Concours Médecine Fès 2019 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — Épreuve de mathématiques.

Questions 1 à 16 — QCM à cinq propositions.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2019.

Les questions portent sur les fonctions, intégrales, suites, nombres complexes, probabilités, géométrie de l’espace, limites et produit vectoriel.

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Consignes

L’épreuve de mathématiques comporte 16 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Une seule réponse est retenue pour chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Le domaine de définition de la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par

\[ f(x)=\tan\left(\sqrt{-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}+\frac{\pi}{2}\right) \]

est égal à :

A) \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\)

B) \(\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\)

C) \(\varnothing\)

D) \(\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}\)

E) \(\mathbb{R}\)

Question 2

Énoncé

La fonction dérivée troisième de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[ f(x)=x\left(e^{-x}+\frac12x-1\right) \]

est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

A) \(f'''(x)=e^{-x}(3-x)+1\)

B) \(f'''(x)=e^{-x}(3-x)\)

C) \(f'''(x)=e^{-x}(x-3)\)

D) \(f'''(x)=2e^{-x}(3-x)\)

E) \(f'''(x)=e^{-x}\)

Question 3

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ I=\int_{1}^{e^2}(\ln t)^2\,dt \]

est :

A) \(I=2(e^2-1)\)

B) \(I=e-2\)

C) \(I=e^2-2\)

D) \(I=0\)

E) \(I=2(1-e^2)\)

Question 4

Énoncé

La fonction numérique définie sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) par

\[ g(x)=\ln\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right) \]

est :

A) strictement négative

B) paire

C) ni paire ni impaire

D) strictement positive

E) impaire

Question 5

Énoncé

Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation

\[ e^x+ix=x+ie^x \]

A) admet quatre solutions

B) admet une seule solution

C) admet trois solutions

D) n’admet aucune solution

E) admet une infinité de solutions

Question 6

Énoncé

Une urne contient trois boules vertes, quatre boules bleues et cinq boules blanches indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. La probabilité d’avoir deux boules de même couleur est :

A) \(p=1\)

B) \(p=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{2}\mathrm{C}_{4}^{2}\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

C) \(p=\dfrac{\mathrm{C}_{3}^{2}+\mathrm{C}_{4}^{2}+\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

D) \(p=\dfrac{\mathrm{A}_{3}^{2}+\mathrm{A}_{4}^{2}+\mathrm{A}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

E) \(p=\dfrac{\mathrm{A}_{3}^{2}\mathrm{A}_{4}^{2}\mathrm{A}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}\)

Question 7

Énoncé

Le nombre complexe

\[ \frac{2e^{2019i\frac{\pi}{3}}+2e^{2016i\frac{\pi}{3}}}{e^{2020i\pi}+e^{2016i\pi}} \]

est :

A) égal à \(1\)

B) nul

C) strictement négatif

D) imaginaire pur et non nul

E) égal à \(2\)

Question 8

Énoncé

La solution générale de l’équation différentielle \(y''=0\) est l’ensemble des applications définies sur \(\mathbb{R}\) par :

A) \(y(x)=ax+b\)

B) \(y(x)=(ax+b)e^{-\pi x}\)

C) \(y(x)=e^{-\pi x}(a\cos(\pi x)+b\sin(\pi x))\)

D) \(y(x)=a\cos(\sqrt{\pi}\,x+b)\)

E) \(y(x)=a\cos(\pi x+b)\)

où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.

Question 9

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, l’ensemble des points \(M\) vérifiant

\[ \overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)=0, \]

où \(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points distincts deux à deux fixés dans l’espace, est :

A) l’ensemble \(\{A,B,C\}\)

B) un cercle de centre \(A\)

C) la sphère de diamètre \(BC\)

D) une sphère de centre \(A\)

E) un plan

Question 10

Énoncé

La limite de la suite de terme général

\[ v_n=\frac{(-\pi)^n-(-e)^n}{(-2)^n-(-3)^n} \]

est égale à :

A) \(\dfrac{\pi}{3}\)

B) \(+\infty\)

C) \(\pi-e\)

D) \(-\infty\)

E) \(\dfrac{e}{2}\)

Question 11

Énoncé

Au voisinage de \(+\infty\), la courbe de la fonction numérique de la variable réelle définie par

\[ f(x)=\frac{e^x}{\ln x} \]

admet :

A) une asymptote horizontale

B) une branche parabolique de direction l’axe des abscisses

C) une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées

D) une asymptote verticale

E) un point d’inflexion

Question 12

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2-5x+6}\,dx \]

est :

A) \(-1\)

B) \(\ln3-\ln2\)

C) \(0\)

D) \(1\)

E) \(2\)

Question 13

Énoncé

La limite \(l\) en \(1\) de la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par

\[ F(x)=\int_{1}^{x}\frac{e^{-t^2}}{x-1}\,dt \]

est :

A) \(l=e^{-1}\)

B) \(l=e^{-2}\)

C) \(l=0\)

D) \(l\) n’existe pas

E) \(l=+\infty\)

Question 14

Énoncé

La limite de la suite définie par

\[ u_0=1 \quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb{N})\quad u_{n+1}=\frac{u_n^3}{2} \]

est :

A) n’existe pas

B) \(-\sqrt2\)

C) \(+\infty\)

D) \(\sqrt2\)

E) \(0\)

Question 15

Énoncé

Dans \(\mathbb{R}\), l’équation

\[ \ln^3(x)+\ln(x)-1=0 \]

A) admet deux solutions dans \(]1,e[\)

B) admet trois solutions dans \(]1,e[\)

C) admet trois solutions dans \(]0,+\infty[\)

D) admet une seule solution dans \(]1,e[\)

E) n’admet aucune solution dans \(]1,+\infty[\)

Question 16

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), le produit vectoriel

\[ \vec{i}\wedge(\vec{j}\wedge\vec{k}) \]

est égal à :

A) \(\vec{i}\)

B) \(\vec{j}\)

C) \(\vec{0}\)

D) \(\vec{k}\)

E) \(-\vec{k}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, les questions exigent surtout une bonne reconnaissance des méthodes rapides : domaine de définition, dérivées successives, intégration, parité, probabilités, complexes, géométrie de l’espace, limites de suites et produit vectoriel.

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