Correction Concours Médecine Fès 2018 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — année universitaire 2018-2019.
Correction détaillée des questions 1 à 16.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Fès 2018.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction détaillée et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Domaine de définition
Le domaine de définition de la fonction \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par
\[ f(x)=\sqrt{-x^2} \]est égal à :
Pour que \(\sqrt{-x^2}\) soit définie, il faut que l’expression sous la racine carrée soit positive ou nulle.
On doit avoir :
\[ -x^2\ge0. \]Or \(x^2\ge0\) pour tout réel \(x\). Donc \(-x^2\le0\).
Pour avoir simultanément \(-x^2\ge0\), il faut nécessairement :
\[ -x^2=0. \]Donc :
\[ x=0. \]Ainsi, le domaine de définition est :
\[ D_f=\{0\}. \]Question 2 — Calcul d’intégrale
Pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \(]0,+\infty[\), la valeur de l’intégrale
\[ \int_0^x \frac{t}{1+t}\,dt \]est :
On simplifie l’intégrande avant d’intégrer.
On écrit :
\[ \frac{t}{1+t}=\frac{1+t-1}{1+t}=1-\frac1{1+t}. \]Donc :
\[ \int_0^x\frac{t}{1+t}\,dt = \int_0^x\left(1-\frac1{1+t}\right)dt. \]Ainsi :
\[ \int_0^x\frac{t}{1+t}\,dt = \left[t-\ln(1+t)\right]_0^x. \]Donc :
\[ \int_0^x\frac{t}{1+t}\,dt=x-\ln(1+x). \]Question 3 — Dérivée \(n^{ ext{ième}}\) de \(\ln x\)
Pour tout entier naturel non nul \(n\), la dérivée \(n^{\text{ième}}\) de la fonction \(\ln\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\) est la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
On observe les premières dérivées puis on généralise.
On calcule :
\[ (\ln x)'=\frac1x. \]Puis :
\[ (\ln x)''=-\frac1{x^2}. \]Et :
\[ (\ln x)'''=\frac2{x^3}. \]Le signe alterne et le coefficient devient \((n-1)!\). Donc :
\[ \ln^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}. \]Question 4 — Limite trigonométrique
La limite
\[ \lim_{x\to+\infty}x\sin\left(\frac1x\right) \]est égale à :
On utilise la limite usuelle \(\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\).
On pose :
\[ u=\frac1x. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(u\to0^+\). De plus :
\[ x\sin\left(\frac1x\right)=\frac{\sin u}{u}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}x\sin\left(\frac1x\right)=1. \]Question 5 — Limite d’une intégrale à borne variable
La limite \(l\) en \(1\) de la fonction
\[ x\longmapsto\int_0^x (t^2+2t-1)e^t\,dt \]est :
Si l’intégrande est continue, la fonction définie par une intégrale à borne variable est continue.
La fonction :
\[ t\mapsto (t^2+2t-1)e^t \]est continue sur \(\mathbb R\). Donc la limite en \(1\) vaut la valeur de l’intégrale en \(1\) :
\[ l=\int_0^1 (t^2+2t-1)e^t\,dt. \]On remarque que :
\[ \left((t^2-1)e^t\right)'=(t^2+2t-1)e^t. \]Donc :
\[ l=\left[(t^2-1)e^t\right]_0^1. \]Ainsi :
\[ l=0-(-1)=1. \]Question 6 — Logique
Le texte suivant : « \((x\in\mathbb R)\quad x^2\ge0\) » est une :
Une phrase contenant une variable libre sans quantificateur est une fonction propositionnelle.
Le texte contient la variable \(x\), mais il ne contient pas de quantificateur du type :
\[ \forall x\in\mathbb R \quad\text{ou}\quad \exists x\in\mathbb R. \]Sa valeur de vérité dépend donc de la valeur attribuée à \(x\).
Ce n’est pas encore une proposition complètement fermée. C’est une fonction propositionnelle.
Question 7 — Intersection d’un plan et d’une sphère
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que
\[ \begin{cases} x-y+z=0\\ x^2+y^2+z^2-2018=0 \end{cases} \]est :
L’équation \(x^2+y^2+z^2=2018\) représente une sphère et \(x-y+z=0\) représente un plan.
L’équation :
\[ x^2+y^2+z^2=2018 \]est celle de la sphère de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt{2018}\).
L’équation :
\[ x-y+z=0 \]est celle d’un plan passant par \(O\).
L’intersection d’une sphère par un plan passant par son centre est un cercle.
Question 8 — Suite récurrente
On considère la suite définie par :
\[ u_0=1{,}0001 \quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb N)\quad u_{n+1}=u_n^{2018}. \]La limite de la suite \((u_n)\) est :
Si \(u_0>1\) et si l’on élève à une puissance supérieure à \(1\), les termes augmentent très rapidement.
On a :
\[ u_0=1{,}0001>1. \]Si \(u_n>1\), alors :
\[ u_{n+1}=u_n^{2018}>u_n. \]La suite est donc croissante et reste strictement supérieure à \(1\).
En posant \(v_n=\ln(u_n)\), on obtient :
\[ v_{n+1}=2018v_n. \]Comme \(v_0=\ln(1{,}0001)>0\), on a \(v_n\to+\infty\). Donc :
\[ u_n=e^{v_n}\to+\infty. \]Question 9 — Points du plan complexe
Pour tout réel non nul \(x\), on considère dans le plan complexe les points
\[ A(|x|),\quad B(|x|e^{2i}),\quad C(|x|e^{-2i}),\quad D(-|x|e^{-2i}). \]Alors :
Si plusieurs points ont des affixes de même module, ils appartiennent au même cercle de centre \(O\).
Les affixes des points sont :
\[ |x|,\quad |x|e^{2i},\quad |x|e^{-2i},\quad -|x|e^{-2i}. \]Le module de chacune de ces affixes est :
\[ |x|. \]Donc les quatre points sont tous sur le cercle de centre \(O\) et de rayon \(|x|\).
Ils sont donc cocycliques.
Question 10 — Probabilité et notation de l’épreuve
La probabilité pour qu’un candidat obtienne la note \(0{,}25\) dans cette épreuve de mathématique sachant qu’il choisit au hasard l’une des cinq réponses possibles dans chacune des seize questions est :
On tient compte des notes attribuées aux questions de l’épreuve.
Dans cette épreuve, les questions ne sont pas notées \(0{,}25\) point.
Les questions sont notées \(2\) points, \(0{,}75\) point ou \(0{,}5\) point selon leur rang.
Un candidat ne peut donc pas obtenir exactement la note \(0{,}25\) dans cette épreuve par addition des points des questions correctement traitées.
La probabilité demandée est donc :
\[ 0. \]Question 11 — Suite décimale
La limite de la suite de terme général \(u_n=1{,}999\ldots999\), où \(9\) est écrit \(n+1\) fois, est égale à :
Une suite décimale avec de plus en plus de chiffres \(9\) après la virgule tend vers le nombre suivant.
On peut écrire :
\[ u_n=2-\frac1{10^{n+1}}. \]Comme :
\[ \frac1{10^{n+1}}\to0, \]on obtient :
\[ u_n\to2. \]Question 12 — Intégrale et aire d’un demi-disque
La valeur de l’intégrale
\[ \int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\sqrt{2-x^2}\,dx \]est :
La courbe \(y=\sqrt{2-x^2}\) est le demi-cercle supérieur de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt2\).
L’équation :
\[ y=\sqrt{2-x^2} \]donne :
\[ x^2+y^2=2,\qquad y\ge0. \]C’est donc le demi-cercle supérieur de rayon :
\[ R=\sqrt2. \]L’intégrale représente l’aire de ce demi-disque :
\[ \frac12\pi R^2=\frac12\pi(\sqrt2)^2=\pi. \]Question 13 — Équation polynomiale réelle
L’équation
\[ x^{2019}+x-2019=0 \]d’inconnue \(x\) :
On étudie la fonction \(h(x)=x^{2019}+x-2019\) sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ h(x)=x^{2019}+x-2019. \]Alors :
\[ h'(x)=2019x^{2018}+1>0. \]Donc \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
De plus :
\[ \lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty \quad\text{et}\quad \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty. \]Par conséquent, l’équation \(h(x)=0\) admet une seule solution réelle.
Question 14 — Arrangements et factorielle
Pour tout entier naturel non nul \(n\), l’équation
\[ A_n^k=k!, \]d’inconnue \(k\) dans \(\mathbb N\) :
On utilise la formule \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\), pour \(0\le k\le n\).
On remarque d’abord que :
\[ A_n^0=1=0!. \]Donc \(k=0\) est une solution.
Ensuite :
\[ A_n^n=n!=n!. \]Donc \(k=n\) est aussi une solution.
Pour \(0 ce qui ne donne pas \(k!\) en général dans ce cadre. L’équation admet donc exactement deux solutions : \(k=0\) et \(k=n\).
Question 15 — Implication logique
Soient \(P\) et \(Q\) deux propositions telles que \(P\) est fausse. Si l’implication \(P\Rightarrow Q\) est vraie, alors :
Une implication dont l’hypothèse est fausse est vraie quelle que soit la valeur de vérité de la conclusion.
On sait que \(P\) est fausse.
Dans la table de vérité de l’implication, lorsque \(P\) est fausse, l’implication \(P\Rightarrow Q\) est vraie quelle que soit la valeur de \(Q\).
Donc \(Q\) peut être vraie ou fausse.
Question 16 — Argument d’un nombre complexe
Dans le plan complexe rapporté au repère \((O,\vec u,\vec v)\), l’ensemble des points \(M(z)\) tels que
\[ \arg(z)\equiv0\ [\pi] \]est :
L’argument d’un nombre complexe non nul est défini uniquement pour \(z\ne0\).
La condition :
\[ \arg(z)\equiv0\ [\pi] \]signifie que \(z\) a un argument égal à \(0\) ou à \(\pi\) modulo \(2\pi\).
Donc le point \(M(z)\) appartient à l’axe réel.
Mais l’argument de \(0\) n’est pas défini. On doit donc enlever le point \(O\).
Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, il faut repérer rapidement la notion centrale de chaque question : domaine de définition, intégrale, limite, logique, géométrie ou dénombrement.
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