Concours Médecine Oujda 2015 — Énoncé de mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda.

Année universitaire 2015-2016 — Durée : 30 minutes — Questions 1 à 10.

Cette page présente la transcription française fidèle de la partie mathématique du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda 2015.

Les questions portent sur les nombres complexes, les suites, les fonctions, les intégrales, la géométrie et la modélisation par récurrence.

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Consigne du sujet

Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E. Il faut identifier la proposition correcte.

Énoncé — Mathématiques

Question 1 — Forme algébrique et argument d’un complexe

Énoncé

On considère le nombre complexe :

\[ z=\frac{\sqrt3-i}{1-i}. \]

A. \[ z= \frac{\sqrt3+1}{2} - \frac{\sqrt3-1}{2}i. \]

B. \[ z= \sqrt2 \left( \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} \right). \]

C. \[ z= \frac{\sqrt3-1}{2} + \frac{\sqrt3+1}{2}i. \]

D. \[ \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]

E. \[ z= \sqrt2 \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \right). \]

Question 2 — Suite géométrique complexe

Énoncé

On considère la suite complexe \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=1 \]

et :

\[ u_{n+1} = \left( \frac{1+i\sqrt3}{4} \right)u_n, \qquad \forall n\in\mathbb N. \]

A. \[ u_4= \frac1{32} (1+i\sqrt3). \]

B. \[ |u_n|=2^n. \]

C. \[ \lim_{n\to+\infty}|u_n|=2. \]

D. Les entiers \(n\) pour lesquels \(u_n\) est réel sont de la forme : \[ n=3k+1, \qquad k\in\mathbb N. \]

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Question 3 — Somme géométrique et limites

Énoncé

On considère les suites :

\[ u_n= \sum_{p=0}^{n-1} \frac{2}{3^p} \]

et :

\[ V_n=-5(\sqrt2)^n. \]

A. \[ u_n=2(1-3^n). \]

B. \[ \lim_{n\to+\infty}V_n=0. \]

C. \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=3. \]

D. \[ \lim_{n\to+\infty}V_n=-5. \]

E. \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. \]

Question 4 — Modélisation par une suite

Énoncé

Une étude sur les inscriptions dans un établissement de santé montre que \(80\%\) des inscrits renouvellent leur inscription chaque année et que \(4000\) nouveaux étudiants s’inscrivent annuellement.

On note \(V_n\) le nombre d’inscrits à la fin de l’année \(n\), avec :

\[ V_0=7000. \]

On pose :

\[ u_n=2\times10^4-V_n. \]

A. \[ V_{n+1}=11000+0{,}8V_n. \]

B. \[ V_{n+1}=7000+0{,}8V_n. \]

C. La suite \((u_n)\) est arithmétique.

D. \[ u_n=13000(0{,}8)^n. \]

E. \[ u_n=13000(0{,}8)^{n+1}. \]

Question 5 — Fonction réciproque

Énoncé

On considère la fonction numérique \(g\) définie par :

\[ g(x) = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+4} + \frac{x^2}{2}. \]

A. Le domaine de définition de \(g\) est : \[ D_g= ]-\infty,-2] \cup [2,+\infty[. \]

B. Sur un domaine convenable : \[ g^{-1}(x) = \frac{x}{2\sqrt{x+1}}. \]

C. \[ (g^{-1})'(0)=1. \]

D. \[ g'(0)=0. \]

E. \[ \lim_{x\to-\infty}g(x)=2. \]

Question 6 — Calculs géométriques et algébriques

Énoncé

A. Si la diagonale d’une face d’un cube mesure : \[ 4\sqrt2\ \text{cm}, \] alors son volume est : \[ 8\ \text{cm}^3. \]

B. Si on multiplie l’arête d’un cube par : \[ \sqrt[3]{3}, \] alors son volume est multiplié par \(3\).

C. Si : \[ x^2+y^2=208 \qquad\text{et}\qquad xy=58, \] alors : \[ x+y=16. \]

D. Le produit de trois entiers positifs consécutifs est \(990\). La somme des deux plus petits est \(21\).

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Question 7 — Parité, symétrie et limite

Énoncé

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=2x+\sin(2x), \]

et soit \(C_f\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

A. La fonction \(f\) est paire.

B. Le point \(O\) n’est pas un centre de symétrie de \(C_f\).

C. La courbe \(C_f\) est située au-dessus de la droite : \[ y=2x+1. \]

D. La fonction \(f\) est périodique de période \(\pi\).

E. \[ \lim_{x\to0} \frac{f(x)}x = 4. \]

Question 8 — Fonction et intégrales trigonométriques

Énoncé

On considère la fonction numérique :

\[ f(x) = 2\, \frac{\sqrt{\ln(1-x)}}{1-x}, \]

ainsi que les intégrales :

\[ I_n = \int_0^{\pi/2} e^{-nx}\sin x\,dx \]

et :

\[ J_n = \int_0^{\pi/2} e^{-nx}\cos x\,dx. \]

A. \[ \lim_{x\to-\infty}f'(x)=2. \]

B. \[ f'(x)=0 \quad\text{pour}\quad x=-\sqrt e. \]

C. \[ J_n-nI_n = e^{n\pi/2}. \]

D. \[ I_n = \frac{ 1-ne^{-n\pi/2} }{ n^2+1 }. \]

E. \[ J_n = \frac{ 1+ne^{-n\pi/2} }{ n^2+1 }. \]

Question 9 — Deux intégrales dépendant d’un paramètre

Énoncé

On pose :

\[ I= \int_0^a \frac{\cos x}{1+2\sin x}\,dx \]

et :

\[ J= \int_0^a \frac{\sin(2x)}{1+2\sin x}\,dx. \]

A. \[ I= 1-\ln(1-\sin a). \]

B. \[ I= 1-\ln(1-2\sin a). \]

C. \[ J= \sin a+\ln(1+2\sin a). \]

D. \[ J= \sin a + \ln\left( \frac1{\sqrt{1+2\sin a}} \right). \]

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Question 10 — Intégrales définies par récurrence

Énoncé

Pour \(n\ge1\), on pose :

\[ I_n= \int_0^a x^n e^{-x}\,dx. \]

A. \[ I_1= 1+\frac{a+1}{e^a}. \]

B. Pour \(a=1\), la suite \((I_n)\) est croissante.

C. Pour \(a=1\) : \[ \lim_{n\to+\infty}I_n=+\infty. \]

D. \[ I_n= nI_{n-1} + a^n e^{-a}. \]

E. Toutes les propositions précédentes sont fausses.

Conseil aux élèves

Dans ce type de QCM, il faut vérifier rapidement chaque proposition et contrôler soigneusement les signes, les limites, les domaines de définition et les formules d’intégration.

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