Concours Médecine Marrakech 2014 — Énoncé de mathématiques
Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.
Session de juillet 2014 — Durée : 30 minutes — Questions Q21 à Q30.
Compétences et points clés
Marrakech Médecine 2014 combine équation logarithmique, périodicité des puissances de i, raccordement et dé pipé. Les conditions initiales de chaque question doivent être exploitées jusqu’au bout, surtout lorsque plusieurs résultats algébriques semblent possibles.
Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; limites usuelles et définition du nombre dérivé; tableau de probabilités et moyenne pondérée.
Rappels de cours utiles
Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Loi d’une variable aléatoire. Une loi de probabilité associe à chaque valeur possible une probabilité positive ou nulle, et leur somme vaut un. L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Pour compter des succès, il faut d’abord identifier les valeurs possibles et le modèle des essais.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Résoudre l’équation logarithmique sur son domaine avant de retenir des solutions. Pour la somme des puissances de i, regrouper les cycles complets et les termes restants. Pour la fonction par morceaux, relier la limite à la valeur imposée. Pour le dé pipé, normaliser les probabilités avant de calculer un événement.
Cette page reproduit la partie mathématique du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech, année universitaire 2013-2014.
Pour chaque question, le candidat devait choisir une seule réponse correcte parmi cinq propositions.
Consigne du sujet
Pour chaque question, choisir une seule réponse correcte.
Énoncé — Mathématiques
Question 21 — Équation logarithmique
Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation :
\[ \ln(x+3)+\ln(x+2)=\ln(x+11). \]Question 22 — Somme de puissances de \(i\)
Sachant que \(i^2=-1\), on considère :
\[ S_{2014} = 1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2014}. \]La valeur de \(S_{2014}\) est :
Question 23 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :
\[ (1-z)(i+\overline z)\in\mathbb R. \]Cet ensemble est :
Question 24 — Suite homographique
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_1=1 \]et :
\[ u_{n+1} = \frac{5u_n}{3u_n+5}. \]On définit :
\[ v_n=\frac5{u_n}. \]La raison de la suite arithmétique \((v_n)_{n\ge1}\) est :
Question 25 — Domaine de définition
On considère la fonction :
\[ f(x) = \sqrt{ \frac{x^3}{x^2-1} }. \]Son domaine de définition est :
Question 26 — Continuité d’une fonction définie par morceaux
On considère la fonction \(g\) définie par :
\[ g(x) = x+\frac{\sin(\pi x)}{x-1} \qquad \text{si }x\ne1, \]et :
\[ g(1)=a. \]La valeur de \(a\) pour laquelle \(g\) est continue au point \(x_0=1\) est :
Question 27 — Tangente à une fonction composée
Soit \(f\) une fonction numérique définie et dérivable sur :
\[ I=[-1,1]. \]On considère :
\[ g(x) = f\left( \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \right). \]L’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x_0=1\) est :
Question 28 — Aire comprise entre deux courbes
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’unité de mesure étant le centimètre, on considère les courbes représentatives des fonctions :
\[ f(x)=x^3 \]et :
\[ g(x)=x^2, \qquad x\gt0. \]L’aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=2\) est :
Question 29 — Centre de symétrie d’une courbe
On considère la fonction :
\[ f(x) = \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{x}. \]Le centre de symétrie de sa courbe représentative est le point \(\Omega(a,b)\) suivant :
Question 30 — Dé pipé et suite géométrique de probabilités
On lance un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\).
Pour tout \(k\in\{1,2,3,4,5,6\}\), on note \(p_k\) la probabilité d’obtenir le numéro \(k\).
On suppose que :
\[ p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6 \]sont les six premiers termes d’une suite géométrique de raison :
\[ q=\frac12. \]La valeur du premier terme \(p_1\) est :
Conseil aux élèves
Il faut contrôler les domaines de définition, les propriétés des logarithmes, les dérivées des fonctions composées et les formules de sommes géométriques avant de choisir une réponse.
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