) \(\dfrac23\).

Conseil aux élèves

Cette épreuve est organisée en quatre exercices liés. Il faut conserver les résultats obtenus dans les premières questions de chaque exercice et lire attentivement la nature des tirages : simultané, successif, avec remise ou sans remise.

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