Concours Médecine Marrakech UPM 2018 — Énoncé Mathématiques

Faculté Privée de Médecine — Marrakech — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2018-2019 — Questions 21 à 30.

Compétences et points clés

UPM Marrakech 2018 associe comparaison de puissances, équation exponentielle, complexe trigonométrique et probabilités. Les transformations algébriques utiles ne sont fiables que si les restrictions sur les variables sont conservées jusqu’à la conclusion.

Prérequis à revoir : inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; événements, intersections et arbres pondérés.

Rappels de cours utiles

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Dans le quotient de puissances, factoriser par une puissance dominante choisie avec soin. Pour l’équation exponentielle, l’inconnue auxiliaire doit rester strictement positive. Dans les probabilités, distinguer indépendance, réunion et événement contraire avant de remplacer les valeurs numériques.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la première année Médecine — Marrakech UPM 2018.

Les questions portent sur les limites, équations exponentielles, logarithmes, intégrales, nombres complexes, géométrie de l’espace et probabilités.

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Données de l’énoncé

Concours : Première année Médecine.
Ville : Marrakech.
Établissement : Université Privée de Marrakech.
Date indiquée : 29 septembre 2018.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 21 à 30.
Durée indiquée : 30 minutes.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, cinq réponses sont proposées : A, B, C, D et E.
Une seule réponse est retenue pour chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 21

Énoncé

La limite

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{e^n-\pi^n}{e^n+\pi^n} \]

est égale à :

A) \(+\infty\)

B) \(0\)

C) \(-1\)

D) \(-\infty\)

E) \(1\)

Question 22

Énoncé

L’ensemble des solutions de l’équation

\[ e^x(e^x+4)=5 \]

est :

A) \(\varnothing\)

B) \(\{0;-\ln5\}\)

C) \(\{0\}\)

D) \(\mathbb R\)

E) \(\{1;-5\}\)

Question 23

Énoncé

La limite

\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\ln(x+1)} \]

est égale à :

A) \(1\)

B) \(+\infty\)

C) \(0\)

D) \(e\)

E) \(-\infty\)

Question 24

Énoncé

L’ensemble de définition de la fonction

\[ f(x)=\frac1{\sqrt{\ln x}} \]

est :

A) \(]0,+\infty[\)

B) \(]0,1[\cup]1,+\infty[\)

C) \(\mathbb R^*\)

D) \(]1,+\infty[\)

E) \(\mathbb R\)

Question 25

Énoncé

La valeur de l’intégrale

\[ \int_1^2\frac1{x^2+8x+16}\,dx \]

vaut :

A) \(-\dfrac{11}{30}\)

B) \(\dfrac15\)

C) \(-\dfrac16\)

D) \(1\)

E) \(\dfrac1{30}\)

Question 26

Énoncé

La forme trigonométrique du complexe

\[ z=\sin\alpha+i\cos\alpha \]

est :

A) \([1;\alpha]\)

B) \([1;\alpha+\pi]\)

C) \(\left[1;\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right]\)

D) \([1;-\alpha]\)

E) \([1;-\alpha-\pi]\)

Question 27

Énoncé

L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que

\[ |z-i|=|-z+i+2| \]

est :

A) un cercle

B) un demi-cercle

C) une droite

D) un disque

E) un segment

Question 28

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :

\[ M(6;6;-1),\quad N(-1;1;0),\quad P(0;1;2). \]

La nature du triangle \(MNP\) est :

A) rectangle

B) équilatéral

C) isocèle

D) rectangle isocèle

E) quelconque

Question 29

Énoncé

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère :

le point \(\Omega(1;2;-1)\),
la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(3\),
le plan \((P)\) d’équation : \(x-y+z-1=0\).

L’intersection \((S)\cap(P)\) est :

A) un cercle

B) une droite

C) un disque

D) un point unique

E) \(\varnothing\)

Question 30

Énoncé

Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants tels que :

\[ P(A\cup B)=\frac45 \quad\text{et}\quad P(\overline A)=\frac34. \]

La probabilité de \(B\) est égale à :

A) \(\dfrac25\)

B) \(\dfrac23\)

C) \(\dfrac35\)

D) \(\dfrac12\)

E) \(\dfrac{11}{15}\)

Conseil aux élèves

Dans cette partie, les calculs sont courts mais exigent une lecture précise des formes : quotient dominant, équation en \(e^x\), domaine logarithmique, distance dans l’espace et indépendance en probabilités.

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