Concours Médecine Fès 2018 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2018-2019 — Questions 1 à 16.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2018.

Les questions portent sur les fonctions, intégrales, suites, logique, géométrie de l’espace, probabilités, dénombrement et nombres complexes.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Fès.
Année universitaire : 2018-2019.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 1 à 16.
Durée indiquée : 30 minutes.

Consignes

L’épreuve de mathématiques comporte 16 questions.
Pour chaque question, cinq réponses sont proposées : A, B, C, D et E.
Une seule réponse est retenue pour chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Le domaine de définition de la fonction \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par

\[ f(x)=\sqrt{-x^2} \]

est égal à :

A) \(]-\infty,0[\)

B) \(]-\infty,0]\)

C) vide

D) \(\{0\}\)

E) \([0,+\infty[\)

Question 2

Énoncé

Pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \(]0,+\infty[\), la valeur de l’intégrale

\[ \int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt \]

est :

A) \(x-\ln(1+x)\)

B) \(x\)

C) \(0\)

D) \(\ln(x+1)-x\)

E) \(2x-\ln(1+x)\)

Question 3

Énoncé

Pour tout entier naturel non nul \(n\), la dérivée \(n^{\text{ième}}\) de la fonction \(\ln\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) est la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

A) \(\ln^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{(n-1)!}{x^n}\)

B) \(\ln^{(n)}(x)=(-1)^n\dfrac{n!}{x^n}\)

C) \(\ln^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\dfrac{n!}{x^n}\)

D) \(\ln^{(n)}(x)=(\ln(x))^n\)

E) \(\ln^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}\)

Question 4

Énoncé

La limite

\[ \lim_{x\to+\infty}x\sin\left(\frac1x\right) \]

est égale à :

A) \(-\infty\)

B) \(0\)

C) \(1\)

D) \(-1\)

E) \(+\infty\)

Question 5

Énoncé

La limite \(l\) en \(1\) de la fonction

\[ x\longmapsto\int_0^x (t^2+2t-1)e^t\,dt \]

est :

A) \(l=+\infty\)

B) \(l=1\)

C) \(l=4e+1\)

D) \(l=-\infty\)

E) \(n'existe\ pas\)

Question 6

Énoncé

Le texte suivant : « \((x\in\mathbb R)\quad x^2\ge0\) » est une :

A) proposition vraie

B) proposition fausse

C) proposition positive

D) fonction propositionnelle

E) loi logique

Question 7

Énoncé

Dans l’espace \((\xi)\) rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que

\[ \begin{cases} x-y+z=0\\ x^2+y^2+z^2-2018=0 \end{cases} \]

est :

A) un cercle

B) un plan

C) une droite passant par le point \(O(0,0,0)\)

D) la sphère de centre \(O\) et de rayon \(2018\)

E) la sphère de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{2018}\)

Question 8

Énoncé

On considère la suite définie par :

\[ u_0=1{,}0001 \quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb N)\quad u_{n+1}=u_n^{2018}. \]

La limite de la suite \((u_n)\) est :

A) n’existe pas

B) \(-\infty\)

C) \(0\)

D) \(1\)

E) \(+\infty\)

Question 9

Énoncé

Pour tout réel non nul \(x\), on considère dans le plan complexe les points

\[ A(|x|),\quad B(|x|e^{2i}),\quad C(|x|e^{-2i}),\quad D(-|x|e^{-2i}). \]

Alors :

A) \(A,B,C\) et \(D\) sont alignés

B) \(ABCD\) est un parallélogramme

C) \(A,B,C\) et \(D\) sont cocycliques

D) \((AB)//(CD)\)

E) \(AB=CD\)

Question 10

Énoncé

La probabilité pour qu’un candidat obtienne la note \(0{,}25\) dans cette épreuve de mathématique sachant qu’il choisit au hasard l’une des cinq réponses possibles dans chacune des seize questions est :

A) \(\dfrac1{80}\)

B) \(0\)

C) \(1\)

D) \(\dfrac{4^{16}}{5^{16}}\)

E) \(\dfrac{\mathrm{C}_{5}^{4}}{80}\)

Question 11

Énoncé

La limite de la suite de terme général \(u_n=1{,}999\ldots999\), où \(9\) est écrit \(n+1\) fois, est égale à :

A) \(0\)

B) \(+\infty\)

C) \(3\)

D) \(2\)

E) \(1{,}99\)

Question 12

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\sqrt{2-x^2}\,dx \]

est :

A) \(\pi\)

B) \(2\pi\)

C) \(0\)

D) \(\pi\sqrt2\)

E) \(2\sqrt2\)

Question 13

Énoncé

L’équation

\[ x^{2019}+x-2019=0 \]

d’inconnue \(x\) :

A) admet une seule solution dans l’ensemble des nombres complexes

B) admet \(2019\) solutions dans \(\mathbb R\)

C) admet une seule solution dans \(\mathbb N\)

D) admet une seule solution dans l’ensemble des entiers relatifs

E) admet une seule solution dans \(\mathbb R\)

Question 14

Énoncé

Pour tout entier naturel non nul \(n\), l’équation

\[ A_n^k=k!, \]

d’inconnue \(k\) dans \(\mathbb N\) :

A) n’admet pas de solution

B) admet la seule solution \(n\)

C) admet exactement deux solutions

D) admet une infinité de solutions

E) admet \(n+1\) solutions

Question 15

Énoncé

Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions telles que \(P\) est fausse. Si l’implication \(P\Rightarrow Q\) est vraie, alors :

A) \(Q\) est à la fois vraie et fausse

B) \(Q\) est soit vraie soit fausse

C) \(Q\) est nécessairement fausse

D) \(Q\) est nécessairement vraie

E) \(P\) est vraie

Question 16

Énoncé

Dans le plan complexe rapporté au repère \((O,\vec u,\vec v)\), l’ensemble des points \(M(z)\) tels que

\[ \arg(z)\equiv0\ [\pi] \]

est :

A) l’axe des imaginaires

B) l’axe des réels

C) le plan complexe

D) l’axe des réels privé du point \(O\)

E) une demi-droite d’origine \(O\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, les questions sont courtes mais exigent une lecture précise des conditions : domaine de définition, nature de l’ensemble, limite, calcul d’intégrale ou interprétation logique.

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