Concours Médecine Fès 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2017-2018 — Questions 1 à 16.

Compétences et points clés

Fès 2017 mêle propriétés de nombres usuels, fonctions composées, nombres complexes et intersection de plans. Une affirmation universelle ou une conclusion géométrique ne se valide pas simplement parce qu’un calcul isolé semble la soutenir.

Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; produit scalaire, vecteurs normaux et coordonnées.

Rappels de cours utiles

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Plans, sphères et distances. Dans un repère orthonormé, un vecteur normal non nul détermine la direction d’un plan. Pour étudier une section de sphère, comparer la distance du centre au plan avec le rayon ; en cas de section circulaire, son centre est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour le domaine de la fonction, traiter chaque composante séparément puis réunir les conditions. Pour l’équation complexe exponentielle, tenir compte de la périodicité. Pour les deux plans, comparer leurs normales avant de chercher les coordonnées des points communs.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2017.

Les questions portent sur les fonctions, intégrales, suites, probabilités, géométrie du plan, nombres complexes et géométrie de l’espace.

Guide Médecine Page Concours Accueil Parcours Maths Maroc

Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Fès.
Année universitaire : 2017-2018.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 1 à 16.

Consignes

La partie mathématiques comporte 16 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Il faut choisir la proposition correcte selon les données de chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Pour les deux nombres réels \(\pi\) et \(e\), on a :

A) \(\pi\) et \(e\) sont deux nombres irrationnels.

B) \(e^\pi=\pi^e\)

C) \(e^\pi+\pi^e=1\)

D) \(e^\pi\gt\pi^e\)

E) \(e^\pi\times\pi^e=1\)

Question 2

Énoncé

Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par :

\[ f(x)=e^{-x}-\ln(x^2-2x+2)+\sqrt[2017]{-x}. \]

L’ensemble de définition de \(f\) est :

A) \(D=\mathbb R\)

B) \(D=[0,+\infty[\)

C) \(D=]-\infty,0]\)

D) \(D=\{0\}\)

E) \(D=]-\infty,0[\)

Question 3

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ I=\int_1^2\left(\frac2x-1\right)\ln(x)\,dx \]

est :

A) \((\ln2-1)\ln2\)

B) \((\ln2-1)^2\)

C) \(0\)

D) \(\ln2\)

E) \(2(\ln2-1)\ln2\)

Question 4

Énoncé

Soit \((u_n)\) la suite définie par :

\[ u_0=-2017,\qquad u_{n+1}=e^{u_n}+u_n,\quad \forall n\in\mathbb N. \]

La limite de \((u_n)\) est :

A) \(+\infty\)

B) \(0\)

C) \(-\infty\)

D) elle n’existe pas

E) \(-2017\)

Question 5

Énoncé

La limite à droite en \(0\) de la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\), définie par :

\[ f(x)=e^{\frac{\ln x}{e^x}}-\frac{\ln x}{e^x}, \]

est :

A) \(+\infty\)

B) \(-\infty\)

C) \(0\)

D) \(1\)

E) elle n’existe pas

Question 6

Énoncé

Une urne contient \(5\) boules blanches et \(4\) boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement \(3\) boules selon la règle suivante : si la boule tirée est verte, on la remet dans l’urne ; si la boule tirée est blanche, on ne la remet pas.

La probabilité que la première boule tirée soit la seule boule blanche est :

A) \(\dfrac4{36}\)

B) \(\dfrac5{36}\)

C) \(\dfrac19\)

D) \(\dfrac4{9^3}\)

E) \(0\)

Question 7

Énoncé

La limite à droite en \(0\) de la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie par :

\[ x\longmapsto \int_x^1\left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}\,dt, \]

est :

A) \(\ell=+\infty\)

B) \(\ell=-\infty\)

C) \(e^{-1}\)

D) \(\ell=1\)

E) elle n’existe pas

Question 8

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points :

\[ A(\sqrt2),\qquad B(-i),\qquad D(1),\qquad E(i\sqrt2). \]

Alors :

A) les points \(A,B,D,E\) sont alignés.

B) les points \(A,B,D,E\) sont cocycliques.

C) \(ABDE\) est un losange.

D) \((AB)\perp(DE)\) et \(AB=DE\).

E) \(ABDE\) est un carré.

Question 9

Énoncé

L’équation

\[ e^{ix}+1=0 \]

d’inconnue réelle \(x\) :

A) admet seulement deux solutions.

B) admet \(\pi\) comme solution unique.

C) n’admet pas de solution.

D) admet une infinité de solutions.

E) admet \(\pi\) et \(-\pi\) comme deux solutions uniques.

Question 10

Énoncé

Soit \((u_n)\) une suite qui vérifie :

\[ \frac{u_n}{u_{n-1}}=e^{-n},\qquad \forall n\in\mathbb N^*. \]

La limite de \((u_n)\) est égale à :

A) \(e\)

B) \(e^{-1}\)

C) \(0\)

D) \(-\infty\)

E) \(+\infty\)

Question 11

Énoncé

La limite

\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x} \]

est égale à :

A) \(-\infty\)

B) \(0\)

C) \(-1\)

D) \(1\)

E) \(+\infty\)

Question 12

Énoncé

Si \(f^{-1}\) est la fonction réciproque de la fonction :

\[ f:]1,+\infty[\longrightarrow\mathbb R,\qquad x\longmapsto \frac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}, \]

alors, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :

A) \(f^{-1}(x)=\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}\)

B) \(f^{-1}(x)=x\)

C) \(f^{-1}(f(x))=x^3\)

D) \(f^{-1}(x)=\dfrac{\sqrt[3]{x^3-1}}{x}\)

E) \(f(f^{-1}(x))=\sqrt[3]{x}\)

Question 13

Énoncé

Dans l’ensemble des entiers naturels, l’équation :

\[ \sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k=2^6 \]

d’inconnue \(n\), vérifie :

A) elle admet \(n=6\) comme solution unique.

B) elle admet \(n=5\) comme solution unique.

C) elle admet une infinité de solutions.

D) elle admet \(6\) solutions différentes.

E) elle n’admet aucune solution.

Question 14

Énoncé

Pour tout réel \(x\) tel que \(0\lt |x|\lt1\), on considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_n=(1+|x|)^n,\qquad \forall n\in\mathbb N. \]

Alors la suite \((u_n)\) :

A) admet la limite \(+\infty\) lorsque \(n\to+\infty\).

B) est nulle.

C) est croissante.

D) est strictement négative.

E) est strictement décroissante.

Question 15

Énoncé

L’équation

\[ e^x-x\ln(x)=0 \]

d’inconnue réelle \(x\) :

A) admet une infinité de solutions dans \(]0,+\infty[\).

B) admet au moins une solution dans \(]-\infty,+\infty[\).

C) n’admet pas de solution dans \([0,+\infty[\).

D) admet deux solutions dans \(]0,+\infty[\).

E) admet une solution unique dans \(]0,+\infty[\).

Question 16

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), l’intersection des deux plans :

\[ (P):x-y+z=0 \]

\[ (Q):x+y-z+1=0 \]

est :

A) un plan.

B) une droite dirigée par le vecteur \(\vec u(1,1,-1)\).

C) une droite passant par le point \(A(0,0,-1)\).

D) une droite dirigée par le vecteur \(\vec v(0,2,2)\).

E) une droite dirigée par le vecteur \(\vec w(1,-1,1)\).

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, certaines questions peuvent contenir plusieurs propositions vraies. Il faut donc étudier chaque proposition séparément, surtout pour les suites et les questions de géométrie.

MATHS PARCOURS MAROC

Rechercher dans ce blog