Concours Médecine Fès 2019 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — Épreuve de mathématiques.

Questions 1 à 16 — QCM à cinq propositions.

Compétences et points clés

Fès 2019 rassemble des expressions composées, des dérivées successives et de la géométrie vectorielle dans l’espace. Il entraîne à contrôler d’abord l’existence des objets calculés et à distinguer le produit scalaire du produit vectoriel.

Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient; produit scalaire, vecteurs normaux et coordonnées.

Rappels de cours utiles

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.

Plans, sphères et distances. Dans un repère orthonormé, un vecteur normal non nul détermine la direction d’un plan. Pour étudier une section de sphère, comparer la distance du centre au plan avec le rayon ; en cas de section circulaire, son centre est le projeté orthogonal du centre de la sphère sur le plan.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

La première expression impose simultanément les restrictions de la racine et de la tangente. Dans les dérivées successives, conserver une écriture organisée du produit. Pour un lieu dans l’espace, identifier le vecteur fixe qui joue le rôle de normale et examiner s’il est non nul.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2019.

Les questions portent sur les fonctions, intégrales, suites, nombres complexes, probabilités, géométrie de l’espace, limites et produit vectoriel.

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Consignes

L’épreuve de mathématiques comporte 16 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Une seule réponse est retenue pour chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Le domaine de définition de la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par

\[ f(x)=\tan\left(\sqrt{-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}+\frac{\pi}{2}\right) \]

est égal à :

A) \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\)

B) \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\)

C) \(\varnothing\)

D) \(\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\)

E) \(\mathbb{R}\)

Question 2

Énoncé

La fonction dérivée troisième de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[ f(x)=x\left(e^{-x}+\frac12x-1\right) \]

est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

A) \(f'''(x)=e^{-x}(3-x)+1\)

B) \(f'''(x)=e^{-x}(3-x)\)

C) \(f'''(x)=e^{-x}(x-3)\)

D) \(f'''(x)=2e^{-x}(3-x)\)

E) \(f'''(x)=e^{-x}\)

Question 3

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ I=\int_{1}^{e^2}(\ln t)^2\,dt \]

est :

A) \(I=2(e^2-1)\)

B) \(I=e-2\)

C) \(I=e^2-2\)

D) \(I=0\)

E) \(I=2(1-e^2)\)

Question 4

Énoncé

La fonction numérique définie sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) par

\[ g(x)=\ln\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right) \]

est :

A) strictement négative

B) paire

C) ni paire ni impaire

D) strictement positive

E) impaire

Question 5

Énoncé

Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation

\[ e^x+ix=x+ie^x \]

A) admet quatre solutions

B) admet une seule solution

C) admet trois solutions

D) n’admet aucune solution

E) admet une infinité de solutions

Question 6

Énoncé

Une urne contient trois boules vertes, quatre boules bleues et cinq boules blanches indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. La probabilité d’avoir deux boules de même couleur est :

A) \(p=1\)

B) \(p=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

C) \(p=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{2}+\mathrm{C}_{4}^{2}+\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

D) \(p=\dfrac{\mathrm{A}_{3}^{2}+\mathrm{A}_{4}^{2}+\mathrm{A}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

E) \(p=\dfrac{\mathrm{A}_{3}^{2}\mathrm{A}_{4}^{2}\mathrm{A}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

Question 7

Énoncé

Le nombre complexe

\[ \frac{2e^{2019i\frac{\pi}{3}}+2e^{2016i\frac{\pi}{3}}}{e^{2020i\pi}+e^{2016i\pi}} \]

est :

A) égal à \(1\)

B) nul

C) strictement négatif

D) imaginaire pur et non nul

E) égal à \(2\)

Question 8

Énoncé

La solution générale de l’équation différentielle \(y''=0\) est l’ensemble des applications définies sur \(\mathbb{R}\) par :

A) \(y(x)=ax+b\)

B) \(y(x)=(ax+b)e^{-\pi x}\)

C) \(y(x)=e^{-\pi x}(a\cos(\pi x)+b\sin(\pi x))\)

D) \(y(x)=a\cos(\sqrt{\pi}\,x+b)\)

E) \(y(x)=a\cos(\pi x+b)\)

où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.

Question 9

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, l’ensemble des points \(M\) vérifiant

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)=0, \]

où \(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points distincts deux à deux fixés dans l’espace, est :

A) l’ensemble \(\{A,B,C\}\)

B) un cercle de centre \(A\)

C) la sphère de diamètre \(BC\)

D) une sphère de centre \(A\)

E) un plan

Question 10

Énoncé

La limite de la suite de terme général

\[ v_n=\frac{(-\pi)^n-(-e)^n}{(-2)^n-(-3)^n} \]

est égale à :

A) \(\dfrac{\pi}{3}\)

B) \(+\infty\)

C) \(\pi-e\)

D) \(-\infty\)

E) \(\dfrac{e}{2}\)

Question 11

Énoncé

Au voisinage de \(+\infty\), la courbe de la fonction numérique de la variable réelle définie par

\[ f(x)=\frac{e^x}{\ln x} \]

admet :

A) une asymptote horizontale

B) une branche parabolique de direction l’axe des abscisses

C) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

D) une asymptote verticale

E) un point d’inflexion

Question 12

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2-5x+6}\,dx \]

est :

A) \(-1\)

B) \(\ln3-\ln2\)

C) \(0\)

D) \(1\)

E) \(2\)

Question 13

Énoncé

La limite \(l\) en \(1\) de la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par

\[ F(x)=\int_{1}^{x}\frac{e^{-t^2}}{x-1}\,dt \]

est :

A) \(l=e^{-1}\)

B) \(l=e^{-2}\)

C) \(l=0\)

D) \(l\) n’existe pas

E) \(l=+\infty\)

Question 14

Énoncé

La limite de la suite définie par

\[ u_0=1 \quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb{N})\quad u_{n+1}=\frac{u_n^3}{2} \]

est :

A) n’existe pas

B) \(-\sqrt2\)

C) \(+\infty\)

D) \(\sqrt2\)

E) \(0\)

Question 15

Énoncé

Dans \(\mathbb{R}\), l’équation

\[ \ln^3(x)+\ln(x)-1=0 \]

A) admet deux solutions dans \(]1,e[\)

B) admet trois solutions dans \(]1,e[\)

C) admet trois solutions dans \(]0,+\infty[\)

D) admet une seule solution dans \(]1,e[\)

E) n’admet aucune solution dans \(]1,+\infty[\)

Question 16

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), le produit vectoriel

\[ \vec{i}\wedge(\vec{j}\wedge\vec{k}) \]

est égal à :

A) \(\vec{i}\)

B) \(\vec{j}\)

C) \(\vec{0}\)

D) \(\vec{k}\)

E) \(-\vec{k}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, les questions exigent surtout une bonne reconnaissance des méthodes rapides : domaine de définition, dérivées successives, intégration, parité, probabilités, complexes, géométrie de l’espace, limites de suites et produit vectoriel.

MATHS PARCOURS MAROC

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