Correction Concours Médecine Fès 2019 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès — épreuve de mathématiques.
Correction détaillée des questions 1 à 16.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Fès 2019.
Les questions sont traitées avec une rédaction claire : rappel de l’énoncé, rappel utile, correction détaillée, idée utile et réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Domaine de définition
Le domaine de définition de la fonction numérique \(f\) de la variable réelle \(x\) définie par
\[ f(x)=\tan\left(\sqrt{-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}+\frac{\pi}{2}\right) \]est égal à :
Pour définir une fonction contenant une racine carrée, l’expression sous la racine doit être positive ou nulle. Ensuite, il faut aussi contrôler que la tangente est définie.
On doit d’abord imposer :
\[ -\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\ge0. \]Or un carré est toujours positif ou nul, donc :
\[ \left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\ge0. \]Ainsi :
\[ -\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2\le0. \]Pour que cette quantité soit positive ou nulle, il faut nécessairement :
\[ -\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2=0. \]Donc :
\[ x=\frac{\pi}{2}. \]Pour cette seule valeur possible, on obtient :
\[ \sqrt{-\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2}+\frac{\pi}{2} = 0+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}. \]Mais \(\tan\left(\frac{\pi}{2}\right)\) n’est pas définie. Il n’existe donc aucun réel \(x\) appartenant au domaine de définition.
Question 2 — Dérivée troisième
La fonction dérivée troisième de la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[ f(x)=x\left(e^{-x}+\frac12x-1\right) \]est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Pour calculer une dérivée d’ordre \(3\), on dérive successivement et on simplifie à chaque étape.
On développe d’abord :
\[ f(x)=xe^{-x}+\frac12x^2-x. \]Alors :
\[ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}+x-1 = e^{-x}(1-x)+x-1. \]On dérive encore :
\[ f''(x)=e^{-x}(x-2)+1. \]Enfin :
\[ f'''(x)=-e^{-x}(x-2)+e^{-x}. \]Donc :
\[ f'''(x)=e^{-x}(3-x). \]Question 3 — Calcul d’intégrale
La valeur de l’intégrale
\[ I=\int_{1}^{e^2}(\ln t)^2\,dt \]est :
Pour intégrer \((\ln t)^2\), on utilise deux intégrations par parties ou la primitive connue.
Une primitive de \((\ln t)^2\) est :
\[ t\left((\ln t)^2-2\ln t+2\right). \]Donc :
\[ I=\left[t\left((\ln t)^2-2\ln t+2\right)\right]_{1}^{e^2}. \]Pour \(t=e^2\), on a \(\ln(e^2)=2\). Ainsi :
\[ e^2(4-4+2)=2e^2. \]Pour \(t=1\), on a \(\ln 1=0\). Ainsi :
\[ 1(0-0+2)=2. \]Donc :
\[ I=2e^2-2=2(e^2-1). \]Question 4 — Parité d’une fonction logarithmique
La fonction numérique définie sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\) par
\[ g(x)=\ln\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right) \]est :
Pour étudier la parité, on calcule \(g(-x)\) et on le compare à \(g(x)\).
On calcule :
\[ g(-x)=\ln\left(\frac{1+\sin(-x)}{\cos(-x)}\right). \]Comme \(\sin(-x)=-\sin x\) et \(\cos(-x)=\cos x\), on obtient :
\[ g(-x)=\ln\left(\frac{1-\sin x}{\cos x}\right). \]On additionne \(g(x)\) et \(g(-x)\) :
\[ g(x)+g(-x) = \ln\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\cdot\frac{1-\sin x}{\cos x}\right). \]Donc :
\[ g(x)+g(-x) = \ln\left(\frac{1-\sin^2x}{\cos^2x}\right). \]Or :
\[ 1-\sin^2x=\cos^2x. \]Donc :
\[ g(x)+g(-x)=\ln(1)=0. \]Ainsi :
\[ g(-x)=-g(x). \]La fonction est impaire.
Question 5 — Équation avec nombres complexes
Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation
\[ e^x+ix=x+ie^x \]:
Deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.
On compare les parties réelles et imaginaires.
Partie réelle :
\[ e^x=x. \]Partie imaginaire :
\[ x=e^x. \]Les deux conditions reviennent donc à :
\[ e^x=x. \]Or, pour tout réel \(x\), on a :
\[ e^x>x \]ou, plus simplement, l’équation \(e^x=x\) n’a pas de solution réelle.
Donc l’équation donnée n’admet aucune solution réelle.
Question 6 — Probabilité — boules de même couleur
Une urne contient trois boules vertes, quatre boules bleues et cinq boules blanches indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urne. La probabilité d’avoir deux boules de même couleur est :
Un tirage simultané de deux boules se compte avec des combinaisons.
Le nombre total de boules est :
\[ 3+4+5=12. \]Le nombre total de tirages possibles de deux boules est :
\[ \mathrm{C}_{12}^{2}. \]Pour avoir deux boules de même couleur, on peut tirer :
- deux boules vertes : \(\mathrm{C}_{3}^{2}\) possibilités ;
- deux boules bleues : \(\mathrm{C}_{4}^{2}\) possibilités ;
- deux boules blanches : \(\mathrm{C}_{5}^{2}\) possibilités.
Donc :
\[ p=\frac{\mathrm{C}_{3}^{2}+\mathrm{C}_{4}^{2}+\mathrm{C}_{5}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}. \]Question 7 — Nombre complexe avec exponentielles
Le nombre complexe
\[ \frac{2e^{2019i\frac{\pi}{3}}+2e^{2016i\frac{\pi}{3}}}{e^{2020i\pi}+e^{2016i\pi}} \]est :
On utilise la périodicité de l’exponentielle complexe : \(e^{i(\theta+2k\pi)}=e^{i\theta}\).
On réduit les puissances modulo la période.
Comme \(2019=6\times336+3\), on a :
\[ e^{2019i\frac{\pi}{3}}=e^{i(336\cdot2\pi+\pi)}=e^{i\pi}=-1. \]Comme \(2016=6\times336\), on a :
\[ e^{2016i\frac{\pi}{3}}=e^{i(336\cdot2\pi)}=1. \]Le numérateur vaut donc :
\[ 2(-1)+2(1)=0. \]Pour le dénominateur :
\[ e^{2020i\pi}=1,\qquad e^{2016i\pi}=1. \]Donc le dénominateur vaut \(2\), et le quotient vaut :
\[ 0. \]Question 8 — Équation différentielle simple
La solution générale de l’équation différentielle \(\pi y''=0\) est l’ensemble des applications définies sur \(\mathbb{R}\) par :
Comme \(\pi\ne0\), l’équation \(\pi y''=0\) équivaut à \(y''=0\).
Puisque \(\pi\ne0\), on divise par \(\pi\) :
\[ y''=0. \]Donc \(y'\) est constante :
\[ y'(x)=a. \]En intégrant encore, on obtient :
\[ y(x)=ax+b. \]où \(a\) et \(b\) sont deux réels.
Question 9 — Produit mixte et plan
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct, l’ensemble des points \(M\) vérifiant
\[ \overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)=0, \]où \(A\), \(B\) et \(C\) sont trois points distincts deux à deux fixés dans l’espace, est :
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\) est normal au plan passant par \(A\), \(B\) et \(C\), lorsque ces points ne sont pas alignés.
Le vecteur :
\[ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} \]est orthogonal aux deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
La condition :
\[ \overrightarrow{AM}\cdot\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)=0 \]signifie que \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à ce vecteur normal.
Donc le point \(M\) appartient au plan passant par \(A\) et de directions \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
L’ensemble cherché est donc un plan.
Question 10 — Limite d’une suite exponentielle
La limite de la suite de terme général
\[ v_n=\frac{(-\pi)^n-(-e)^n}{(-2)^n-(-3)^n} \]est égale à :
Dans une expression avec des puissances, on compare les bases de plus grande valeur absolue.
On factorise le signe \((-1)^n\) au numérateur et au dénominateur :
\[ v_n= \frac{(-1)^n(\pi^n-e^n)}{(-1)^n(2^n-3^n)} = \frac{\pi^n-e^n}{2^n-3^n}. \]Comme \(\pi>e\), le numérateur se comporte comme \(\pi^n\).
Comme \(3>2\), le dénominateur se comporte comme \(-3^n\).
Donc :
\[ v_n\sim -\left(\frac{\pi}{3}\right)^n. \]Or \(\frac{\pi}{3}>1\). Ainsi :
\[ v_n\to-\infty. \]Question 11 — Branche infinie
Au voisinage de \(+\infty\), la courbe de la fonction numérique de la variable réelle définie par
\[ f(x)=\frac{e^x}{\ln x} \]admet :
Pour étudier une branche infinie au voisinage de \(+\infty\), on regarde \(f(x)\) puis \(\frac{f(x)}{x}\).
On a :
\[ f(x)=\frac{e^x}{\ln x}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ e^x\to+\infty,\qquad \ln x\to+\infty. \]Par croissance comparée :
\[ \frac{e^x}{\ln x}\to+\infty. \]Ensuite :
\[ \frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x\ln x}. \]Encore par croissance comparée :
\[ \frac{e^x}{x\ln x}\to+\infty. \]Donc la courbe admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
Question 12 — Intégrale rationnelle
La valeur de l’intégrale
\[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2-5x+6}\,dx \]est :
On factorise le dénominateur puis on décompose en éléments simples.
On factorise :
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]On cherche \(a\) et \(b\) tels que :
\[ \frac1{(x-2)(x-3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-3}. \]On obtient :
\[ a=-1,\qquad b=1. \]Donc :
\[ \frac1{x^2-5x+6}=-\frac1{x-2}+\frac1{x-3}. \]Une primitive est :
\[ -\ln|x-2|+\ln|x-3| = \ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right|. \]Alors :
\[ \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2-5x+6}\,dx = \left[\ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right|\right]_{-1}^{1}. \]Pour \(x=1\) :
\[ \ln\left|\frac{-2}{-1}\right|=\ln2. \]Pour \(x=-1\) :
\[ \ln\left|\frac{-4}{-3}\right|=\ln\frac43. \]Donc :
\[ \ln2-\ln\frac43 = \ln\frac32 = \ln3-\ln2. \]Question 13 — Limite d’une moyenne intégrale
La limite \(l\) en \(1\) de la fonction numérique de la variable réelle \(x\) définie par
\[ F(x)=\int_{1}^{x}\frac{e^{-t^2}}{x-1}\,dt \]est :
Une expression de la forme \(\frac{1}{x-a}\int_a^x \varphi(t)\,dt\) tend vers \(\varphi(a)\) lorsque \(\varphi\) est continue.
Pour \(x\ne1\), on écrit :
\[ F(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}e^{-t^2}\,dt. \]La fonction :
\[ t\mapsto e^{-t^2} \]est continue en \(1\).
Donc la moyenne intégrale :
\[ \frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}e^{-t^2}\,dt \]tend vers la valeur de la fonction en \(1\), c’est-à-dire :
\[ e^{-1^2}=e^{-1}. \]Question 14 — Limite d’une suite récurrente
La limite de la suite définie par
\[ u_0=1 \quad\text{et}\quad (\forall n\in\mathbb{N})\quad u_{n+1}=\frac{u_n^3}{2} \]est :
On calcule les premiers termes et on utilise la relation de récurrence pour identifier le comportement.
On a :
\[ u_0=1. \]Donc :
\[ u_1=\frac{1^3}{2}=\frac12. \]Puis :
\[ u_2=\frac{\left(\frac12\right)^3}{2}=\frac1{16}. \]Les termes deviennent positifs et très petits.
Si \(0\le u_n\le1\), alors :
\[ 0\le u_{n+1}=\frac{u_n^3}{2}\le \frac{u_n}{2}. \]La suite est donc entraînée vers \(0\).
Sa limite est :
\[ 0. \]Question 15 — Équation avec logarithme
Dans \(\mathbb{R}\), l’équation
\[ \ln^3(x)+\ln(x)-1=0 \]:
On pose \(t=\ln x\), avec \(x>0\), pour transformer l’équation en équation algébrique.
On pose :
\[ t=\ln x. \]L’équation devient :
\[ t^3+t-1=0. \]Considérons :
\[ h(t)=t^3+t-1. \]On a :
\[ h'(t)=3t^2+1>0. \]Donc \(h\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
De plus :
\[ h(0)=-1,\qquad h(1)=1. \]Par conséquent, l’équation \(h(t)=0\) admet une seule solution dans \(]0,1[\).
Comme \(t=\ln x\), la condition \(t\in]0,1[\) donne :
\[ x\in]1,e[. \]Donc l’équation admet une seule solution dans \(]1,e[\).
Question 16 — Produit vectoriel
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), le produit vectoriel
\[ \vec{i}\wedge(\vec{j}\wedge\vec{k}) \]est égal à :
Dans un repère orthonormé direct, on a \(\vec{i}\wedge\vec{j}=\vec{k}\), \(\vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}\) et \(\vec{k}\wedge\vec{i}=\vec{j}\).
Dans un repère orthonormé direct, on a :
\[ \vec{j}\wedge\vec{k}=\vec{i}. \]Donc :
\[ \vec{i}\wedge(\vec{j}\wedge\vec{k}) = \vec{i}\wedge\vec{i}. \]Or le produit vectoriel d’un vecteur par lui-même est nul :
\[ \vec{i}\wedge\vec{i}=\vec{0}. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, les questions exigent surtout une bonne reconnaissance des démarches rapides : domaine de définition, dérivées successives, intégration, parité, probabilités, exponentielle complexe, géométrie de l’espace, limites de suites et produit vectoriel.
Pour gagner du temps, il faut identifier rapidement le type de question, écrire la condition principale, puis comparer le résultat avec les propositions.
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