Concours Médecine Marrakech 2015 — Énoncé de mathématiques

Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.

Session de juillet 2015 — Questions Q21 à Q30.

Cette page reproduit la partie mathématique du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech, année universitaire 2015-2016.

Pour chaque question, le candidat devait cocher une seule bonne réponse parmi cinq propositions.

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Consigne du sujet

Dans chaque question, cochez la bonne réponse.

Énoncé — Mathématiques

Question 21 — Limites selon un paramètre

Énoncé

Soit \(m\) une constante réelle et \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :

\[ h(x)=x^m-(\ln x)^2. \]

A. Si \(m\gt0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. \]

B. Si \(m\lt0\), alors : \[ \lim_{x\to0^+}h(x)=0. \]

C. Si \(m\lt0\), alors : \[ \lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty. \]

D. Si \(m\le0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. \]

E. Si \(m\gt0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty. \]

Question 22 — Étude d’une suite

Énoncé

Soit la suite \((U_n)_{n\ge1}\) définie par :

\[ U_n=\frac{(-1)^n}{n^2}, \qquad n\in\mathbb N, \quad n\ne0. \]

La suite \((U_n)_{n\ge1}\) est :

A. Monotone.

B. Convergente.

C. Négative.

D. Décroissante et minorée.

E. Croissante et majorée.

Question 23 — Nombres complexes

Énoncé

A. La partie réelle de : \[ (1-i)^5 \] est \(\sqrt2\).

B. La partie imaginaire de : \[ (1+i)^{20} \] est \(42\).

C. \[ (1+i)^{20} \] est réel.

D. L’équation : \[ z^4-1=0 \] possède une et une seule solution dans \(\mathbb C\).

E. L’équation : \[ z^4-1=0 \] possède trois solutions distinctes dans \(\mathbb R\).

Question 24 — Fonction définie par morceaux

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} e^x,& \text{si }x\lt0,\\[2mm] \cos x,& \text{si }x\ge0. \end{cases} \]

A. L’équation \(f(x)=0\) possède trois solutions dans : \[ ]-\infty,2\pi]. \]

B. \(f\) n’est pas continue en \(0\).

C. \(f\) est dérivable en \(0\).

D. L’équation \(f(x)=0\) possède deux solutions dans : \[ ]-\infty,\pi]. \]

E. L’équation \(f(x)=0\) possède une et une seule solution dans : \[ ]-\infty,\pi]. \]

Question 25 — Calculs d’intégrales

Énoncé

A. \[ \int_2^e\frac{1}{x\ln x}\,dx=-2. \]

B. \[ \int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = -\frac12\ln2. \]

C. \[ \int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \ln2. \]

D. \[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 4+2\sqrt e. \]

E. \[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 4-2\sqrt e. \]

Question 26 — Image d’une fonction et intégrale à bornes variables

Énoncé

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies respectivement sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\frac1{1+x^2} \]

et :

\[ g(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]

A. L’image de \(\mathbb R\) par \(f\) est : \[ ]0,1]. \]

B. L’image de \(\mathbb R\) par \(f\) est : \[ ]0,+\infty]. \]

C. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ g'(x)=f(x)-f(x+1). \]

D. Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ g(x)\lt0. \]

E. Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ 0\le g(x)\lt\frac12. \]

Question 27 — Parité d’une expression

Énoncé

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels strictement positifs.

A. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) est impair et \(p\) est pair.

B. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) est pair et \(p\) est impair.

C. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(np\) est impair.

D. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) et \(p\) sont pairs.

E. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) et \(p\) sont impairs.

Question 28 — Intégrales trigonométriques

Énoncé

A. \[ \int_0^{\pi/8} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 1-\sqrt2. \]

B. \[ \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 2(1-\sqrt2). \]

C. \[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 4(\sqrt2-1). \]

D. \[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 4. \]

E. \[ \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 4(1-\sqrt2). \]

Question 29 — Deux suites liées par le logarithme

Énoncé

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites définies, pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), par :

\[ u_n=\frac{e^n}{n^n} \]

et :

\[ v_n=\ln(u_n). \]

A. Les suites \((v_n)\) et \((u_n)\) ont la même limite.

B. La suite \((v_n)\) est strictement croissante.

C. La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

D. La suite \((u_n)\) est bornée.

E. La suite \((u_n)\) admet une limite et cette limite est non nulle.

Question 30 — Suite récurrente et suite auxiliaire

Énoncé

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :

\[ u_0=1 \]

et, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ u_{n+1} = \frac13u_n+n-2. \]

On définit la suite \((v_n)_{n\in\mathbb N}\) par :

\[ v_n = -2u_n+3n-\frac{21}{2}. \]

A. Pour tout entier naturel \(n\ge5\) : \[ u_n\le n-3. \]

B. Pour tout entier naturel \(n\ge5\) : \[ u_n\ge n-3. \]

C. La limite de la suite \((u_n)\) est finie.

D. La suite \((v_n)\) est géométrique de raison : \[ \frac13 \] et de premier terme : \[ \frac{25}{2}. \]

E. Pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ u_n = \frac{25}{4} \left(\frac13\right)^n + \frac32n + \frac{21}{4}. \]

Conseil aux élèves

Chaque question ne comporte qu’une seule réponse correcte. Il faut vérifier les signes, les domaines de définition et les bornes des intégrales avant de choisir une proposition.

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