Concours Médecine Oujda 2014 — Énoncé de mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda.

Année universitaire 2014-2015 — Durée : 30 minutes — 10 QCM.

Cette page présente la transcription française fidèle de la partie mathématique du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda 2014.

Le sujet comporte dix questions portant sur les suites, les nombres complexes, les fonctions, les intégrales, la géométrie dans l’espace et les probabilités.

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Consigne du sujet

Pour chaque question, choisir la proposition correcte parmi les réponses A, B, C, D et E.

Énoncé — Mathématiques

Question 1 — Suites, somme et limites

Énoncé

Pour \(n\gt1\), on considère :

\[ S=\sum_{k=1}^{n}(2k-1), \] \[ u_n= \frac{5^n+(-3)^n} {2^n+3(-1)^n}, \] \[ v_n= \frac{n+\sin n} {n-\sin n}, \]

et :

\[ w_n= \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} +\cdots+ \frac{n}{n^2+n}. \]

A. \[ S=2n^2-1. \]

B. \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=1. \]

C. \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\frac52. \]

D. \[ \lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty. \]

E. \[ \lim_{n\to+\infty}w_n=1. \]

Question 2 — Nombres complexes et géométrie

Énoncé

On considère les points \(M\), \(N\) et \(P\) d’affixes respectives :

\[ z_M=2(1+i\sqrt3), \] \[ z_N=2(1-i\sqrt3), \]

et :

\[ z_P=-1+i\sqrt3. \]

A. \[ |z_N|=2. \]

B. \[ z_M=\frac1{\overline{z_N}}. \]

C. \[ z_M= \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}. \]

D. Les droites \((MP)\) et \((NP)\) sont perpendiculaires.

E. Les droites \((MP)\) et \((NP)\) sont parallèles.

Question 3 — Fonction paire et périodique

Énoncé

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb R\), paire et périodique de période \(T\).

A. La fonction dérivée \(f'\) est paire et périodique.

B. La fonction dérivée \(f'\) est impaire, mais n’est pas nécessairement périodique.

C. \[ \forall k\in\mathbb Z, \qquad f'(kT)=0. \]

D. \[ \int_T^{2T}f(x)\,dx = \frac12 \int_0^{T/2}f(x)\,dx. \]

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Question 4 — Étude d’une fonction exponentielle

Énoncé

On considère la fonction :

\[ f(x)= \frac{e^{1-x}} {1+e^{-x}}, \]

et \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

A. Le domaine de définition est : \[ D_f= ]-\infty,1[ \cup ]1,+\infty[. \]

B. La fonction \(f\) est croissante sur son domaine de définition.

C. \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=1. \]

D. L’équation : \[ f(x)=e^{-x} \] n’admet aucune solution.

E. La tangente à \(C_f\) au point \(M\) d’abscisse \(x_M=0\) coupe l’axe des abscisses au point : \[ N(2,0). \]

Question 5 — Aire entre deux courbes

Énoncé

Sur l’intervalle \([0,1]\), on considère les fonctions :

\[ f(x)=2x \]

et :

\[ g(x)=x^2. \]

On note \(C_f\) et \(C_g\) leurs courbes représentatives dans un repère orthonormé.

L’aire \(S\), en unité d’aire, de la région comprise entre \(C_f\), \(C_g\) et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=1\) est :

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(\displaystyle\frac23\)

D. \(2\)

E. \(\displaystyle\frac13\)

Question 6 — Modélisation d’une population

Énoncé

La population d’un pays était de \(32\) millions d’habitants en \(2012\). Elle augmente naturellement de \(5\%\) par an et le pays accueille chaque année un demi-million d’immigrants.

On note \(v_n\), exprimé en millions, la population de ce pays pendant l’année \(2012+n\).

On pose :

\[ u_n=v_n+10. \]

A. \[ v_{n+1}=32{,}5+0{,}05v_n. \]

B. La suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(1{,}05\).

C. Le premier entier \(n\) pour lequel la population dépassera \(158\) millions est \(29\).

D. Le premier entier \(n\) pour lequel la population dépassera \(158\) millions est \(20\).

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Question 7 — Propriétés de fonctions

Énoncé

A. La droite d’équation : \[ x=1 \] est un axe de symétrie de la courbe de la fonction : \[ f(x)=x^2+2x-1. \]

B. La courbe représentative d’une fonction et son asymptote oblique ne se coupent jamais.

C. Soit \(g\) une fonction numérique dérivable sur \(\mathbb R\). L’équation : \[ g'(x)=2g(x) \] n’admet aucune solution sur \(\mathbb R\).

D. La fonction : \[ h(x)=|4x(x-5)| \] n’est pas dérivable au point d’abscisse \(x_0=5\).

E. La fonction : \[ f(x)=|x+5|-|3-x|+2x-3 \] n’admet pas de primitive sur \(\mathbb R\).

Question 8 — Géométrie dans un cube

Énoncé

On considère le cube \(ABCDEFGH\), de côté \(a\), représenté ci-dessous.

A. \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{EA}. \]

B. Le vecteur \(\overrightarrow{AG}\) est un vecteur normal au plan \((BDE)\).

C. \[ \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=a^2. \]

D. La droite \((AG)\) n’est pas perpendiculaire à la droite \((DE)\).

E. \[ \overrightarrow{BC} \wedge \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BG}. \]

Question 9 — Probabilités et maladies

Énoncé

Une étude portant sur deux maladies \(M1\) et \(M2\) dans un pays a donné les informations suivantes :

\(18\%\) de la population est atteinte de la maladie \(M1\) ;
parmi les personnes atteintes de \(M1\), \(8\%\) sont également atteintes de \(M2\) ;
parmi les personnes non atteintes de \(M1\), \(7\%\) sont atteintes de \(M2\).

On choisit une personne au hasard et on considère les événements :

\[ C=\{\text{la personne est atteinte de }M1\}, \] \[ D=\{\text{la personne est atteinte de }M2\}. \]

A. \[ P(D)=7{,}18\times10^{-2}. \]

B. \[ P(C\cap D)=0{,}18. \]

C. \[ P(C\cap D)=0{,}144. \]

D. Sachant que la personne est atteinte de \(M2\), la probabilité qu’elle ne soit pas atteinte de \(M1\) vaut \(0{,}2\).

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Question 10 — Intégrale dépendant de \(n\)

Énoncé

Pour \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ I_n = (n+1) \int_a^1 t^n\ln(t)\,dt. \]

A. \[ I_n = \frac{a^{n+1}-1}{(n+1)^2} - \frac{a^{n+1}}{n+1}\ln a. \]

B. \[ I_n = \frac{1-a^{n+1}}{n+1} - a^{n+1}\ln a. \]

C. \[ I_n = \frac{a^{n+1}-1}{n+1} - a^{n+1}\ln a. \]

D. \[ I_n = \frac{a^{n+1}-1}{(n+1)^2} - a^{n+1}\ln a. \]

E. Pour : \[ a=\frac12, \] on a : \[ \lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty. \]

Conseil aux élèves

Il faut vérifier séparément chaque proposition, notamment les limites de suites, les propriétés des fonctions périodiques, les calculs vectoriels et les probabilités conditionnelles.

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