Concours Médecine Fès 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2017-2018 — Questions 1 à 16.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2017.

Les questions portent sur les fonctions, intégrales, suites, probabilités, géométrie du plan, nombres complexes et géométrie de l’espace.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Fès.
Année universitaire : 2017-2018.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 1 à 16.

Consignes

La partie mathématiques comporte 16 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Il faut choisir la proposition correcte selon les données de chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Pour les deux nombres réels \(\pi\) et \(e\), on a :

A) \(\pi\) et \(e\) sont deux nombres irrationnels.

B) \(e^\pi=\pi^e\)

C) \(e^\pi+\pi^e=1\)

D) \(e^\pi\gt\pi^e\)

E) \(e^\pi\times\pi^e=1\)

Question 2

Énoncé

Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par :

\[ f(x)=e^{-x}-\ln(x^2-2x+2)+\sqrt[2017]{-x}. \]

L’ensemble de définition de \(f\) est :

A) \(D=\mathbb R\)

B) \(D=[0,+\infty[\)

C) \(D=]-\infty,0]\)

D) \(D=\{0\}\)

E) \(D=]-\infty,0[\)

Question 3

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ I=\int_1^2\left(\frac2x-1\right)\ln(x)\,dx \]

est :

A) \((\ln2-1)\ln2\)

B) \((\ln2-1)^2\)

C) \(0\)

D) \(\ln2\)

E) \(2(\ln2-1)\ln2\)

Question 4

Énoncé

Soit \((u_n)\) la suite définie par :

\[ u_0=-2017,\qquad u_{n+1}=e^{u_n}+u_n,\quad \forall n\in\mathbb N. \]

La limite de \((u_n)\) est :

A) \(+\infty\)

B) \(0\)

C) \(-\infty\)

D) elle n’existe pas

E) \(-2017\)

Question 5

Énoncé

La limite à droite en \(0\) de la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\), définie par :

\[ f(x)=e^{\frac{\ln x}{e^x}}-\frac{\ln x}{e^x}, \]

est :

A) \(+\infty\)

B) \(-\infty\)

C) \(0\)

D) \(1\)

E) elle n’existe pas

Question 6

Énoncé

Une urne contient \(5\) boules blanches et \(4\) boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement \(3\) boules selon la règle suivante : si la boule tirée est verte, on la remet dans l’urne ; si la boule tirée est blanche, on ne la remet pas.

La probabilité que la première boule tirée soit la seule boule blanche est :

A) \(\dfrac4{36}\)

B) \(\dfrac5{36}\)

C) \(\dfrac19\)

D) \(\dfrac4{9^3}\)

E) \(0\)

Question 7

Énoncé

La limite à droite en \(0\) de la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie par :

\[ x\longmapsto \int_x^1\left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}\,dt, \]

est :

A) \(\ell=+\infty\)

B) \(\ell=-\infty\)

C) \(e^{-1}\)

D) \(\ell=1\)

E) elle n’existe pas

Question 8

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points :

\[ A(\sqrt2),\qquad B(-i),\qquad D(1),\qquad E(i\sqrt2). \]

Alors :

A) les points \(A,B,D,E\) sont alignés.

B) les points \(A,B,D,E\) sont cocycliques.

C) \(ABDE\) est un losange.

D) \((AB)\perp(DE)\) et \(AB=DE\).

E) \(ABDE\) est un carré.

Question 9

Énoncé

L’équation

\[ e^{ix}+1=0 \]

d’inconnue réelle \(x\) :

A) admet seulement deux solutions.

B) admet \(\pi\) comme solution unique.

C) n’admet pas de solution.

D) admet une infinité de solutions.

E) admet \(\pi\) et \(-\pi\) comme deux solutions uniques.

Question 10

Énoncé

Soit \((u_n)\) une suite qui vérifie :

\[ \frac{u_n}{u_{n-1}}=e^{-n},\qquad \forall n\in\mathbb N^*. \]

La limite de \((u_n)\) est égale à :

A) \(e\)

B) \(e^{-1}\)

C) \(0\)

D) \(-\infty\)

E) \(+\infty\)

Question 11

Énoncé

La limite

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x} \]

est égale à :

A) \(-\infty\)

B) \(0\)

C) \(-1\)

D) \(1\)

E) \(+\infty\)

Question 12

Énoncé

Si \(f^{-1}\) est la fonction réciproque de la fonction :

\[ f:]1,+\infty[\longrightarrow\mathbb R,\qquad x\longmapsto \frac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}, \]

alors, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :

A) \(f^{-1}(x)=\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}\)

B) \(f^{-1}(x)=x\)

C) \(f^{-1}(f(x))=x^3\)

D) \(f^{-1}(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x^3-1}}{x}\)

E) \(f(f^{-1}(x))=\sqrt[3]{x}\)

Question 13

Énoncé

Dans l’ensemble des entiers naturels, l’équation :

\[ \sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k=2^6 \]

d’inconnue \(n\), vérifie :

A) elle admet \(n=6\) comme solution unique.

B) elle admet \(n=5\) comme solution unique.

C) elle admet une infinité de solutions.

D) elle admet \(6\) solutions différentes.

E) elle n’admet aucune solution.

Question 14

Énoncé

Pour tout réel \(x\) tel que \(0\lt |x|\lt1\), on considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_n=(1+|x|)^n,\qquad \forall n\in\mathbb N. \]

Alors la suite \((u_n)\) :

A) admet la limite \(+\infty\) lorsque \(n\to+\infty\).

B) est nulle.

C) est croissante.

D) est strictement négative.

E) est strictement décroissante.

Question 15

Énoncé

L’équation

\[ e^x-x\ln(x)=0 \]

d’inconnue réelle \(x\) :

A) admet une infinité de solutions dans \(]0,+\infty[\).

B) admet au moins une solution dans \(]-\infty,+\infty[\).

C) n’admet pas de solution dans \([0,+\infty[\).

D) admet deux solutions dans \(]0,+\infty[\).

E) admet une solution unique dans \(]0,+\infty[\).

Question 16

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), l’intersection des deux plans :

\[ (P):x-y+z=0 \]

\[ (Q):x+y-z+1=0 \]

est :

A) un plan.

B) une droite dirigée par le vecteur \(\vec u(1,1,-1)\).

C) une droite passant par le point \(A(0,0,-1)\).

D) une droite dirigée par le vecteur \(\vec v(0,2,2)\).

E) une droite dirigée par le vecteur \(\vec w(1,-1,1)\).

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, certaines questions peuvent contenir plusieurs propositions vraies. Il faut donc étudier chaque proposition séparément, surtout pour les suites et les questions de géométrie.

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