Correction Concours Médecine Fès 2017 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — année universitaire 2017-2018.
Correction détaillée des questions 1 à 16.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Fès 2017.
Certaines questions peuvent contenir plusieurs propositions correctes ; chaque proposition est donc analysée avec soin.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Comparaison de \(e^\pi\) et \(\pi^e\)
Pour les deux nombres réels \(\pi\) et \(e\), on a :
Pour comparer \(e^\pi\) et \(\pi^e\), on compare leurs logarithmes.
Les deux nombres \(\pi\) et \(e\) sont irrationnels. La proposition A est donc correcte.
Pour comparer \(e^\pi\) et \(\pi^e\), on prend le logarithme :
\[ \ln(e^\pi)=\pi, \qquad \ln(\pi^e)=e\ln\pi. \]Il suffit donc de comparer \(\pi\) et \(e\ln\pi\).
On a numériquement :
\[ \pi\simeq 3{,}1416 \]et :
\[ e\ln\pi\simeq 2{,}718\times1{,}145\simeq3{,}112. \]Donc :
\[ \pi\gt e\ln\pi. \]Par conséquent :
\[ e^\pi\gt\pi^e. \]La proposition D est donc correcte.
Question 2 — Ensemble de définition
Soit \(f\) la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par :
\[ f(x)=e^{-x}-\ln(x^2-2x+2)+\sqrt[2017]{-x}. \]L’ensemble de définition de \(f\) est :
On contrôle séparément l’exponentielle, le logarithme et la racine d’ordre impair.
L’expression \(e^{-x}\) est définie pour tout réel \(x\).
Pour le logarithme, on étudie :
\[ x^2-2x+2=(x-1)^2+1. \]Donc :
\[ (x-1)^2+1\gt0 \]pour tout réel \(x\). Ainsi :
\[ \ln(x^2-2x+2) \]est défini pour tout réel \(x\).
Enfin, la racine d’ordre \(2017\) est une racine d’ordre impair. Elle est donc définie pour tout réel.
Par conséquent :
\[ D=\mathbb R. \]Question 3 — Calcul d’une intégrale logarithmique
La valeur de l’intégrale
\[ I=\int_1^2\left(\frac2x-1\right)\ln(x)\,dx \]est :
On sépare l’intégrale en deux termes.
On écrit :
\[ I=2\int_1^2\frac{\ln x}{x}\,dx-\int_1^2\ln x\,dx. \]On a :
\[ 2\int_1^2\frac{\ln x}{x}\,dx = \left[(\ln x)^2\right]_1^2 = (\ln2)^2. \]Ensuite :
\[ \int_1^2\ln x\,dx = \left[x\ln x-x\right]_1^2. \]Donc :
\[ \int_1^2\ln x\,dx = (2\ln2-2)-(-1)=2\ln2-1. \]Ainsi :
\[ I=(\ln2)^2-(2\ln2-1). \]Donc :
\[ I=(\ln2-1)^2. \]Question 4 — Limite d’une suite récurrente
Soit \((u_n)\) la suite définie par :
\[ u_0=-2017,\qquad u_{n+1}=e^{u_n}+u_n,\quad \forall n\in\mathbb N. \]La limite de \((u_n)\) est :
Une suite croissante qui aurait une limite finie devrait satisfaire l’équation de passage à la limite.
On a :
\[ u_{n+1}-u_n=e^{u_n}. \]Or :
\[ e^{u_n}\gt0. \]Donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
Si elle admettait une limite finie \(\ell\), alors en passant à la limite dans :
\[ u_{n+1}=e^{u_n}+u_n, \]on obtiendrait :
\[ \ell=e^\ell+\ell. \]Donc :
\[ e^\ell=0. \]C’est impossible pour un réel \(\ell\).
Comme la suite est croissante et ne peut pas converger vers une limite finie, on conclut :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. \]Question 5 — Limite à droite en \(0\)
La limite à droite en \(0\) de la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\), définie par :
\[ f(x)=e^{\frac{\ln x}{e^x}}-\frac{\ln x}{e^x}, \]est :
On pose \(t=\dfrac{\ln x}{e^x}\) et on étudie le comportement de \(t\) lorsque \(x\to0^+\).
Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ \ln x\to-\infty \qquad\text{et}\qquad e^x\to1. \]Donc :
\[ t=\frac{\ln x}{e^x}\to-\infty. \]La fonction devient :
\[ e^t-t. \]Lorsque \(t\to-\infty\), on a :
\[ e^t\to0 \qquad\text{et}\qquad -t\to+\infty. \]Donc :
\[ e^t-t\to+\infty. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0^+}\left(e^{\frac{\ln x}{e^x}}-\frac{\ln x}{e^x}\right)=+\infty. \]Question 6 — Probabilité d’un tirage ordonné
Une urne contient \(5\) boules blanches et \(4\) boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement \(3\) boules selon la règle suivante : si la boule tirée est verte, on la remet dans l’urne ; si la boule tirée est blanche, on ne la remet pas.
La probabilité que la première boule tirée soit la seule boule blanche est :
« La première boule est la seule blanche » signifie : blanche, puis verte, puis verte.
L’événement demandé correspond à la succession :
\[ B,\ V,\ V. \]Au premier tirage :
\[ P(B)=\frac59. \]Après une boule blanche, elle n’est pas remise. Il reste \(4\) blanches et \(4\) vertes, soit \(8\) boules.
Au deuxième tirage :
\[ P(V|B)=\frac48=\frac12. \]Comme la boule verte est remise, la composition reste la même pour le troisième tirage :
\[ P(V|B,V)=\frac48=\frac12. \]Donc :
\[ P=\frac59\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac5{36}. \]Question 7 — Limite d’une intégrale à borne variable
La limite à droite en \(0\) de la fonction numérique de la variable réelle \(x\), définie par :
\[ x\longmapsto \int_x^1\left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}\,dt, \]est :
On cherche une primitive de \(\left(1+\frac1t\right)e^{-1/t}\).
On remarque que :
\[ \left(t e^{-\frac1t}\right)' = e^{-\frac1t}+t\cdot e^{-\frac1t}\cdot\frac1{t^2}. \]Donc :
\[ \left(t e^{-\frac1t}\right)' = \left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}. \]Ainsi :
\[ \int_x^1\left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}\,dt = \left[t e^{-\frac1t}\right]_x^1. \]Donc :
\[ \int_x^1\left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}\,dt = e^{-1}-x e^{-\frac1x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a :
\[ x e^{-\frac1x}\to0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}\int_x^1\left(1+\frac1t\right)e^{-\frac1t}\,dt=e^{-1}. \]Question 8 — Configuration dans le plan complexe
Dans le plan complexe, on considère les points :
\[ A(\sqrt2),\qquad B(-i),\qquad D(1),\qquad E(i\sqrt2). \]Alors :
On traduit les affixes en coordonnées puis on compare les vecteurs et les longueurs.
Les coordonnées sont :
\[ A(\sqrt2,0),\quad B(0,-1),\quad D(1,0),\quad E(0,\sqrt2). \]Le coefficient directeur de \((AB)\) est :
\[ m_{AB}=\frac{-1-0}{0-\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}. \]Le coefficient directeur de \((DE)\) est :
\[ m_{DE}=\frac{\sqrt2-0}{0-1}=-\sqrt2. \]Donc :
\[ m_{AB}m_{DE}=-1. \]Par conséquent :
\[ (AB)\perp(DE). \]Calculons les longueurs :
\[ AB^2=(0-\sqrt2)^2+(-1-0)^2=2+1=3, \]et :
\[ DE^2=(0-1)^2+(\sqrt2-0)^2=1+2=3. \]Donc :
\[ AB=DE. \]La proposition D est correcte.
Question 9 — Équation trigonométrique complexe
L’équation
\[ e^{ix}+1=0 \]d’inconnue réelle \(x\) :
On utilise \(e^{ix}=-1\Longleftrightarrow x\equiv\pi\ [2\pi]\).
L’équation donnée équivaut à :
\[ e^{ix}=-1. \]Or :
\[ -1=e^{i(\pi+2k\pi)},\qquad k\in\mathbb Z. \]Donc les solutions sont :
\[ x=\pi+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]Il y a donc une infinité de solutions réelles.
Question 10 — Suite définie par un quotient
Soit \((u_n)\) une suite qui vérifie :
\[ \frac{u_n}{u_{n-1}}=e^{-n},\qquad \forall n\in\mathbb N^*. \]La limite de \((u_n)\) est égale à :
On multiplie les relations successives pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(u_0\).
Pour tout \(n\ge1\), on a :
\[ u_n=u_{n-1}e^{-n}. \]Donc :
\[ u_n=u_0e^{-(1+2+\cdots+n)}. \]Or :
\[ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2. \]Ainsi :
\[ u_n=u_0e^{-\frac{n(n+1)}2}. \]Comme :
\[ e^{-\frac{n(n+1)}2}\to0, \]on obtient :
\[ u_n\to0. \]Question 11 — Limite d’une fonction bornée divisée par \(x\)
La limite
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x} \]est égale à :
On utilise l’encadrement \(-1\le\sin x\le1\).
On a pour tout réel \(x\) :
\[ -1\le \sin x\le1. \]Donc :
\[ |\sin x|\le1. \]Ainsi :
\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1{|x|}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a :
\[ \frac1{|x|}\to0. \]Donc :
\[ \frac{\sin x}{x}\to0. \]Question 12 — Fonction réciproque
Si \(f^{-1}\) est la fonction réciproque de la fonction :
\[ f:]1,+\infty[\longrightarrow\mathbb R,\qquad x\longmapsto \frac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}, \]alors, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :
On pose \(y=\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}\), puis on résout en \(x\).
Posons :
\[ y=\frac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}. \]On élève au cube :
\[ y^3=\frac{x^3}{x^3-1}. \]Donc :
\[ y^3(x^3-1)=x^3. \]Ainsi :
\[ x^3(y^3-1)=y^3. \]Donc :
\[ x^3=\frac{y^3}{y^3-1}. \]Comme \(x\gt1\), on obtient :
\[ x=\frac{y}{\sqrt[3]{y^3-1}}. \]Donc la fonction réciproque a la même expression :
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt[3]{y^3-1}}. \]En remplaçant \(y\) par \(x\), on obtient :
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x^3-1}}. \]Question 13 — Somme des coefficients binomiaux
Dans l’ensemble des entiers naturels, l’équation :
\[ \sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k=2^6 \]d’inconnue \(n\), vérifie :
On utilise l’identité \(\sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k=2^n\).
On sait que :
\[ \sum_{k=0}^{n}\mathrm C_n^k=2^n. \]L’équation devient donc :
\[ 2^n=2^6. \]La fonction \(n\mapsto 2^n\) est strictement croissante sur \(\mathbb N\).
Donc :
\[ n=6. \]La solution est unique.
Question 14 — Suite exponentielle
Pour tout réel \(x\) tel que \(0\lt |x|\lt1\), on considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[ u_n=(1+|x|)^n,\qquad \forall n\in\mathbb N. \]Alors la suite \((u_n)\) :
Si \(a\gt1\), alors la suite \(a^n\) est croissante et tend vers \(+\infty\).
Comme :
\[ 0\lt |x|\lt1, \]on a :
\[ 1\lt 1+|x|\lt2. \]Posons :
\[ a=1+|x|. \]Alors :
\[ a\gt1. \]Donc :
\[ u_n=a^n. \]La suite \((a^n)\) est croissante et tend vers \(+\infty\).
Les propositions A et C sont donc correctes.
Question 15 — Équation avec exponentielle et logarithme
L’équation
\[ e^x-x\ln(x)=0 \]d’inconnue réelle \(x\) :
L’équation est étudiée sur \(]0,+\infty[\), car \(\ln x\) impose \(x\gt0\).
L’expression \(\ln x\) impose :
\[ x\gt0. \]Si \(0\lt x\le1\), alors :
\[ \ln x\le0, \]donc :
\[ x\ln x\le0. \]Comme \(e^x\gt0\), on a :
\[ e^x-x\ln x\gt0. \]Si \(x\gt1\), alors :
\[ \ln x\lt x. \]Donc :
\[ x\ln x\lt x^2. \]Or :
\[ e^x\gt x^2 \]pour tout \(x\gt0\). Ainsi :
\[ e^x-x\ln x\gt0. \]L’équation n’admet donc aucune solution dans son domaine.
Question 16 — Intersection de deux plans
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), l’intersection des deux plans :
\[ (P):x-y+z=0 \]et
\[ (Q):x+y-z+1=0 \]est :
L’intersection de deux plans non parallèles est une droite dirigée par le produit vectoriel de leurs vecteurs normaux.
Un vecteur normal au plan \((P)\) est :
\[ \vec n_P=(1,-1,1). \]Un vecteur normal au plan \((Q)\) est :
\[ \vec n_Q=(1,1,-1). \]Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les deux plans se coupent suivant une droite.
Un vecteur directeur de cette droite est :
\[ \vec n_P\wedge \vec n_Q. \]On obtient :
\[ \vec n_P\wedge \vec n_Q=(0,2,2). \]La droite d’intersection est donc dirigée par :
\[ \vec v(0,2,2). \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, les réponses reposent sur des réflexes fondamentaux : domaine de définition, comparaison de croissances, somme géométrique, probabilités conditionnelles et géométrie analytique.
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