Concours Médecine Dentaire Rabat 2016 — Énoncé Mathématiques

Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine Dentaire.

Session du 28 juillet 2016 — Épreuve de mathématiques — Questions 1 à 12.

Compétences et points clés

Médecine Dentaire Rabat 2016 relie une suite à une expression transformée, puis une fonction, une intégrale et plusieurs expériences de tirage. Les questions d’un même exercice doivent partager les mêmes données, alors que le modèle change d’une expérience à l’autre.

Prérequis à revoir : raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; dérivation des fonctions usuelles et composées; combinaisons, arrangements et permutations.

Rappels de cours utiles

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.

Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour la suite, utiliser la relation de récurrence avec une expression auxiliaire adaptée au carré et à la racine. Pour l’intégrale, conserver l’expression de la fonction étudiée. Dans les urnes, distinguer tirage simultané, tirage successif et remise : une formule de dénombrement ne se transporte pas automatiquement entre ces expériences.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès en première année de Médecine Dentaire à Rabat en 2016.

Les questions portent sur les suites, les fonctions logarithmiques, les intégrales et les probabilités.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine Dentaire.
Ville : Rabat.
Université : Université Mohammed V de Rabat.
Faculté : Faculté de Médecine Dentaire.
Date de la session : 28 juillet 2016.
Épreuve : Mathématiques.
Organisation : 4 exercices et 12 questions.

Consignes

Pour chaque question, quatre propositions sont données : A, B, C et D.
Il faut cocher la ou les propositions correctes sur la grille de réponses.
Une même question peut donc comporter plusieurs réponses correctes.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Exercice 1

Énoncé

On considère la suite numérique \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :

\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^2}} \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

On pose, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ v_n=\frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \]

La suite \((v_n)\) est une suite géométrique de raison :

A) \(\dfrac14\).

B) \(2\).

C) \(\dfrac12\).

D) \(4\).

Question 2

Exercice 1

Énoncé

L’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) est :

A) \(\displaystyle u_n=\frac{2^n}{\sqrt{3+2^{2n}}}\).

B) \(\displaystyle u_n=\frac{2^n\sqrt3}{\sqrt{2+2^{2n}}}\).

C) \(\displaystyle u_n=\sqrt{\frac{3\times4^n}{2+4^n}}\).

D) \(\displaystyle u_n=\sqrt{\frac{4^n}{3+4^n}}\).

Question 3

Exercice 1

Énoncé

La valeur de la limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n \]

est :

A) \(\dfrac{\sqrt3}{3}\).

B) \(\sqrt3\).

C) \(2\).

D) \(+\infty\).

Question 4

Exercice 2

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=x+2x\ln x+\frac{\ln x}{x}. \]

La limite :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x) \]

est égale à :

A) \(+\infty\).

B) \(-\infty\).

C) \(0\).

D) \(1\).

Question 5

Exercice 2

Énoncé

On admet que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).

L’équation :

\[ f(x)=0 \]

admet une solution dans l’intervalle :

A) \(]0,\dfrac12[\).

B) \(]\dfrac12,1[\).

C) \(]1,e[\).

D) \(]0,+\infty[\).

Question 6

Exercice 2

Énoncé

La fonction dérivée de la fonction :

\[ x\longmapsto x^2\ln x \qquad\text{sur } ]0,+\infty[ \]

est :

A) \(\displaystyle x\longmapsto2x\ln x+x\).

B) \(\displaystyle x\longmapsto x\ln x+x\).

C) \(\displaystyle x\longmapsto x\left(1+\ln x^2\right)\).

D) \(\displaystyle x\longmapsto\frac{x}{2}\ln x\).

Question 7

Exercice 2

Énoncé

La valeur de l’intégrale :

\[ \int_1^e f(x)\,dx \]

est :

A) \(\displaystyle e^2+\frac12\).

B) \(\displaystyle e^2-\frac12\).

C) \(\displaystyle \frac{1+e^2}{4}\).

D) \(\displaystyle \frac{1+e^2}{2}\).

Question 8

Exercice 3

Énoncé

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ I_n=\int_1^e x^n\ln x\,dx. \]

L’expression de \(I_n\) en fonction de \(n\) est :

A) \(\displaystyle I_n=\frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}\).

B) \(\displaystyle I_n=\frac{ne^{n+1}}{(n+1)^2}\).

C) \(\displaystyle I_n=n\frac{e^{n+1}}{(n+1)^2}+\frac1{(n+1)^2}\).

D) \(\displaystyle I_n=\frac{e^n}{n(n+1)}+\frac1{(n+1)^2}\).

Question 9

Exercice 3

Énoncé

La valeur de la limite :

\[ \lim_{n\to+\infty}I_n \]

est :

A) \(0\).

B) \(1\).

C) \(2\).

D) \(+\infty\).

Question 10

Exercice 4 — Première expérience

Énoncé

Une urne \(U\) contient quatre boules indiscernables au toucher : trois boules portent le numéro \(2\) et une boule porte le numéro \(1\).

On tire simultanément et au hasard trois boules de l’urne \(U\).

La probabilité de l’événement « obtenir la boule portant le numéro \(1\) parmi les boules tirées » est :

A) \(\dfrac12\).

B) \(\dfrac34\).

C) \(\dfrac13\).

D) \(\dfrac14\).

Question 11

Exercice 4 — Deuxième expérience

Énoncé

On tire successivement, au hasard et avec remise, trois boules de l’urne \(U\).

La probabilité de l’événement « obtenir une boule portant le numéro \(1\) et deux boules portant le numéro \(2\) » est :

A) \(\dfrac{15}{64}\).

B) \(\dfrac1{16}\).

C) \(\dfrac{11}{16}\).

D) \(\dfrac{27}{64}\).

Question 12

Exercice 4 — Troisième expérience

Énoncé

On tire au hasard une boule de l’urne \(U\), puis on la remet dans l’urne. On tire ensuite simultanément deux boules de la même urne.

La probabilité de l’événement « parmi les trois boules tirées, une boule porte le numéro \(1\) et deux boules portent le numéro \(2\) » est :

A) \(\dfrac12\).

B) \(\dfrac34\).

C) \(\dfrac13\).

D) \(\dfrac23\).

Conseil aux élèves

Cette épreuve est organisée en quatre exercices liés. Il faut conserver les résultats obtenus dans les premières questions de chaque exercice et lire attentivement la nature des tirages : simultané, successif, avec remise ou sans remise.

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