Correction Concours Médecine Dentaire Rabat 2016 — Mathématiques
Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine Dentaire.
Session du 28 juillet 2016 — Correction détaillée des questions 1 à 12.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Dentaire Rabat 2016.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une correction détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Suite géométrique associée
On considère :
\[ u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n}{\sqrt{1+u_n^2}}, \qquad v_n=\frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \]Déterminer la raison de la suite géométrique \((v_n)\).
On calcule \(u_{n+1}^2\), puis on remplace dans l’expression de \(v_{n+1}\).
Alors :
\[ 3-u_{n+1}^2 = 3-\frac{4u_n^2}{1+u_n^2} = \frac{3-u_n^2}{1+u_n^2}. \]Par conséquent :
\[ v_{n+1} = \frac{u_{n+1}^2}{3-u_{n+1}^2} = \frac{\frac{4u_n^2}{1+u_n^2}} {\frac{3-u_n^2}{1+u_n^2}} = 4\frac{u_n^2}{3-u_n^2}. \]Donc :
\[ v_{n+1}=4v_n. \]Question 2 — Expression explicite de la suite
Déterminer l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
On utilise la forme explicite de la suite géométrique \((v_n)\), puis la relation entre \(v_n\) et \(u_n\).
On a :
\[ v_0=\frac{u_0^2}{3-u_0^2}=\frac12. \]Comme \((v_n)\) est géométrique de raison \(4\) :
\[ v_n=v_0\,4^n=\frac{4^n}{2}. \]La relation :
\[ \frac{u_n^2}{3-u_n^2}=\frac{4^n}{2} \]donne :
\[ 2u_n^2=4^n(3-u_n^2), \] \[ (2+4^n)u_n^2=3\times4^n. \]Comme \(u_0\gt0\) et que la relation de récurrence conserve la positivité :
\[ u_n=\sqrt{\frac{3\times4^n}{2+4^n}}. \]Or \(2^{2n}=4^n\), donc :
\[ \frac{2^n\sqrt3}{\sqrt{2+2^{2n}}} = \sqrt{\frac{3\times4^n}{2+4^n}}. \]Les propositions B et C sont donc équivalentes.
Question 3 — Limite de la suite
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]On utilise l’expression explicite obtenue à la question précédente.
Comme :
\[ \frac2{4^n}\longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt3. \]Question 4 — Limite d’une fonction logarithmique
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\).
On sait que \(x\ln x\to0\) lorsque \(x\to0^+\). Pour le dernier terme, on peut poser \(t=\dfrac1x\).
Lorsque \(x\to0^+\) :
\[ x\to0 \qquad\text{et}\qquad x\ln x\to0. \]Posons \(t=\dfrac1x\). Alors \(t\to+\infty\) et :
\[ \frac{\ln x}{x} = -t\ln t. \]Donc :
\[ \frac{\ln x}{x}\longrightarrow-\infty. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty. \]Question 5 — Localisation d’une solution
On admet que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). Localiser la solution de \(f(x)=0\).
Une fonction continue et strictement croissante changeant de signe entre deux nombres admet une unique racine entre ces deux nombres.
On a :
\[ f(1)=1. \]D’autre part :
\[ f\left(\frac12\right) = \frac12+\ln\left(\frac12\right) +2\ln\left(\frac12\right) = \frac12-3\ln2. \]Or :
\[ \ln2=\int_1^2\frac1t\,dt\gt\frac12, \]donc :
\[ f\left(\frac12\right)\lt\frac12-\frac32=-1\lt0. \]Ainsi :
\[ f\left(\frac12\right)\lt0\lt f(1). \]La fonction étant strictement croissante, l’équation admet une unique solution dans :
\[ \left]\frac12,1\right[. \]Cette solution appartient aussi naturellement à \(]0,+\infty[\). Les propositions B et D sont donc vraies.
Question 6 — Dérivée d’un produit
Dériver la fonction :
\[ x\longmapsto x^2\ln x, \qquad x\gt0. \]On utilise la dérivée d’un produit et, puisque \(x\gt0\), l’identité \(\ln(x^2)=2\ln x\).
La proposition A est donc correcte. De plus :
\[ x(1+\ln x^2) = x(1+2\ln x) = x+2x\ln x. \]La proposition C représente exactement la même fonction.
Question 7 — Calcul d’une intégrale
Calculer :
\[ \int_1^e f(x)\,dx, \qquad f(x)=x+2x\ln x+\frac{\ln x}{x}. \]On reconnaît deux dérivées : \[ \left(x^2\ln x\right)'=x+2x\ln x, \qquad \left(\frac12(\ln x)^2\right)'=\frac{\ln x}{x}. \]
Une primitive de \(f\) est :
\[ F(x)=x^2\ln x+\frac12(\ln x)^2. \]Donc :
\[ \int_1^e f(x)\,dx = \left[x^2\ln x+\frac12(\ln x)^2\right]_1^e. \]Comme \(\ln e=1\) et \(\ln1=0\) :
\[ \int_1^e f(x)\,dx = e^2+\frac12. \]Question 8 — Intégration par parties
Déterminer l’expression de \(I_n\).
On effectue une intégration par parties avec \(u(x)=\ln x\) et \(v'(x)=x^n\).
Donc :
\[ I_n = \left[\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}\right]_1^e -\frac1{n+1}\int_1^e x^n\,dx. \]Ainsi :
\[ I_n = \frac{e^{n+1}}{n+1} -\frac{e^{n+1}-1}{(n+1)^2}. \]Après réduction au même dénominateur :
\[ I_n = \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2}. \]Or :
\[ \frac{ne^{n+1}+1}{(n+1)^2} = n\frac{e^{n+1}}{(n+1)^2} +\frac1{(n+1)^2}. \]Les propositions A et C sont donc équivalentes.
Question 9 — Limite de l’intégrale
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n. \]On utilise l’expression explicite de \(I_n\) et la croissance comparée de l’exponentielle et des puissances de \(n\).
On écrit :
\[ \frac{ne^{n+1}}{(n+1)^2} = \frac{n}{n+1}\times\frac{e^{n+1}}{n+1}. \]Or :
\[ \frac{n}{n+1}\longrightarrow1 \qquad\text{et}\qquad \frac{e^{n+1}}{n+1}\longrightarrow+\infty. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty. \]Question 10 — Tirage simultané
Une urne contient trois boules portant le numéro \(2\) et une boule portant le numéro \(1\). On tire simultanément trois boules.
Calculer la probabilité d’obtenir la boule portant le numéro \(1\).
Dans un tirage simultané, l’ordre ne compte pas.
Le nombre total de tirages de trois boules parmi quatre est :
\[ \mathrm C_4^3=4. \]Pour inclure la boule portant le numéro \(1\), on la choisit nécessairement, puis on choisit deux boules parmi les trois autres :
\[ \mathrm C_3^2=3. \]Ainsi :
\[ P=\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_4^3} =\frac34. \]Question 11 — Tirages avec remise
On effectue trois tirages successifs avec remise.
Calculer la probabilité d’obtenir exactement une boule portant le numéro \(1\) et deux boules portant le numéro \(2\).
Avec remise, les tirages sont indépendants. La boule \(1\) peut apparaître à l’une des trois positions.
À chaque tirage :
\[ P(1)=\frac14, \qquad P(2)=\frac34. \]On choisit la position de l’unique boule \(1\) de \(\mathrm C_3^1=3\) façons. Ainsi :
\[ P = \mathrm C_3^1 \left(\frac14\right) \left(\frac34\right)^2. \]Donc :
\[ P = 3\times\frac14\times\frac9{16} = \frac{27}{64}. \]Question 12 — Expérience en deux étapes
On tire une première boule, puis on la remet. On tire ensuite simultanément deux boules.
Calculer la probabilité d’obtenir au total une boule portant le numéro \(1\) et deux boules portant le numéro \(2\).
On distingue deux cas incompatibles selon le résultat du premier tirage.
Premier cas : la première boule porte le numéro \(1\).
Sa probabilité est \(\dfrac14\). Après remise, les deux boules simultanées doivent porter le numéro \(2\) :
\[ P(\text{deux }2)=\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_4^2}=\frac12. \]La probabilité de ce cas est :
\[ \frac14\times\frac12=\frac18. \]Deuxième cas : la première boule porte le numéro \(2\).
Sa probabilité est \(\dfrac34\). Après remise, on doit tirer une boule \(1\) et une boule \(2\) :
\[ P(\text{un }1\text{ et un }2) = \frac{1\times3}{\mathrm C_4^2} = \frac12. \]La probabilité de ce cas est :
\[ \frac34\times\frac12=\frac38. \]Finalement :
\[ P=\frac18+\frac38=\frac12. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, il faut examiner toutes les propositions, car plusieurs réponses peuvent être simultanément correctes. Deux expressions différentes peuvent représenter exactement la même quantité. En probabilités, il faut aussi distinguer clairement les tirages simultanés, les tirages successifs et la présence ou non d’une remise.
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