Correction Concours Médecine Fès 2016

Correction Concours Médecine Fès 2016 — Mathématiques

Université Sidi Mohammed Ben Abdellah — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès.

Année universitaire 2016-2017 — Correction détaillée des questions 1 à 16.

Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Fès 2016.

Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une correction détaillée et la réponse finale.

Voir l’énoncé Guide Médecine Page Concours

Tableau des réponses finales

\[ \begin{array}{c|cccccccccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16\\ \hline \text{Réponse} & A&E&A&D&B&D&C&C&D&C&D&B&B&E&E&A \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1 — Arrangements et combinaisons

Rappel complet de la question

Pour tout entier naturel \(n\ge2\), choisir l’affirmation correcte.

A) \(\mathrm A_n^2\) est un multiple de \(\mathrm C_n^2\).

B) \(\mathrm A_n^2=\mathrm C_n^2\).

C) \(\mathrm A_n^2\lt\mathrm C_n^2\).

D) \(\displaystyle \mathrm A_n^2=\frac{\mathrm C_n^2}{2!}\).

E) \(\mathrm A_n^2\le\mathrm C_n^2\).

Rappel utile
\[\mathrm A_n^p=p!\,\mathrm C_n^p.\]

Correction

Pour \(p=2\), on obtient :

\[ \mathrm A_n^2=2!\,\mathrm C_n^2=2\,\mathrm C_n^2. \]

Ainsi, \(\mathrm A_n^2\) est bien un multiple de \(\mathrm C_n^2\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 2 — Dérivation

Rappel complet de la question\[ f(x)=e^x-\ln x+\sqrt[3]{x}-x^2+\frac{x-1}{x+1}-x, \qquad x\gt0. \]

A) \(\displaystyle e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x-\frac2{(x+1)^2}-1\).

B) \(\displaystyle -\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1\).

C) \(\displaystyle e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}\).

D) \(\displaystyle e^x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1\).

E) \(\displaystyle e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1\).

Rappel utile
On dérive chaque terme séparément. Pour le quotient : \[ \left(\frac{x-1}{x+1}\right)'=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac2{(x+1)^2}. \]

Correction\[ (e^x)'=e^x,\qquad (-\ln x)'=-\frac1x, \] \[ \left(\sqrt[3]{x}\right)'=\frac1{3x^{2/3}}=\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}, \] \[ (-x^2)'=-2x,\qquad (-x)'=-1. \]

Donc :

\[ f'(x)=e^x-\frac1x+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}-2x+\frac2{(x+1)^2}-1. \]

Réponse correcte : \(\boxed{E}\)

Question 3 — Calcul d’une intégrale

Rappel complet de la question\[ I=\int_0^{\ln4}\left(e^{2x}-4e^x\right)\,dx. \]

A) \(-4{,}5\).

B) \(\ln4\).

C) \(0\).

D) \(\ln2-1\).

E) \(e^2-4e\).

Rappel utile
\[\int e^{2x}\,dx=\frac12e^{2x}.\]

Correction\[ I=\left[\frac12e^{2x}-4e^x\right]_0^{\ln4}. \]

Comme \(e^{\ln4}=4\) et \(e^{2\ln4}=16\), on a :

\[ I=\left(\frac12\times16-4\times4\right)-\left(\frac12-4\right). \] \[ I=(8-16)-\left(-\frac72\right)=-8+\frac72=-\frac92=-4{,}5. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 4 — Limite d’une suite

Rappel complet de la question\[ u_n=n+\cos\left((-1)^n n^3-n^2+\sqrt[3]{n}\right). \]

A) La limite n’existe pas.

B) \(0\).

C) \(-\infty\).

D) \(+\infty\).

E) \(-1\).

Rappel utile
Pour tout réel \(t\), \[-1\le\cos t\le1.\]

Correction\[ -1\le\cos\left((-1)^n n^3-n^2+\sqrt[3]{n}\right)\le1. \]

Donc :

\[ n-1\le u_n\le n+1. \]

Or \(n-1\to+\infty\). Par comparaison :

\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 5 — Domaine de définition

Rappel complet de la question\[ f(x)=e^{\frac{\ln x}{\sqrt{x}-1}}. \]

A) \(]-\infty,0[\).

B) \(]0,1[\cup]1,+\infty[\).

C) \(]0,1[\cup]1,+\infty]\).

D) \(]0,1[\cup[1,+\infty[\).

E) \(]0,+\infty[\).

Rappel utile
Le logarithme impose \(x\gt0\), et le dénominateur doit être non nul.

Correction

On doit avoir :

\[ x\gt0\qquad\text{et}\qquad\sqrt{x}-1\ne0. \]

La deuxième condition donne \(x\ne1\). Ainsi :

\[ D_f=]0,1[\cup]1,+\infty[. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 6 — Probabilité de répondre juste au hasard

Rappel complet de la question

Un candidat répond au hasard aux 16 questions, chacune comportant cinq propositions et une seule réponse correcte. Calculer la probabilité d’obtenir \(20/20\).

A) \(\dfrac1{80}\).

B) \(\dfrac{\mathrm C_5^1}{80}\).

C) \(\dfrac{16}{80}\).

D) \(\dfrac1{5^{16}}\).

E) \(0\).

Rappel utile
Pour chaque question, la probabilité de choisir la bonne réponse est \(\dfrac15\).

Correction

Pour obtenir \(20/20\), il faut répondre correctement aux 16 questions.

\[ P=\left(\frac15\right)^{16}=\frac1{5^{16}}. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 7 — Nombres complexes conjugués

Rappel complet de la question\[ z_1=e^{2017i}+e^{2016i},\qquad z_2=e^{-2017i}+e^{-2016i}. \]

A) Strictement positifs.

B) Strictement négatifs.

C) Conjugués.

D) Égaux.

E) Opposés.

Rappel utile
\[\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}.\]

Correction\[ \overline{z_1}=\overline{e^{2017i}}+\overline{e^{2016i}}=e^{-2017i}+e^{-2016i}=z_2. \]

Les deux nombres sont donc conjugués.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 8 — Équation différentielle

Rappel complet de la question\[ y'+y+1=0,\qquad y(0)=0. \]

A) \(y(x)=(x+1)e^{-x}\).

B) \(y(x)=e^x-e^{-x}\).

C) \(y(x)=e^{-x}-1\).

D) \(y(x)=\cos x-1\).

E) \(y(x)=e^{-x}(\cos x+\sin x)-1\).

Rappel utile
L’équation s’écrit \(y'+y=-1\). Une solution particulière constante est \(y_p=-1\), et les solutions de \(y'+y=0\) sont \(Ce^{-x}\).

Correction

La solution générale est :

\[ y(x)=Ce^{-x}-1. \]

La condition \(y(0)=0\) donne \(C-1=0\), donc \(C=1\). Ainsi :

\[ y(x)=e^{-x}-1. \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 9 — Module d’un nombre complexe

Rappel complet de la question\[ (\cos x+i\sin x)^5=0. \]

A) Deux solutions.

B) Une seule solution.

C) Une infinité de solutions.

D) Aucune solution.

E) Cinq solutions.

Rappel utile
Pour tout réel \(x\), \[|\cos x+i\sin x|=1.\]

Correction\[ \left|(\cos x+i\sin x)^5\right|=|\cos x+i\sin x|^5=1. \]

Le membre de gauche ne peut donc jamais être nul. L’équation n’admet aucune solution réelle.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 10 — Limite de racines d’ordre variable

Rappel complet de la question\[ v_n=\sqrt[n+1]{7}-\sqrt[n+1]{e}. \]

A) \(\dfrac7e\).

B) \(7-e\).

C) \(0\).

D) \(-\infty\).

E) \(+\infty\).

Rappel utile
Pour tout réel \(a\gt0\), \[\lim_{n\to+\infty}a^{1/n}=1.\]

Correction\[ \sqrt[n+1]{7}=7^{\frac1{n+1}}\longrightarrow1, \qquad \sqrt[n+1]{e}=e^{\frac1{n+1}}\longrightarrow1. \]

Par différence :

\[ \lim_{n\to+\infty}v_n=1-1=0. \]

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 11 — Nombre dérivé

Rappel complet de la question\[ \lim_{x\to1}\frac{x^x-1}{x-1}. \]

A) \(-\infty\).

B) \(+\infty\).

C) \(-1\).

D) \(1\).

E) \(0\).

Rappel utile
La limite est le nombre dérivé en \(1\) de \(g(x)=x^x\), puisque \(g(1)=1\).

Correction

Pour \(x\gt0\) :

\[ g(x)=x^x=e^{x\ln x}. \]

Donc :

\[ g'(x)=x^x(\ln x+1). \]

En particulier, \(g'(1)=1\). Ainsi :

\[ \lim_{x\to1}\frac{x^x-1}{x-1}=1. \]

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 12 — Dérivée d’une fonction réciproque

Rappel complet de la question\[ f(x)=\ln\left(e^{2x}-4e^x\right),\qquad x\gt\ln4. \]

Déterminer \(\left(f^{-1}\right)'(\ln5)\).

A) \(0\).

B) \(\dfrac16\).

C) \(-\dfrac16\).

D) Une valeur différente de \(\dfrac16\).

E) \(f(\ln5)\ne\ln5\).

Rappel utile
Si \(f(a)=b\) et \(f'(a)\ne0\), alors : \[ \left(f^{-1}\right)'(b)=\frac1{f'(a)}. \]

Correction\[ f(\ln5)=\ln(5^2-4\times5)=\ln5. \]

Ainsi, \(a=b=\ln5\). Ensuite :

\[ f'(x)=\frac{2e^{2x}-4e^x}{e^{2x}-4e^x}=\frac{2e^x-4}{e^x-4}. \] \[ f'(\ln5)=\frac{10-4}{5-4}=6. \]

Finalement :

\[ \left(f^{-1}\right)'(\ln5)=\frac16. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 13 — Écart-type d’une loi binomiale

Rappel complet de la question

\(X\) suit une loi binomiale de paramètres \(n=16\) et \(p=0{,}5\).

A) \(\sigma(X)=4\).

B) \(\sigma(X)=2\).

C) \(\sigma(X)=-4\).

D) \(\sigma(X)=3\).

E) \(\sigma(X)=-2\).

Rappel utile
Pour une loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) : \[ V(X)=np(1-p),\qquad \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}. \]

Correction\[ \sigma(X)=\sqrt{16\times0{,}5\times0{,}5}=\sqrt4=2. \]

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 14 — Suite de nombres décimaux

Rappel complet de la question\[ u_n=1,\underbrace{22\ldots2}_{n\ \text{chiffres }2}. \]

A) Elle admet une limite infinie.

B) Elle est strictement décroissante.

C) Elle est constante.

D) Elle est strictement négative.

E) Elle est strictement croissante.

Rappel utile
Chaque nouveau terme s’obtient en ajoutant un chiffre \(2\) à droite de la partie décimale.

Correction\[ u_{n+1}=u_n+\frac2{10^{n+1}}. \]

Comme \(\dfrac2{10^{n+1}}\gt0\), on a \(u_{n+1}\gt u_n\). La suite est donc strictement croissante.

De plus :

\[ u_n=1+2\sum_{k=1}^{n}\frac1{10^k}=\frac{11}{9}-\frac{2}{9\times10^n}, \]

donc elle converge vers \(\dfrac{11}{9}\).

Réponse correcte : \(\boxed{E}\)

Question 15 — Équation exponentielle et logarithmique

Rappel complet de la question\[ e^x-\ln x=0. \]

A) Une solution unique dans \(]-2,+\infty[\).

B) Au moins une solution dans \(\mathbb R\).

C) Une solution unique dans \(]0,+\infty[\).

D) Deux solutions dans \(]-2,+\infty[\).

E) Aucune solution dans \([0,+\infty[\).

Rappel utile
L’équation est définie seulement pour \(x\gt0\).

Correction

Si \(0\lt x\le1\), alors \(\ln x\le0\) et \(e^x\gt0\), donc \(e^x-\ln x\gt0\).

Si \(x\gt1\), alors :

\[ \ln x\lt x\lt e^x. \]

Donc \(e^x-\ln x\gt0\) également.

L’équation n’admet aucune solution dans son domaine \(]0,+\infty[\).

Réponse correcte : \(\boxed{E}\)

Question 16 — Développement d’une intégrale

Rappel complet de la question\[ J=\int_0^1 2\left(e^t+e^{-t}\right)^2\,dt. \]

A) \(e^2-e^{-2}+4\).

B) \(e^{-2}-e^2+4\).

C) \(e^2-e^{-2}-4\).

D) \(e^2+e^{-2}+4\).

E) \(2\).

Rappel utile
On commence par développer le carré.

Correction\[ \left(e^t+e^{-t}\right)^2=e^{2t}+2+e^{-2t}. \]

Donc :

\[ J=\int_0^1\left(2e^{2t}+4+2e^{-2t}\right)\,dt. \]

Une primitive est \(e^{2t}+4t-e^{-2t}\). Ainsi :

\[ J=\left[e^{2t}+4t-e^{-2t}\right]_0^1=e^2-e^{-2}+4. \]

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs questions peuvent être résolues rapidement en reconnaissant une formule de cours : relation entre arrangements et combinaisons, dérivée d’une fonction réciproque, écart-type d’une loi binomiale ou limite d’une racine d’ordre variable. Il faut toujours commencer par vérifier le domaine de définition et les conditions d’application.

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