Correction Concours Médecine Marrakech 2014 — Mathématiques
Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.
Session de juillet 2014 — Correction détaillée des questions Q21 à Q30.
Cette page présente la correction pédagogique complète de la partie mathématique du concours Médecine Marrakech 2014.
Chaque question reprend l’énoncé et toutes les propositions, puis expose la résolution étape par étape.
Correction détaillée
Question 21 — Équation logarithmique
Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation :
\[ \ln(x+3)+\ln(x+2)=\ln(x+11). \]Les logarithmes imposent :
\[ x+3\gt0,\qquad x+2\gt0,\qquad x+11\gt0. \]La condition la plus restrictive est donc :
\[ x\gt-2. \] 2) RésolutionSur ce domaine :
\[ \ln(x+3)+\ln(x+2)=\ln\bigl((x+3)(x+2)\bigr). \]L’équation devient :
\[ (x+3)(x+2)=x+11. \]En développant :
\[ x^2+5x+6=x+11, \]d’où :
\[ x^2+4x-5=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=4^2-4(1)(-5)=36. \]Les racines sont :
\[ x=-5\qquad\text{et}\qquad x=1. \] 3) Vérification du domaineLa valeur \(-5\) est interdite, car \(-5\notin]-2,+\infty[\). La seule solution est :
\[ \boxed{x=1}. \]Question 22 — Somme de puissances de \(i\)
Sachant que \(i^2=-1\), on considère :
\[ S_{2014} = 1+i+i^2+i^3+\cdots+i^{2014}. \]La valeur de \(S_{2014}\) est :
Les puissances de \(i\) sont périodiques de période \(4\) :
\[ 1,\quad i,\quad -1,\quad -i. \]La somme d’un bloc de quatre termes est nulle :
\[ 1+i-1-i=0. \]La somme contient \(2015\) termes, de \(i^0\) à \(i^{2014}\). Or :
\[ 2015=4\times503+3. \]Après les \(503\) blocs complets, il reste :
\[ 1+i+i^2=1+i-1=i. \]Donc :
\[ \boxed{S_{2014}=i}. \]Question 23 — Lieu géométrique dans le plan complexe
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on cherche l’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que :
\[ (1-z)(i+\overline z)\in\mathbb R. \]Cet ensemble est :
Posons :
\[ z=x+iy,\qquad \overline z=x-iy. \]Alors :
\[ 1-z=(1-x)-iy \]et :
\[ i+\overline z=x+i(1-y). \]La partie imaginaire du produit :
\[ (1-z)(i+\overline z) \]est :
\[ (1-x)(1-y)-xy=1-x-y. \]Le produit est réel si et seulement si :
\[ 1-x-y=0. \]Donc le lieu géométrique est la droite :
\[ \boxed{x+y=1}. \]Question 24 — Suite homographique
On considère la suite \((u_n)_{n\ge1}\) définie par :
\[ u_1=1 \]et :
\[ u_{n+1} = \frac{5u_n}{3u_n+5}. \]On définit :
\[ v_n=\frac5{u_n}. \]La raison de la suite arithmétique \((v_n)_{n\ge1}\) est :
On a :
\[ v_{n+1}=\frac5{u_{n+1}} =\frac5{\frac{5u_n}{3u_n+5}} =\frac{3u_n+5}{u_n}. \]Ainsi :
\[ v_{n+1}=3+\frac5{u_n}=3+v_n. \]Donc :
\[ v_{n+1}-v_n=3. \]La suite \((v_n)\) est arithmétique de raison :
\[ \boxed{r=3}. \]Question 25 — Domaine de définition
On considère la fonction :
\[ f(x) = \sqrt{ \frac{x^3}{x^2-1} }. \]Son domaine de définition est :
Il faut résoudre :
\[ \frac{x^3}{x^2-1}\ge0 \]avec :
\[ x\ne-1,\qquad x\ne1. \]Les valeurs critiques sont \(-1\), \(0\) et \(1\).
- Sur \(]-\infty,-1[\), le quotient est négatif.
- Sur \(]-1,0[\), il est positif.
- En \(0\), il vaut \(0\), donc \(0\) est admis.
- Sur \(]0,1[\), il est négatif.
- Sur \(]1,+\infty[\), il est positif.
Le domaine est donc :
\[ \boxed{D_f=]-1,0]\cup]1,+\infty[}. \]Question 26 — Continuité d’une fonction définie par morceaux
On considère la fonction \(g\) définie par :
\[ g(x) = x+\frac{\sin(\pi x)}{x-1} \qquad \text{si }x\ne1, \]et :
\[ g(1)=a. \]La valeur de \(a\) pour laquelle \(g\) est continue au point \(x_0=1\) est :
La continuité en \(1\) exige :
\[ a=\lim_{x\to1}\left(x+\frac{\sin(\pi x)}{x-1}\right). \]Posons \(h=x-1\). Alors \(h\to0\) et :
\[ \sin(\pi x)=\sin(\pi+\pi h)=-\sin(\pi h). \]Donc :
\[ \frac{\sin(\pi x)}{x-1} = -\pi\,\frac{\sin(\pi h)}{\pi h} \longrightarrow-\pi. \]Comme \(x\to1\), on obtient :
\[ a=1-\pi. \]Question 27 — Tangente à une fonction composée
Soit \(f\) une fonction numérique définie et dérivable sur :
\[ I=[-1,1]. \]On considère :
\[ g(x) = f\left( \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \right). \]L’équation de la tangente à la courbe de \(g\) au point d’abscisse \(x_0=1\) est :
On a :
\[ g(1)=f\left(\sin\frac{\pi}{2}\right)=f(1). \]Par dérivation d’une fonction composée :
\[ g'(x)= f'\left(\sin\frac{\pi x}{2}\right) \frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi x}{2}. \]En \(x=1\) :
\[ g'(1)= f'(1)\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}=0. \]La tangente au point d’abscisse \(1\) est donc horizontale :
\[ \boxed{y=f(1)}. \]Question 28 — Aire comprise entre deux courbes
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’unité de mesure étant le centimètre, on considère les courbes représentatives des fonctions :
\[ f(x)=x^3 \]et :
\[ g(x)=x^2, \qquad x\gt0. \]L’aire de la partie du plan comprise entre les deux courbes et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=2\) est :
Les courbes se coupent lorsque :
\[ x^3=x^2 \iff x^2(x-1)=0, \]soit pour \(x=0\) et \(x=1\).
Sur \([0,1]\), \(x^2\ge x^3\), tandis que sur \([1,2]\), \(x^3\ge x^2\).
L’aire vaut donc :
\[ \mathcal A= \int_0^1(x^2-x^3)\,dx + \int_1^2(x^3-x^2)\,dx. \]Première partie :
\[ \int_0^1(x^2-x^3)\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac1{12}. \]Deuxième partie :
\[ \int_1^2(x^3-x^2)\,dx = \left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{17}{12}. \]Donc :
\[ \mathcal A = \frac1{12}+\frac{17}{12} = \boxed{\frac32\ \text{cm}^2}. \]Question 29 — Centre de symétrie d’une courbe
On considère la fonction :
\[ f(x) = \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{x}. \]Le centre de symétrie de sa courbe représentative est le point \(\Omega(a,b)\) suivant :
On écrit :
\[ f(x)=1+\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}. \]Alors :
\[ f(-x) = 1-\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}. \]Donc :
\[ f(x)+f(-x)=2. \]Les points de la courbe d’abscisses opposées ont donc des ordonnées dont la moyenne vaut \(1\). La courbe admet pour centre de symétrie :
\[ \boxed{\Omega(0,1)}. \]Question 30 — Dé pipé et suite géométrique de probabilités
On lance un dé cubique pipé dont les faces sont numérotées de \(1\) à \(6\).
Pour tout \(k\in\{1,2,3,4,5,6\}\), on note \(p_k\) la probabilité d’obtenir le numéro \(k\).
On suppose que :
\[ p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6 \]sont les six premiers termes d’une suite géométrique de raison :
\[ q=\frac12. \]La valeur du premier terme \(p_1\) est :
Les probabilités forment une suite géométrique de premier terme \(p_1\) et de raison \(\frac12\) :
\[ p_k=p_1\left(\frac12\right)^{k-1}. \]La somme des probabilités vaut \(1\) :
\[ p_1\left( 1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}+\frac1{2^5} \right)=1. \]La somme géométrique vaut :
\[ \frac{1-\left(\frac12\right)^6}{1-\frac12} = \frac{63}{32}. \]Donc :
\[ p_1\frac{63}{32}=1. \]Ainsi :
\[ \boxed{p_1=\frac{32}{63}}. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q21 | proposition C — l’unique solution est \(x=1\). |
| Q22 | proposition A — \(S_{2014}=i\). |
| Q23 | proposition B — le lieu est la droite \(x+y=1\). |
| Q24 | proposition D — la raison est \(3\). |
| Q25 | proposition C — \(D_f=]-1,0]\cup]1,+\infty[\). |
| Q26 | proposition D — \(a=1-\pi\). |
| Q27 | proposition C — la tangente est \(y=f(1)\). |
| Q28 | proposition C — l’aire vaut \(\frac32\,\text{cm}^2\). |
| Q29 | proposition E — le centre est \(\Omega(0,1)\). |
| Q30 | proposition D — \(p_1=\frac{32}{63}\). |
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