Correction Concours Médecine Marrakech 2015

Correction Concours Médecine Marrakech 2015 — Mathématiques

Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.

Correction détaillée des questions Q21 à Q30.

Cette page présente la correction pédagogique complète de la partie mathématique du concours Médecine Marrakech 2015.

Chaque question reprend l’énoncé et toutes les propositions, puis vérifie les réponses étape par étape.

Voir l’énoncé Guide Médecine Page Concours Accueil Parcours Maths Maroc

Correction détaillée

Question 21 — Limites selon un paramètre

Rappel complet de la question

Soit \(m\) une constante réelle et :

\[ h(x)=x^m-(\ln x)^2, \qquad x\gt0. \]

A. Si \(m\gt0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0\).

B. Si \(m\lt0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)=0\).

C. Si \(m\lt0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}h(x)=-\infty\).

D. Si \(m\le0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0\).

E. Si \(m\gt0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\).

Correction détaillée Cas \(m\gt0\) lorsque \(x\to+\infty\)

Posons :

\[ t=\ln x. \]

Alors \(x=e^t\) et \(t\to+\infty\). On obtient :

\[ h(x)=e^{mt}-t^2. \]

Comme \(m\gt0\), l’exponentielle \(e^{mt}\) domine le polynôme \(t^2\) :

\[ \frac{t^2}{e^{mt}}\longrightarrow0. \]

Ainsi :

\[ h(x) = e^{mt}\left(1-\frac{t^2}{e^{mt}}\right) \longrightarrow+\infty. \]

Donc A est fausse et E est vraie.

Cas \(m\lt0\) lorsque \(x\to0^+\)

Écrivons \(m=-a\), avec \(a\gt0\), puis posons :

\[ t=-\ln x. \]

Lorsque \(x\to0^+\), on a \(t\to+\infty\), et :

\[ x^m=x^{-a}=e^{at}, \qquad (\ln x)^2=t^2. \]

Donc :

\[ h(x)=e^{at}-t^2\longrightarrow+\infty. \]

Les propositions B et C sont fausses.

Cas \(m\le0\) lorsque \(x\to+\infty\)

Si \(m=0\), alors :

\[ h(x)=1-(\ln x)^2\longrightarrow-\infty. \]

Si \(m\lt0\), alors \(x^m\to0\) tandis que \((\ln x)^2\to+\infty\). Donc encore :

\[ h(x)\longrightarrow-\infty. \]

La proposition D est fausse.

Réponse finale : proposition E.

Question 22 — Étude d’une suite

Rappel complet de la question

Soit :

\[ U_n=\frac{(-1)^n}{n^2}, \qquad n\ge1. \]

A. La suite est monotone.

B. La suite est convergente.

C. La suite est négative.

D. La suite est décroissante et minorée.

E. La suite est croissante et majorée.

Correction détaillée

On a :

\[ |U_n| = \frac1{n^2}. \]

Or :

\[ \frac1{n^2}\longrightarrow0. \]

Donc, par encadrement :

\[ -\frac1{n^2} \le U_n \le \frac1{n^2}, \]

et ainsi :

\[ U_n\longrightarrow0. \]

La suite est donc convergente.

Elle n’est pas monotone, car ses signes alternent :

\[ U_1=-1, \qquad U_2=\frac14, \qquad U_3=-\frac19. \]

Elle n’est donc ni toujours négative, ni croissante, ni décroissante.

Réponse finale : proposition B.

Question 23 — Nombres complexes

Rappel complet de la question

A. La partie réelle de \((1-i)^5\) est \(\sqrt2\).

B. La partie imaginaire de \((1+i)^{20}\) est \(42\).

C. \((1+i)^{20}\) est réel.

D. L’équation \(z^4-1=0\) possède une seule solution dans \(\mathbb C\).

E. L’équation \(z^4-1=0\) possède trois solutions distinctes dans \(\mathbb R\).

Correction détaillée Proposition A

On écrit :

\[ 1-i = \sqrt2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right). \]

Donc :

\[ (1-i)^5 = (\sqrt2)^5 \left( \cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) +i\sin\left(-\frac{5\pi}{4}\right) \right). \]

Comme \((\sqrt2)^5=4\sqrt2\), on obtient :

\[ (1-i)^5=-4+4i. \]

Sa partie réelle vaut \(-4\), et non \(\sqrt2\). A est fausse.

Propositions B et C \[ 1+i = \sqrt2\left( \cos\frac{\pi}{4} +i\sin\frac{\pi}{4} \right). \]

Ainsi :

\[ (1+i)^{20} = (\sqrt2)^{20} \left( \cos5\pi+i\sin5\pi \right). \]

Or :

\[ (\sqrt2)^{20}=2^{10}=1024, \qquad \cos5\pi=-1, \qquad \sin5\pi=0. \]

Donc :

\[ (1+i)^{20}=-1024. \]

Ce nombre est réel et sa partie imaginaire est nulle. B est fausse et C est vraie.

Propositions D et E \[ z^4-1=0 \iff z^4=1. \]

Les quatre racines quatrièmes de l’unité sont :

\[ 1,\quad i,\quad -1,\quad -i. \]

Il y a donc quatre solutions dans \(\mathbb C\), dont seulement deux solutions réelles : \(1\) et \(-1\).

D et E sont fausses.

Réponse finale : proposition C.

Question 24 — Fonction définie par morceaux

Rappel complet de la question

Soit :

\[ f(x)= \begin{cases} e^x,&x\lt0,\\[1mm] \cos x,&x\ge0. \end{cases} \]

A. \(f(x)=0\) possède trois solutions dans \(]-\infty,2\pi]\).

B. \(f\) n’est pas continue en \(0\).

C. \(f\) est dérivable en \(0\).

D. \(f(x)=0\) possède deux solutions dans \(]-\infty,\pi]\).

E. \(f(x)=0\) possède une seule solution dans \(]-\infty,\pi]\).

Correction détaillée Continuité et dérivabilité en \(0\)

À gauche de \(0\) :

\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = \lim_{x\to0^-}e^x = 1. \]

À droite :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x) = \lim_{x\to0^+}\cos x = 1. \]

De plus :

\[ f(0)=\cos0=1. \]

La fonction est donc continue en \(0\). B est fausse.

La dérivée à gauche vaut :

\[ \lim_{x\to0^-}\frac{e^x-1}{x}=1. \]

La dérivée à droite vaut :

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\cos x-1}{x}=0. \]

Ces deux valeurs sont différentes. La fonction n’est donc pas dérivable en \(0\). C est fausse.

Résolution de \(f(x)=0\)

Pour \(x\lt0\), on a \(e^x\gt0\), donc aucune solution.

Pour \(x\ge0\), il faut résoudre :

\[ \cos x=0. \]

Les solutions sont :

\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Dans \(]-\infty,2\pi]\), on trouve seulement :

\[ \frac{\pi}{2}, \qquad \frac{3\pi}{2}. \]

Il y a donc deux solutions, et non trois. A est fausse.

Dans \(]-\infty,\pi]\), la seule solution est :

\[ \frac{\pi}{2}. \]

D est fausse et E est vraie.

Réponse finale : proposition E.

Question 25 — Calculs d’intégrales

Rappel complet de la question

A. \(\displaystyle\int_2^e\frac{dx}{x\ln x}=-2\).

B. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx=-\frac12\ln2\).

C. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx=\ln2\).

D. \(\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx=4+2\sqrt e\).

E. \(\displaystyle\int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx=4-2\sqrt e\).

Correction détaillée Première intégrale

Une primitive de \(\frac1{x\ln x}\) est :

\[ \ln|\ln x|. \]

Donc :

\[ \int_2^e\frac{dx}{x\ln x} = \left[\ln(\ln x)\right]_2^e = -\ln(\ln2). \]

Cette valeur n’est pas \(-2\). A est fausse.

Deuxième intégrale

Comme :

\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, \]

une primitive est :

\[ -\ln|\cos x|. \]

Alors :

\[ \int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = -\ln\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) = \frac12\ln2. \]

B et C sont fausses.

Troisième intégrale

Posons :

\[ t=\sqrt x, \qquad x=t^2, \qquad dx=2t\,dt. \]

Les bornes deviennent \(1\) et \(\sqrt e\). Ainsi :

\[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = \int_1^{\sqrt e} \frac{\ln(t^2)}{t}\,2t\,dt. \]

Donc :

\[ \int_1^e\frac{\ln x}{\sqrt x}\,dx = 4\int_1^{\sqrt e}\ln t\,dt. \]

Or :

\[ \int\ln t\,dt=t\ln t-t. \]

Par conséquent :

\[ 4\left[t\ln t-t\right]_1^{\sqrt e} = 4\left(1-\frac{\sqrt e}{2}\right) = 4-2\sqrt e. \]

D est fausse et E est vraie.

Réponse finale : proposition E.

Question 26 — Image d’une fonction et intégrale à bornes variables

Rappel complet de la question

On considère :

\[ f(x)=\frac1{1+x^2} \]

et :

\[ g(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]

A. \(f(\mathbb R)=]0,1]\).

B. \(f(\mathbb R)=]0,+\infty]\).

C. \(g'(x)=f(x)-f(x+1)\).

D. \(g(x)\lt0\) pour tout \(x\).

E. \(0\le g(x)\lt\frac12\) pour tout \(x\).

Correction détaillée Image de \(f\)

Pour tout réel \(x\) :

\[ 1+x^2\ge1. \]

Donc :

\[ 0\lt f(x)\le1. \]

La valeur \(1\) est atteinte pour \(x=0\), tandis que \(f(x)\to0\) lorsque \(|x|\to+\infty\), sans jamais atteindre \(0\).

Ainsi :

\[ f(\mathbb R)=]0,1]. \]

A est vraie et B est fausse.

Dérivée de \(g\)

Par la formule de dérivation d’une intégrale à bornes variables :

\[ g'(x) = f(x+1)\times1-f(x)\times1. \]

Donc :

\[ g'(x)=f(x+1)-f(x). \]

Le signe proposé dans C est inversé. C est fausse.

Signe et majoration de \(g\)

Comme \(f(t)\gt0\), on a :

\[ g(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt\gt0. \]

D est fausse.

Pour vérifier E, prenons \(x=-\frac12\). Sur l’intervalle \(\left[-\frac12,\frac12\right]\), on a :

\[ t^2\le\frac14. \]

Donc :

\[ f(t)=\frac1{1+t^2}\ge\frac1{1+\frac14}=\frac45. \]

Ainsi :

\[ g\left(-\frac12\right) = \int_{-1/2}^{1/2}f(t)\,dt \ge \frac45\times1 = \frac45 \gt \frac12. \]

E est donc fausse.

Réponse finale : proposition A.

Question 27 — Parité d’une expression

Rappel complet de la question

Soient \(n,p\in\mathbb N^\ast\). Si :

\[ n^2+np+p^2 \]

est pair, laquelle des propositions suivantes est vraie ?

A. \(n\) impair et \(p\) pair.

B. \(n\) pair et \(p\) impair.

C. \(np\) impair.

D. \(n\) et \(p\) pairs.

E. \(n\) et \(p\) impairs.

Correction détaillée

On raisonne modulo \(2\). Pour tout entier \(a\) :

\[ a^2\equiv a\pmod2. \]

Ainsi :

\[ n^2+np+p^2 \equiv n+np+p \pmod2. \]

Étudions les quatre possibilités.

Si \(n\) et \(p\) sont pairs, les trois termes sont pairs : la somme est paire.
Si \(n\) est pair et \(p\) impair, alors \(p^2\) est impair : la somme est impaire.
Si \(n\) est impair et \(p\) pair, alors \(n^2\) est impair : la somme est impaire.
Si \(n\) et \(p\) sont impairs, les trois termes sont impairs et leur somme est impaire.

La somme est donc paire uniquement lorsque \(n\) et \(p\) sont tous les deux pairs.

Réponse finale : proposition D.

Question 28 — Intégrales trigonométriques

Rappel complet de la question

A. \(\displaystyle\int_0^{\pi/8}\frac{2\,dx}{\cos^2x}=1-\sqrt2\).

B. \(\displaystyle\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{2\,dx}{\cos^2x}=2(1-\sqrt2)\).

C. \(\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{2\,dx}{\cos^2x}=4(\sqrt2-1)\).

D. \(\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{2\,dx}{\cos^2x}=4\).

E. \(\displaystyle\int_{-\pi/8}^{\pi/8}\frac{2\,dx}{\cos^2x}=4(1-\sqrt2)\).

Correction détaillée

On utilise :

\[ \frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x \]

et surtout :

\[ (\tan x)'=\frac1{\cos^2x}. \]

Donc une primitive de :

\[ \frac2{\cos^2x} \]

est :

\[ 2\tan x. \]

Pour l’intégrale de la proposition D :

\[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{2\,dx}{\cos^2x} = \left[2\tan x\right]_{-\pi/4}^{\pi/4}. \]

Comme :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \]

et :

\[ \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1, \]

on obtient :

\[ 2(1)-2(-1)=4. \]

La proposition D est vraie.

Pour information :

\[ \tan\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt2-1. \]

Les valeurs proposées dans A, B et E ont donc un signe ou un coefficient incorrect, et C ne correspond pas à la valeur calculée.

Réponse finale : proposition D.

Question 29 — Deux suites liées par le logarithme

Rappel complet de la question

Pour tout \(n\ge1\), on pose :

\[ u_n=\frac{e^n}{n^n}, \qquad v_n=\ln(u_n). \]

A. \((u_n)\) et \((v_n)\) ont la même limite.

B. \((v_n)\) est strictement croissante.

C. \((u_n)\) est strictement croissante.

D. \((u_n)\) est bornée.

E. \((u_n)\) admet une limite non nulle.

Correction détaillée

On calcule :

\[ v_n = \ln\left(\frac{e^n}{n^n}\right) = n-n\ln n = n(1-\ln n). \] Limite de \(v_n\)

Comme \(\ln n\to+\infty\), on a :

\[ 1-\ln n\to-\infty. \]

Donc :

\[ v_n=n(1-\ln n)\longrightarrow-\infty. \]

Par conséquent :

\[ u_n=e^{v_n}\longrightarrow0. \]

Les deux suites n’ont donc pas la même limite. A est fausse et E est fausse.

Sens de variation

Considérons la fonction :

\[ \varphi(x)=x(1-\ln x), \qquad x\ge1. \]

Sa dérivée est :

\[ \varphi'(x)=-\ln x. \]

Pour \(x\gt1\), on a \(\ln x\gt0\), donc :

\[ \varphi'(x)\lt0. \]

La suite \((v_n)\) est donc strictement décroissante. B est fausse.

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, la suite :

\[ u_n=e^{v_n} \]

est elle aussi strictement décroissante. C est fausse.

Bornitude

La suite \((u_n)\) est positive et décroissante. Elle est donc minorée par \(0\) et majorée par son premier terme :

\[ u_1=e. \]

Elle est donc bornée.

Réponse finale : proposition D.

Question 30 — Suite récurrente et suite auxiliaire

Rappel complet de la question

On considère :

\[ u_0=1, \qquad u_{n+1}=\frac13u_n+n-2. \]

On définit :

\[ v_n=-2u_n+3n-\frac{21}{2}. \]

A. Pour tout \(n\ge5\), \(u_n\le n-3\).

B. Pour tout \(n\ge5\), \(u_n\ge n-3\).

C. La limite de \((u_n)\) est finie.

D. \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac13\) et de premier terme \(\frac{25}{2}\).

E. \(\displaystyle u_n=\frac{25}{4}\left(\frac13\right)^n+\frac32n+\frac{21}{4}\).

Correction détaillée Étude de la suite auxiliaire

Calculons \(v_{n+1}\) :

\[ v_{n+1} = -2u_{n+1} + 3(n+1) - \frac{21}{2}. \]

En utilisant la relation de récurrence :

\[ v_{n+1} = -2\left( \frac13u_n+n-2 \right) + 3n+3 - \frac{21}{2}. \]

Après simplification :

\[ v_{n+1} = -\frac23u_n+n-\frac72. \]

Or :

\[ \frac13v_n = -\frac23u_n+n-\frac72. \]

Donc :

\[ v_{n+1}=\frac13v_n. \]

La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac13\).

Son premier terme est :

\[ v_0 = -2u_0-\frac{21}{2} = -2-\frac{21}{2} = -\frac{25}{2}. \]

La proposition D est fausse, car le premier terme proposé a le mauvais signe.

Ainsi :

\[ v_n = -\frac{25}{2} \left(\frac13\right)^n. \] Expression de \(u_n\)

Comme :

\[ -2u_n+3n-\frac{21}{2} = -\frac{25}{2} \left(\frac13\right)^n, \]

on obtient :

\[ u_n = \frac{25}{4} \left(\frac13\right)^n + \frac32n - \frac{21}{4}. \]

Le dernier terme est \(-\frac{21}{4}\), et non \(+\frac{21}{4}\). La proposition E est fausse.

Comparaison avec \(n-3\) \[ u_n-(n-3) = \frac{25}{4} \left(\frac13\right)^n + \frac n2 - \frac94. \]

Pour \(n\ge5\) :

\[ \frac n2-\frac94 \ge \frac52-\frac94 = \frac14. \]

De plus :

\[ \frac{25}{4} \left(\frac13\right)^n \gt0. \]

Donc :

\[ u_n-(n-3)\gt0. \]

Ainsi :

\[ u_n\ge n-3 \qquad \text{pour tout }n\ge5. \]

B est vraie et A est fausse.

Limite

Comme :

\[ \left(\frac13\right)^n\longrightarrow0 \]

et :

\[ \frac32n-\frac{21}{4}\longrightarrow+\infty, \]

on a :

\[ u_n\longrightarrow+\infty. \]

La proposition C est fausse.

Réponse finale : proposition B.

Tableau récapitulatif des réponses

Question	Bonne réponse
Q21	E
Q22	B
Q23	C
Q24	E
Q25	E
Q26	A
Q27	D
Q28	D
Q29	D
Q30	B

Parcours Maths Maroc

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