Concours Médecine Marrakech 2016 — Énoncé Mathématiques

Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.

Session du 27 juillet 2016 — Épreuve de mathématiques — Questions 21 à 30.

Compétences et points clés

Marrakech 2016 met en relation des suites de formes usuelles, un dénombrement et des calculs de limites ou de tangentes. Le sujet aide à contrôler la cohérence entre un résultat numérique et une propriété annoncée, comme la décroissance d’une suite.

Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; dérivées usuelles, règle du produit et règle du quotient; combinaisons, arrangements et permutations.

Rappels de cours utiles

Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.

Dérivée, composition et tangente. Pour dériver une composée, multiplier la dérivée de la fonction extérieure par celle de la fonction intérieure. Une tangente au point d’abscisse a s’appuie sur la valeur de la fonction et son nombre dérivé en a ; la dérivabilité doit être établie avant d’utiliser cette construction.

Choisir le bon dénombrement. Avant de compter, préciser si l’ordre compte et si un objet peut être répété. Un tirage simultané de plusieurs objets distingue des groupes, tandis qu’un tirage successif peut distinguer des listes ordonnées. La formule « cas favorables sur cas possibles » exige que les issues retenues soient équiprobables.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Dans la première suite, conserver la condition de décroissance lors du choix de la raison. Vérifier le rang du premier terme pour la suite géométrique. Pour la tangente de la composée trigonométrique et exponentielle, calculer séparément la valeur et le nombre dérivé au point demandé.

Cette page présente l’énoncé de la partie mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech 2016.

Les questions portent sur les suites, le dénombrement, les probabilités, les limites, les nombres complexes, les fonctions, le calcul d’aire et les tangentes.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Marrakech.
Université : Université Cadi Ayyad.
Faculté : Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.
Date indiquée : 27 juillet 2016.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Questions : 21 à 30.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Il faut choisir la proposition correcte selon les données de chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 21

Énoncé

\((u_n)\) est une suite arithmétique décroissante. Son premier terme est \(u_0=2\) et sa raison est \(r\), avec :

\[ 4(u_1)^2+(u_2)^2=164. \]

La valeur de \(r\) est :

A) \(3\).

B) \(-6\).

C) \(6\).

D) \(-3\).

E) \(4\).

Question 22

Énoncé

\((u_n)\) est une suite géométrique. Son premier terme est \(u_1=5\) et sa raison est \(q\gt0\), avec :

\[ u_9=1280. \]

La valeur de \(q\) est :

A) \(\dfrac13\).

B) \(\dfrac12\).

C) \(3\).

D) \(2\).

E) \(\dfrac14\).

Question 23

Énoncé

Pour tout entier naturel \(n\), on pose :

\[ S_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}. \]

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}S_n. \]

A) \(\dfrac13\).

B) \(\dfrac12\).

C) \(2\).

D) \(3\).

E) \(1\).

Question 24

Énoncé

Combien de nombres composés de trois chiffres peut-on former à partir des chiffres \(6\), \(7\), \(8\) et \(9\) ?

A) \(\mathrm C_4^3\).

B) \(9\).

C) \(4^3\).

D) \(3^4\).

E) \(4\times3\).

Question 25

Énoncé

Un sac contient deux boules blanches et trois boules noires, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément deux boules du sac.

Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur ?

A) \(\dfrac14\).

B) \(\dfrac25\).

C) \(\dfrac35\).

D) \(\dfrac1{10}\).

E) \(\dfrac3{10}\).

Question 26

Énoncé

La limite suivante est égale à :

\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1-\ln x}. \]

A) \(+\infty\).

B) \(-\infty\).

C) \(1\).

D) \(-1\).

E) \(0\).

Question 27

Énoncé

Le nombre complexe suivant est égal à :

\[ \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{16}. \]

A) \(-1\).

B) \(1\).

C) \(\dfrac12\).

D) \(2\).

E) \(-2\).

Question 28

Énoncé

Le domaine de définition de la fonction \(g\) définie par :

\[ g(x)=\frac{x}{\sqrt{4-(\ln x)^2}} \]

est :

A) \(]-\infty,e^2[\).

B) \(]e^2,+\infty[\).

C) \(]e^{-2},e^2[\).

D) \(]0,e^2[\).

E) \(\mathbb R^+\).

Question 29

Énoncé

Dans un plan orthonormé, dont l’unité de mesure est le centimètre, on considère les graphes des fonctions \(f\) et \(g\) définies, pour \(x\gt0\), par :

\[ f(x)=\sqrt{x} \qquad\text{et}\qquad g(x)=x^2. \]

La surface limitée par les deux graphes et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=2\) est :

A) \(\displaystyle \frac{2+5\sqrt2}{-2}\ \text{cm}^2\).

B) \(\displaystyle \frac12\ \text{cm}^2\).

C) \(\displaystyle \frac{2(5-2\sqrt2)}3\ \text{cm}^2\).

D) \(\displaystyle \frac52\ \text{cm}^2\).

E) \(\displaystyle \frac{2(2-5\sqrt2)}3\ \text{cm}^2\).

Question 30

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)=\cos\left(e^x\right), \]

et \(C_f\) sa courbe représentative dans un plan orthonormé. L’équation de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse \(0\) est :

A) \(y=\cos1\).

B) \(y=-\sin1\).

C) \(y=-(\sin1)x+\cos1\).

D) \(y=-(\cos1)x+\sin1\).

E) \(y=1\).

Conseil aux élèves

Cette épreuve exige de passer rapidement d’un chapitre à l’autre. Il faut identifier la formule ou la propriété utile avant d’effectuer les calculs.

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