Correction Concours Médecine Marrakech 2016 — Mathématiques
Université Cadi Ayyad — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Marrakech.
Session du 27 juillet 2016 — Correction détaillée des questions 21 à 30.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Marrakech 2016.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une correction détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 21 — Suite arithmétique
\((u_n)\) est une suite arithmétique décroissante, de premier terme \(u_0=2\) et de raison \(r\), telle que :
\[ 4(u_1)^2+(u_2)^2=164. \]Pour une suite arithmétique, \(u_n=u_0+nr\). Le mot « décroissante » impose \(r\lt0\).
On a :
\[ u_1=2+r \qquad\text{et}\qquad u_2=2+2r. \]La relation donnée devient :
\[ 4(2+r)^2+(2+2r)^2=164. \]En développant :
\[ 4(r^2+4r+4)+4(r+1)^2=164, \] \[ 8r^2+24r+20=164, \] \[ r^2+3r-18=0. \]On factorise :
\[ (r+6)(r-3)=0. \]Ainsi, \(r=-6\) ou \(r=3\). Comme la suite est décroissante, \(r\lt0\), donc :
\[ r=-6. \]Question 22 — Suite géométrique
\((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_1=5\) et de raison \(q\gt0\), telle que \(u_9=1280\).
Si le premier terme est \(u_1\), alors \(u_n=u_1q^{\,n-1}\).
Pour \(n=9\), on obtient :
\[ u_9=u_1q^8. \]Donc :
\[ 1280=5q^8, \qquad q^8=256=2^8. \]Comme \(q\gt0\), on en déduit :
\[ q=2. \]Question 23 — Somme géométrique
Pour tout entier naturel \(n\), on pose :
\[ S_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n}. \]Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n\).
Pour \(q\ne1\), \(1+q+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).
Ici, la raison est \(q=\dfrac12\). Ainsi :
\[ S_n=\frac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12} =2\left(1-\left(\frac12\right)^{n+1}\right). \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^{n+1}=0. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n=2. \]Question 24 — Dénombrement
Combien de nombres composés de trois chiffres peut-on former à partir des chiffres \(6\), \(7\), \(8\) et \(9\) ?
Aucune condition n’interdit la répétition. Pour chacune des trois positions, on dispose donc de quatre choix.
Le chiffre des centaines peut être choisi de \(4\) façons. Il en est de même pour le chiffre des dizaines et celui des unités.
\[ N=4\times4\times4=4^3=64. \]Cette méthode directe évite d’utiliser une formule de dénombrement supplémentaire.
Question 25 — Probabilité d’un tirage simultané
Un sac contient deux boules blanches et trois boules noires. On tire simultanément deux boules. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur ?
Dans un tirage simultané, l’ordre ne compte pas. On utilise les combinaisons \(\mathrm C_n^p\).
Le nombre total de tirages de deux boules parmi cinq est :
\[ \mathrm C_5^2=10. \]Pour obtenir deux boules de la même couleur, on peut tirer :
— les deux boules blanches : \(\mathrm C_2^2=1\) possibilité ;
— deux boules noires parmi trois : \(\mathrm C_3^2=3\) possibilités.
Le nombre de cas favorables vaut donc :
\[ \mathrm C_2^2+\mathrm C_3^2=1+3=4. \]Ainsi :
\[ P=\frac{4}{10}=\frac25. \]Question 26 — Limite logarithmique
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1-\ln x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), \(\ln x\to-\infty\). On peut diviser le numérateur et le dénominateur par \(\ln x\).
Pour \(x\) suffisamment proche de \(0^+\), \(\ln x\ne0\). Alors :
\[ \frac{\ln x}{1-\ln x} = \frac{1}{\frac1{\ln x}-1}. \]Comme \(\ln x\to-\infty\), on a :
\[ \frac1{\ln x}\to0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1-\ln x} = \frac1{0-1} =-1. \]Question 27 — Puissance d’un nombre complexe
Calculer :
\[ \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{16}. \]On simplifie d’abord le quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(1-i\).
Donc :
\[ \left(\frac{1-i}{1+i}\right)^{16} =(-i)^{16}. \]Or \((-i)^4=1\), d’où :
\[ (-i)^{16}=\left((-i)^4\right)^4=1. \]Question 28 — Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition de :
\[ g(x)=\frac{x}{\sqrt{4-(\ln x)^2}}. \]Le logarithme impose \(x\gt0\). Comme la racine carrée est au dénominateur, son contenu doit être strictement positif.
Les conditions sont :
\[ x\gt0 \qquad\text{et}\qquad 4-(\ln x)^2\gt0. \]La deuxième condition équivaut à :
\[ (\ln x)^2\lt4, \] \[ -2\lt\ln x\lt2. \]La fonction exponentielle étant strictement croissante :
\[ e^{-2}\lt x\lt e^2. \]Cette condition entraîne déjà \(x\gt0\). Ainsi :
\[ D_g=]e^{-2},e^2[. \]Question 29 — Aire entre deux courbes
Dans un plan orthonormé, on considère, pour \(x\gt0\) :
\[ f(x)=\sqrt{x} \qquad\text{et}\qquad g(x)=x^2. \]Calculer l’aire limitée par les deux courbes et les droites \(x=0\) et \(x=2\).
L’aire entre deux courbes est l’intégrale de la valeur absolue de leur différence. Il faut donc repérer leurs points d’intersection et déterminer quelle fonction est au-dessus sur chaque intervalle.
Les courbes se coupent lorsque :
\[ \sqrt{x}=x^2. \]Sur \([0,+\infty[\), cela donne \(x=0\) ou \(x=1\).
Sur \([0,1]\), on a \(\sqrt{x}\ge x^2\), tandis que sur \([1,2]\), on a \(x^2\ge\sqrt{x}\). L’aire vaut donc :
\[ \mathcal A = \int_0^1\left(\sqrt{x}-x^2\right)\,dx + \int_1^2\left(x^2-\sqrt{x}\right)\,dx. \]Pour la première intégrale :
\[ \int_0^1\left(\sqrt{x}-x^2\right)\,dx = \left[\frac23x^{3/2}-\frac13x^3\right]_0^1 = \frac13. \]Pour la deuxième :
\[ \int_1^2\left(x^2-\sqrt{x}\right)\,dx = \left[\frac13x^3-\frac23x^{3/2}\right]_1^2 = \frac{9-4\sqrt2}{3}. \]Ainsi :
\[ \mathcal A = \frac13+\frac{9-4\sqrt2}{3} = \frac{10-4\sqrt2}{3} = \frac{2(5-2\sqrt2)}3\ \text{cm}^2. \]Question 30 — Équation d’une tangente
On considère :
\[ f(x)=\cos\left(e^x\right). \]Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(0\).
La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\).
La fonction est une composée. On a :
\[ f'(x)=-e^x\sin\left(e^x\right). \]En \(x=0\) :
\[ f(0)=\cos\left(e^0\right)=\cos1, \] \[ f'(0)=-e^0\sin\left(e^0\right)=-\sin1. \]L’équation de la tangente est donc :
\[ y=f'(0)x+f(0), \] \[ y=-(\sin1)x+\cos1. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, il faut identifier rapidement la nature de chaque question : formule d’une suite, principe multiplicatif, combinaison, limite, domaine de définition, aire ou tangente. La vérification des conditions — signe de la raison, positivité du logarithme et ordre des courbes — permet d’éviter les principales erreurs.
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