Concours Médecine Marrakech 2015 — Énoncé de mathématiques

Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.

Session de juillet 2015 — Questions Q21 à Q30.

Compétences et points clés

Marrakech Médecine 2015 met en jeu des limites selon un paramètre, une suite alternée et une suite transformée. La préparation consiste à séparer les cas du paramètre et à choisir une écriture adaptée à la question, au lieu d’appliquer la même règle partout.

Prérequis à revoir : raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; continuité, dérivée et tableau de variations; sommes finies et puissances.

Rappels de cours utiles

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Existence et unicité. Sur un segment, la continuité et des valeurs encadrant la cible permettent d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir une solution. La stricte monotonie sur l’intervalle concerné permet d’en garantir l’unicité. Existence et unicité sont deux étapes distinctes du raisonnement.

Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour la puissance comparée au logarithme, traiter les différents signes de l’exposant. Pour la suite alternée, distinguer convergence et monotonie. Pour la suite récurrente, utiliser l’expression auxiliaire proposée et vérifier le retour vers la suite initiale. Pour une image de fonction, contrôler les bornes atteintes ou non.

Cette page reproduit la partie mathématique du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech, année universitaire 2015-2016.

Pour chaque question, le candidat devait cocher une seule bonne réponse parmi cinq propositions.

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Consigne du sujet

Dans chaque question, cochez la bonne réponse.

Énoncé — Mathématiques

Question 21 — Limites selon un paramètre

Énoncé

Soit \(m\) une constante réelle et \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R_+^\ast\) par :

\[ h(x)=x^m-(\ln x)^2. \]

A. Si \(m\gt0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. \]

B. Si \(m\lt0\), alors : \[ \lim_{x\to0^+}h(x)=0. \]

C. Si \(m\lt0\), alors : \[ \lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty. \]

D. Si \(m\le0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0. \]

E. Si \(m\gt0\), alors : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty. \]

Question 22 — Étude d’une suite

Énoncé

Soit la suite \((U_n)_{n\ge1}\) définie par :

\[ U_n=\frac{(-1)^n}{n^2}, \qquad n\in\mathbb N, \quad n\ne0. \]

La suite \((U_n)_{n\ge1}\) est :

A. Monotone.

B. Convergente.

C. Négative.

D. Décroissante et minorée.

E. Croissante et majorée.

Question 23 — Nombres complexes

Énoncé

A. La partie réelle de : \[ (1-i)^5 \] est \(\sqrt2\).

B. La partie imaginaire de : \[ (1+i)^{20} \] est \(42\).

C. \[ (1+i)^{20} \] est réel.

D. L’équation : \[ z^4-1=0 \] possède une et une seule solution dans \(\mathbb C\).

E. L’équation : \[ z^4-1=0 \] possède trois solutions distinctes dans \(\mathbb R\).

Question 24 — Fonction définie par morceaux

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)= \begin{cases} e^x,& \text{si }x\lt0,\\[2mm] \cos x,& \text{si }x\ge0. \end{cases} \]

A. L’équation \(f(x)=0\) possède trois solutions dans : \[ ]-\infty,2\pi]. \]

B. \(f\) n’est pas continue en \(0\).

C. \(f\) est dérivable en \(0\).

D. L’équation \(f(x)=0\) possède deux solutions dans : \[ ]-\infty,\pi]. \]

E. L’équation \(f(x)=0\) possède une et une seule solution dans : \[ ]-\infty,\pi]. \]

Question 25 — Calculs d’intégrales

Énoncé

A. \[ \int_2^e\frac{1}{x\ln x}\,dx=-2. \]

B. \[ \int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = -\frac12\ln2. \]

C. \[ \int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \ln2. \]

D. \[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 4+2\sqrt e. \]

E. \[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 4-2\sqrt e. \]

Question 26 — Image d’une fonction et intégrale à bornes variables

Énoncé

Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies respectivement sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=\frac1{1+x^2} \]

et :

\[ g(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]

A. L’image de \(\mathbb R\) par \(f\) est : \[ ]0,1]. \]

B. L’image de \(\mathbb R\) par \(f\) est : \[ ]0,+\infty]. \]

C. La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et, pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ g'(x)=f(x)-f(x+1). \]

D. Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ g(x)\lt0. \]

E. Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ 0\le g(x)\lt\frac12. \]

Question 27 — Parité d’une expression

Énoncé

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels strictement positifs.

A. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) est impair et \(p\) est pair.

B. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) est pair et \(p\) est impair.

C. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(np\) est impair.

D. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) et \(p\) sont pairs.

E. Si : \[ n^2+np+p^2 \] est pair, alors \(n\) et \(p\) sont impairs.

Question 28 — Intégrales trigonométriques

Énoncé

A. \[ \int_0^{\pi/8} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 1-\sqrt2. \]

B. \[ \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 2(1-\sqrt2). \]

C. \[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 4(\sqrt2-1). \]

D. \[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 4. \]

E. \[ \int_{-\pi/8}^{\pi/8} \frac{2\,dx}{\cos^2x} = 4(1-\sqrt2). \]

Question 29 — Deux suites liées par le logarithme

Énoncé

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites définies, pour tout \(n\in\mathbb N^\ast\), par :

\[ u_n=\frac{e^n}{n^n} \]

et :

\[ v_n=\ln(u_n). \]

A. Les suites \((v_n)\) et \((u_n)\) ont la même limite.

B. La suite \((v_n)\) est strictement croissante.

C. La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

D. La suite \((u_n)\) est bornée.

E. La suite \((u_n)\) admet une limite et cette limite est non nulle.

Question 30 — Suite récurrente et suite auxiliaire

Énoncé

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :

\[ u_0=1 \]

et, pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ u_{n+1} = \frac13u_n+n-2. \]

On définit la suite \((v_n)_{n\in\mathbb N}\) par :

\[ v_n = -2u_n+3n-\frac{21}{2}. \]

A. Pour tout entier naturel \(n\ge5\) : \[ u_n\le n-3. \]

B. Pour tout entier naturel \(n\ge5\) : \[ u_n\ge n-3. \]

C. La limite de la suite \((u_n)\) est finie.

D. La suite \((v_n)\) est géométrique de raison : \[ \frac13 \] et de premier terme : \[ \frac{25}{2}. \]

E. Pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ u_n = \frac{25}{4} \left(\frac13\right)^n + \frac32n + \frac{21}{4}. \]

Conseil aux élèves

Chaque question ne comporte qu’une seule réponse correcte. Il faut vérifier les signes, les domaines de définition et les bornes des intégrales avant de choisir une proposition.

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