Correction Concours Médecine Marrakech UPM 2018 — Mathématiques
Université Privée de Marrakech — première année Médecine.
Correction détaillée des questions 21 à 30.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Marrakech UPM 2018.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction détaillée et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 21 — Limite de suites exponentielles
La limite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{e^n-\pi^n}{e^n+\pi^n} \]est égale à :
Dans un quotient de puissances, on compare les bases dominantes.
Comme :
\[ \pi>e, \]la puissance dominante dans le numérateur et dans le dénominateur est \(\pi^n\).
On divise le numérateur et le dénominateur par \(\pi^n\) :
\[ \frac{e^n-\pi^n}{e^n+\pi^n} = \frac{\left(\frac{e}{\pi}\right)^n-1}{\left(\frac{e}{\pi}\right)^n+1}. \]Or :
\[ 0<\frac{e}{\pi}<1, \]donc :
\[ \left(\frac{e}{\pi}\right)^n\to0. \]Ainsi :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{e^n-\pi^n}{e^n+\pi^n} = \frac{0-1}{0+1} = -1. \]Question 22 — Équation exponentielle
L’ensemble des solutions de l’équation
\[ e^x(e^x+4)=5 \]est :
On pose \(X=e^x\), avec \(X>0\), pour obtenir une équation du second degré.
On pose :
\[ X=e^x. \]Alors \(X>0\) et l’équation devient :
\[ X(X+4)=5. \]Donc :
\[ X^2+4X-5=0. \]On factorise :
\[ (X-1)(X+5)=0. \]Les solutions possibles sont :
\[ X=1 \quad\text{ou}\quad X=-5. \]Mais \(X=e^x>0\), donc \(X=-5\) est impossible.
Il reste :
\[ e^x=1. \]Donc :
\[ x=0. \]L’ensemble des solutions est :
\[ \{0\}. \]Question 23 — Limite logarithmique
La limite
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{\ln(x+1)} \]est égale à :
On écrit \(\ln(x+1)=\ln x+\ln\left(1+\frac1x\right)\).
Pour \(x>0\), on écrit :
\[ \ln(x+1)=\ln\left(x\left(1+\frac1x\right)\right). \]Donc :
\[ \ln(x+1)=\ln x+\ln\left(1+\frac1x\right). \]Ainsi :
\[ \frac{\ln x}{\ln(x+1)} = \frac{\ln x}{\ln x+\ln\left(1+\frac1x\right)}. \]On divise par \(\ln x\) :
\[ \frac{\ln x}{\ln(x+1)} = \frac{1}{1+\dfrac{\ln\left(1+\frac1x\right)}{\ln x}}. \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ \ln\left(1+\frac1x\right)\to0 \quad\text{et}\quad \ln x\to+\infty. \]Donc :
\[ \frac{\ln\left(1+\frac1x\right)}{\ln x}\to0. \]Par conséquent :
\[ \frac{\ln x}{\ln(x+1)}\to1. \]Question 24 — Domaine de définition
L’ensemble de définition de la fonction
\[ f(x)=\frac1{\sqrt{\ln x}} \]est :
Il faut que le logarithme soit défini, que la racine carrée soit définie, et que le dénominateur soit non nul.
La quantité \(\ln x\) est définie si :
\[ x>0. \]Ensuite, la racine carrée \(\sqrt{\ln x}\) impose :
\[ \ln x\ge0. \]Mais comme cette racine est au dénominateur, il faut aussi :
\[ \sqrt{\ln x}\ne0. \]Donc :
\[ \ln x>0. \]Or :
\[ \ln x>0\Longleftrightarrow x>1. \]Le domaine de définition est donc :
\[ ]1,+\infty[. \]Question 25 — Intégrale rationnelle
La valeur de l’intégrale
\[ \int_1^2\frac1{x^2+8x+16}\,dx \]vaut :
On reconnaît un carré parfait au dénominateur.
On factorise :
\[ x^2+8x+16=(x+4)^2. \]Donc :
\[ \int_1^2\frac1{x^2+8x+16}\,dx = \int_1^2\frac1{(x+4)^2}\,dx. \]Une primitive de \(\dfrac1{(x+4)^2}\) est :
\[ -\frac1{x+4}. \]Ainsi :
\[ \int_1^2\frac1{(x+4)^2}\,dx = \left[-\frac1{x+4}\right]_1^2. \]Donc :
\[ -\frac16+\frac15 = \frac1{30}. \]Question 26 — Forme trigonométrique
La forme trigonométrique du complexe
\[ z=\sin\alpha+i\cos\alpha \]est :
Dans la forme trigonométrique \(r(\cos\theta+i\sin\theta)\), la partie réelle est \(r\cos\theta\) et la partie imaginaire est \(r\sin\theta\).
On cherche \(\theta\) tel que :
\[ \cos\theta=\sin\alpha \quad\text{et}\quad \sin\theta=\cos\alpha. \]Or :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha \]et :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha. \]Donc :
\[ z=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) +i\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right). \]Le module est \(1\), et un argument est :
\[ \frac{\pi}{2}-\alpha. \]Question 27 — Ensemble de points du plan complexe
L’ensemble des points \(M\) d’affixe \(z\) tels que
\[ |z-i|=|-z+i+2| \]est :
Une égalité de distances à deux points fixes définit la médiatrice du segment joignant ces deux points.
On transforme le second module :
\[ |-z+i+2|=|-(z-i-2)|. \]Donc :
\[ |-z+i+2|=|z-(2+i)|. \]L’équation devient :
\[ |z-i|=|z-(2+i)|. \]Elle signifie que le point \(M(z)\) est à égale distance des points d’affixes :
\[ i \quad\text{et}\quad 2+i. \]L’ensemble cherché est donc la médiatrice du segment joignant ces deux points.
C’est une droite.
Question 28 — Nature d’un triangle dans l’espace
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :
\[ M(6;6;-1),\quad N(-1;1;0),\quad P(0;1;2). \]La nature du triangle \(MNP\) est :
On calcule les carrés des longueurs pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.
On calcule :
\[ MN^2=(-1-6)^2+(1-6)^2+(0+1)^2. \]Donc :
\[ MN^2=49+25+1=75. \]Ensuite :
\[ MP^2=(0-6)^2+(1-6)^2+(2+1)^2. \]Donc :
\[ MP^2=36+25+9=70. \]Enfin :
\[ NP^2=(0+1)^2+(1-1)^2+(2-0)^2. \]Donc :
\[ NP^2=1+0+4=5. \]On remarque que :
\[ MP^2+NP^2=70+5=75=MN^2. \]Donc le triangle \(MNP\) est rectangle en \(P\).
Question 29 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère :
- le point \(\Omega(1;2;-1)\),
- la sphère \((S)\) de centre \(\Omega\) et de rayon \(3\),
- le plan \((P)\) d’équation : \(x-y+z-1=0\).
L’intersection \((S)\cap(P)\) est :
On compare la distance du centre de la sphère au plan avec le rayon.
La distance de \(\Omega(1,2,-1)\) au plan \(x-y+z-1=0\) est :
\[ d(\Omega,P)=\frac{|1-2-1-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}. \]Donc :
\[ d(\Omega,P)=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3. \]Le rayon de la sphère est :
\[ R=3. \]Comme :
\[ d(\Omega,P)=\sqrt3<3=R, \]le plan coupe la sphère suivant un cercle.
Question 30 — Probabilités et indépendance
Soient \(A\) et \(B\) deux événements indépendants tels que :
\[ P(A\cup B)=\frac45 \quad\text{et}\quad P(\overline A)=\frac34. \]La probabilité de \(B\) est égale à :
Pour deux événements indépendants, \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
On a :
\[ P(\overline A)=\frac34. \]Donc :
\[ P(A)=1-\frac34=\frac14. \]Posons :
\[ P(B)=p. \]Comme \(A\) et \(B\) sont indépendants :
\[ P(A\cap B)=P(A)P(B)=\frac14p. \]Or :
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B). \]Donc :
\[ \frac45=\frac14+p-\frac14p. \]Ainsi :
\[ \frac45=\frac14+\frac34p. \]Donc :
\[ \frac34p=\frac45-\frac14=\frac{16}{20}-\frac5{20}=\frac{11}{20}. \]Par conséquent :
\[ p=\frac{11}{20}\cdot\frac43=\frac{11}{15}. \]Conseil aux élèves
Dans cette partie, les réponses se trouvent rapidement si l’on reconnaît la structure : base dominante, changement \(X=e^x\), domaine logarithmique, distance entre points et indépendance en probabilités.
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