Concours Médecine Fès 2016 — Énoncé Mathématiques

Université Sidi Mohammed Ben Abdellah — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès.

Année universitaire 2016-2017 — Épreuve de mathématiques — Questions 1 à 16.

Compétences et points clés

Fès Médecine 2016 juxtapose dénombrement, dérivation d’une somme de fonctions usuelles et intégrale exponentielle. L’entraînement consiste à contrôler les facteurs de dérivation et la convention de comptage avant de comparer les réponses proposées.

Prérequis à revoir : combinaisons, arrangements et permutations; dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient; dérivation des fonctions usuelles et composées.

Rappels de cours utiles

Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.

Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.

Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Dans la première question, distinguer arrangement ordonné et combinaison. Pour la dérivée, traiter chaque terme puis contrôler les facteurs introduits par la composition. Dans l’intégrale exponentielle, vérifier une primitive et l’ordre des bornes avant de confronter le résultat aux valeurs du QCM.

Cette page présente la transcription française de l’énoncé de la partie mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2016.

Les questions portent sur le dénombrement, les fonctions, les intégrales, les suites, les probabilités, les nombres complexes, les équations différentielles et les variables aléatoires.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Fès.
Université : Université Sidi Mohammed Ben Abdellah.
Année universitaire : 2016-2017.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée pour cette épreuve : 30 minutes.
Questions : 1 à 16.

Consignes

Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est correcte.
Les questions 1 à 7 sont notées sur 2 points chacune.
Les questions 8 à 13 sont notées sur 0,75 point chacune.
Les questions 14 à 16 sont notées sur 0,5 point chacune.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Pour tout entier naturel \(n\ge2\), on a :

A) \(\mathrm A_n^2\) est un multiple de \(\mathrm C_n^2\).

B) \(\mathrm A_n^2=\mathrm C_n^2\).

C) \(\mathrm A_n^2\lt\mathrm C_n^2\).

D) \(\displaystyle \mathrm A_n^2=\frac{\mathrm C_n^2}{2!}\).

E) \(\mathrm A_n^2\le\mathrm C_n^2\).

Question 2

Énoncé

On considère la fonction \(f: ]0,+\infty[\to\mathbb R\) définie par :

\[ f(x)=e^x-\ln x+\sqrt[3]{x}-x^2+\frac{x-1}{x+1}-x. \]

La fonction dérivée de \(f\), définie sur \(]0,+\infty[\), est :

A) \(\displaystyle f'(x)=e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x-\frac2{(x+1)^2}-1\).

B) \(\displaystyle f'(x)=-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1\).

C) \(\displaystyle f'(x)=e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}\).

D) \(\displaystyle f'(x)=e^x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1\).

E) \(\displaystyle f'(x)=e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1\).

Question 3

Énoncé

La valeur de l’intégrale :

\[ I=\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)\,dx \]

est :

A) \(-4{,}5\).

B) \(\ln4\).

C) \(0\).

D) \(\ln2-1\).

E) \(e^2-4e\).

Question 4

Énoncé

La limite de la suite \((u_n)\), définie par :

\[ u_n=n+\cos\left((-1)^n n^3-n^2+\sqrt[3]{n}\right), \]

est :

A) Elle n’existe pas.

B) \(0\).

C) \(-\infty\).

D) \(+\infty\).

E) \(-1\).

Question 5

Énoncé

Le domaine de définition de la fonction numérique :

\[ f(x)=e^{\frac{\ln x}{\sqrt{x}-1}} \]

est :

A) \(]-\infty,0[\).

B) \(]0,1[\cup]1,+\infty[\).

C) \(]0,1[\cup]1,+\infty]\).

D) \(]0,1[\cup[1,+\infty[\).

E) \(]0,+\infty[\).

Question 6

Énoncé

Un candidat choisit au hasard une réponse parmi les cinq propositions de chacune des seize questions de l’épreuve de mathématiques.

La probabilité qu’il obtienne la note de \(20/20\) est :

A) \(\dfrac1{80}\).

B) \(\dfrac{\mathrm C_5^1}{80}\).

C) \(\dfrac{16}{80}\).

D) \(\dfrac1{5^{16}}\).

E) \(0\).

Question 7

Énoncé

On considère les deux nombres complexes :

\[ z_1=e^{2017i}+e^{2016i} \qquad\text{et}\qquad z_2=e^{-2017i}+e^{-2016i}. \]

Les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont :

A) Strictement positifs.

B) Strictement négatifs.

C) Conjugués.

D) Égaux.

E) Opposés.

Question 8

Énoncé

La solution de l’équation différentielle :

\[ y'+y+1=0 \]

qui vérifie \(y(0)=0\), est la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

A) \(y(x)=(x+1)e^{-x}\).

B) \(y(x)=e^x-e^{-x}\).

C) \(y(x)=e^{-x}-1\).

D) \(y(x)=\cos x-1\).

E) \(y(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)-1\).

Question 9

Énoncé

Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation :

\[ (\cos x+i\sin x)^5=0 \]

admet :

A) Deux solutions.

B) Une seule solution.

C) Une infinité de solutions.

D) Aucune solution.

E) Cinq solutions.

Question 10

Énoncé

La limite de la suite \((v_n)\), définie par :

\[ v_n=\sqrt[n+1]{7}-\sqrt[n+1]{e}, \]

est :

A) \(\dfrac7e\).

B) \(7-e\).

C) \(0\).

D) \(-\infty\).

E) \(+\infty\).

Question 11

Énoncé

La limite :

\[ \lim_{x\to1}\frac{x^x-1}{x-1} \]

est égale à :

A) \(-\infty\).

B) \(+\infty\).

C) \(-1\).

D) \(1\).

E) \(0\).

Question 12

Énoncé

On considère la fonction :

\[ f: ]\ln4,+\infty[\to\mathbb R, \qquad f(x)=\ln\left(e^{2x}-4e^x\right). \]

Si \(f^{-1}\) est la fonction réciproque de \(f\), alors :

A) \(\left(f^{-1}\right)'(\ln5)=0\).

B) \(\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(\ln5)=\frac16\).

C) \(\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(\ln5)=-\frac16\).

D) \(\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(\ln5)\ne\frac16\).

E) \(f(\ln5)\ne\ln5\).

Question 13

Énoncé

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres :

\[ n=16 \qquad\text{et}\qquad p=0{,}5. \]

L’écart-type de \(X\) est :

A) \(\sigma(X)=4\).

B) \(\sigma(X)=2\).

C) \(\sigma(X)=-4\).

D) \(\sigma(X)=3\).

E) \(\sigma(X)=-2\).

Question 14

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\) définie, pour tout \(n\in\mathbb N^*\), par :

\[ u_n=1,\underbrace{22\ldots2}_{n\ \text{chiffres }2}. \]

La suite \((u_n)\) est :

A) Elle admet une limite infinie.

B) Strictement décroissante.

C) Constante.

D) Strictement négative.

E) Strictement croissante.

Question 15

Énoncé

L’équation :

\[ e^x-\ln x=0 \]

vérifie l’une des affirmations suivantes :

A) Elle admet une solution unique dans \(]-2,+\infty[\).

B) Elle admet au moins une solution dans \(]-\infty,+\infty[\).

C) Elle admet une solution unique dans \(]0,+\infty[\).

D) Elle admet deux solutions dans \(]-2,+\infty[\).

E) Elle n’admet aucune solution dans \([0,+\infty[\).

Question 16

Énoncé

La valeur de l’intégrale :

\[ J=\int_0^1 2\left(e^t+e^{-t}\right)^2\,dt \]

est :

A) \(e^2-e^{-2}+4\).

B) \(e^{-2}-e^2+4\).

C) \(e^2-e^{-2}-4\).

D) \(e^2+e^{-2}+4\).

E) \(2\).

Conseil aux élèves

Cette épreuve comporte plusieurs questions indépendantes. Il faut lire attentivement chaque proposition, identifier la propriété utile et vérifier les conditions de définition avant de calculer.

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