Correction Concours Médecine Oujda 2015 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda.
Année universitaire 2015-2016 — Correction détaillée des 10 QCM.
Cette page présente la correction pédagogique complète de la partie mathématique du concours Médecine Oujda 2015.
Chaque question reprend toutes les propositions, puis vérifie la bonne réponse étape par étape.
Correction détaillée
Question 1 — Forme algébrique et argument d’un complexe
On considère :
\[ z=\frac{\sqrt3-i}{1-i}. \]On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \(1+i\) :
\[ z = \frac{(\sqrt3-i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}. \]Le dénominateur vaut :
\[ (1-i)(1+i)=1+1=2. \]Au numérateur :
\[ (\sqrt3-i)(1+i) = \sqrt3+\sqrt3\,i-i-i^2. \]Comme \(i^2=-1\), on obtient :
\[ (\sqrt3-i)(1+i) = \sqrt3+1+(\sqrt3-1)i. \]Ainsi :
\[ z = \frac{\sqrt3+1}{2} + \frac{\sqrt3-1}{2}i. \]Les propositions A et C sont donc fausses.
Module et argument de \(z\)On peut aussi écrire :
\[ \sqrt3-i = 2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) \]et :
\[ 1-i = \sqrt2\left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right). \]Par conséquent :
\[ |z|=\frac2{\sqrt2}=\sqrt2 \]et :
\[ \arg(z) = -\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{12}. \]Donc :
\[ z = \sqrt2 \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right). \]Les propositions B et E sont fausses.
Vérification de la proposition DOn utilise :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}. \]Ainsi :
\[ \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12. \]Donc :
\[ \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \]La proposition D est vraie.
Question 2 — Suite géométrique complexe
On considère la suite complexe définie par :
\[ u_0=1 \]et :
\[ u_{n+1} = \left( \frac{1+i\sqrt3}{4} \right)u_n. \]La suite est géométrique de raison :
\[ q=\frac{1+i\sqrt3}{4}. \]Or :
\[ 1+i\sqrt3 = 2\left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right). \]Donc :
\[ q = \frac12 \left( \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \right). \]Ainsi :
\[ u_n=q^n = \left(\frac12\right)^n \left( \cos\frac{n\pi}{3} + i\sin\frac{n\pi}{3} \right). \] Proposition A \[ u_4 = \frac1{16} \left( \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} \right). \]Comme :
\[ \cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12 \qquad\text{et}\qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}, \]on obtient :
\[ u_4 = -\frac1{32}(1+i\sqrt3). \]La proposition A est fausse.
Propositions B et C \[ |u_n| = \left(\frac12\right)^n. \]Donc B est fausse et :
\[ \lim_{n\to+\infty}|u_n|=0. \]La proposition C est fausse.
Proposition DLe nombre \(u_n\) est réel lorsque :
\[ \sin\frac{n\pi}{3}=0. \]Cela équivaut à :
\[ \frac{n\pi}{3}=k\pi, \]donc :
\[ n=3k. \]La proposition D est fausse.
Les quatre premières propositions étant fausses, la proposition E est vraie.
Question 3 — Somme géométrique et limites
On considère :
\[ u_n= \sum_{p=0}^{n-1}\frac{2}{3^p} \]et :
\[ V_n=-5(\sqrt2)^n. \]La somme \(u_n\) est une somme géométrique de premier terme \(2\) et de raison \(\frac13\) :
\[ u_n = 2\frac{1-\left(\frac13\right)^n}{1-\frac13}. \]Donc :
\[ u_n = 3\left( 1-\frac1{3^n} \right). \]La proposition A est fausse.
Comme :
\[ \frac1{3^n}\longrightarrow0, \]on obtient :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=3. \]La proposition C est vraie et E est fausse.
D’autre part, \(\sqrt2\gt1\), donc :
\[ (\sqrt2)^n\longrightarrow+\infty. \]Par conséquent :
\[ V_n=-5(\sqrt2)^n\longrightarrow-\infty. \]Les propositions B et D sont fausses.
Question 4 — Modélisation par une suite
Chaque année, \(80\%\) des inscrits renouvellent leur inscription et \(4000\) nouveaux étudiants s’inscrivent.
\[ V_0=7000, \qquad u_n=20000-V_n. \]Le nombre d’inscrits l’année suivante est égal à \(80\%\) du nombre actuel, auquel on ajoute \(4000\) nouveaux inscrits :
\[ V_{n+1}=0{,}8V_n+4000. \]Les propositions A et B sont fausses.
Calculons \(u_{n+1}\) :
\[ u_{n+1} = 20000-V_{n+1}. \]Donc :
\[ u_{n+1} = 20000-\left(0{,}8V_n+4000\right). \]Ainsi :
\[ u_{n+1} = 16000-0{,}8V_n. \]On factorise par \(0{,}8\) :
\[ u_{n+1} = 0{,}8(20000-V_n). \]Par conséquent :
\[ u_{n+1}=0{,}8u_n. \]La suite \((u_n)\) est géométrique, et non arithmétique. La proposition C est fausse.
Son premier terme vaut :
\[ u_0=20000-7000=13000. \]Donc :
\[ u_n=13000(0{,}8)^n. \]La proposition D est vraie et E est fausse.
Question 5 — Fonction réciproque
On considère :
\[ g(x) = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+4} + \frac{x^2}{2}. \]Pour tout réel \(x\) :
\[ x^2+4\gt0. \]La fonction est donc définie sur tout \(\mathbb R\). La proposition A est fausse.
Dérivée en \(0\)On dérive :
\[ g'(x) = \frac12\sqrt{x^2+4} + \frac{x^2}{2\sqrt{x^2+4}} + x. \]En \(x=0\) :
\[ g'(0) = \frac12\times2 = 1. \]La proposition D est fausse.
De plus :
\[ g(0)=0. \]Comme \(g'(0)=1\ne0\), la fonction réciproque est dérivable en \(0\) et :
\[ (g^{-1})'(0) = \frac1{g'(g^{-1}(0))} = \frac1{g'(0)} = 1. \]La proposition C est vraie.
Expression de la réciproquePosons :
\[ r= \frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}. \]Alors \(r\gt0\) et :
\[ x=r-\frac1r. \]Or :
\[ g(x) = \frac{x}{2}\left(x+\sqrt{x^2+4}\right) = xr. \]Donc :
\[ g(x) = \left(r-\frac1r\right)r = r^2-1. \]Si \(y=g(x)\), alors :
\[ r=\sqrt{y+1} \]et :
\[ x = \sqrt{y+1} - \frac1{\sqrt{y+1}} = \frac{y}{\sqrt{y+1}}. \]Ainsi :
\[ g^{-1}(y) = \frac{y}{\sqrt{y+1}}, \]et non \(\frac{y}{2\sqrt{y+1}}\). La proposition B est fausse.
Limite en \(-\infty\)On rationalise :
\[ g(x) = \frac{x}{2} \left( \sqrt{x^2+4}+x \right). \]Pour \(x\lt0\) :
\[ \sqrt{x^2+4}+x = \frac4{\sqrt{x^2+4}-x}. \]Donc :
\[ g(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2+4}-x}. \]En divisant par \(-x\) :
\[ g(x) = \frac{-2}{ \sqrt{1+\frac4{x^2}}+1 }. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to-\infty}g(x) = -1. \]La proposition E est fausse.
Question 6 — Calculs géométriques et algébriques
Si \(a\) est l’arête du cube, la diagonale d’une face vaut :
\[ a\sqrt2. \]Donc :
\[ a\sqrt2=4\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad a=4. \]Le volume est :
\[ a^3=4^3=64\ \text{cm}^3. \]La proposition A est fausse.
Proposition BLe volume initial vaut \(a^3\). Après multiplication de l’arête par \(\sqrt[3]{3}\), le nouveau volume est :
\[ \left(a\sqrt[3]{3}\right)^3 = a^3\times3. \]La proposition B est vraie.
Proposition C \[ (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy. \]Donc :
\[ (x+y)^2 = 208+2\times58 = 324. \]Ainsi :
\[ x+y=\pm18, \]et non \(16\). La proposition C est fausse.
Proposition DOn reconnaît :
\[ 9\times10\times11=990. \]Les trois entiers sont donc \(9\), \(10\) et \(11\). La somme des deux plus petits vaut :
\[ 9+10=19. \]La proposition D est fausse.
Comme B est vraie, la proposition E est fausse.
Question 7 — Parité, symétrie et limite
On considère :
\[ f(x)=2x+\sin(2x). \]La fonction \(f\) est impaire. La proposition A est fausse et le point \(O\) est un centre de symétrie de la courbe. La proposition B est fausse.
Position par rapport à la droiteOn compare :
\[ f(x)-(2x+1) = \sin(2x)-1. \]Or :
\[ \sin(2x)-1\le0. \]La courbe est donc située au-dessous, ou éventuellement sur la droite, et non au-dessus. La proposition C est fausse.
Périodicité \[ f(x+\pi) = 2x+2\pi+\sin(2x+2\pi) = f(x)+2\pi. \]Donc \(f(x+\pi)\ne f(x)\). La proposition D est fausse.
Limite en \(0\) \[ \frac{f(x)}x = 2+\frac{\sin(2x)}x. \]On écrit :
\[ \frac{\sin(2x)}x = 2\frac{\sin(2x)}{2x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}x = 2+2 = 4. \]La proposition E est vraie.
Question 8 — Fonction et intégrales trigonométriques
On considère :
\[ f(x) = 2\frac{\sqrt{\ln(1-x)}}{1-x}, \] \[ I_n = \int_0^{\pi/2} e^{-nx}\sin x\,dx, \] \[ J_n = \int_0^{\pi/2} e^{-nx}\cos x\,dx. \]Le domaine de \(f\) est :
\[ ]-\infty,0]. \]Pour \(x\lt0\), posons :
\[ L=\ln(1-x). \]Alors :
\[ f(x)=2L^{1/2}(1-x)^{-1}. \]Après dérivation :
\[ f'(x) = \frac{2\ln(1-x)-1} {(1-x)^2\sqrt{\ln(1-x)}}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), le dénominateur croît beaucoup plus vite que le numérateur logarithmique. Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}f'(x)=0. \]La proposition A est fausse.
La condition \(f'(x)=0\) donne :
\[ 2\ln(1-x)-1=0. \]Donc :
\[ \ln(1-x)=\frac12 \]et :
\[ 1-x=\sqrt e. \]Ainsi :
\[ x=1-\sqrt e, \]et non \(-\sqrt e\). La proposition B est fausse.
Relation entre \(I_n\) et \(J_n\)Une intégration par parties dans \(I_n\), avec une primitive \(-\cos x\) de \(\sin x\), donne :
\[ I_n=1-nJ_n. \]Une intégration par parties dans \(J_n\), avec une primitive \(\sin x\) de \(\cos x\), donne :
\[ J_n=e^{-n\pi/2}+nI_n. \]Donc :
\[ J_n-nI_n=e^{-n\pi/2}. \]La proposition C est fausse.
Calcul de \(I_n\)En remplaçant \(J_n\) dans la première relation :
\[ I_n = 1-n\left(e^{-n\pi/2}+nI_n\right). \]Ainsi :
\[ (1+n^2)I_n = 1-ne^{-n\pi/2}. \]Donc :
\[ I_n = \frac{1-ne^{-n\pi/2}}{n^2+1}. \]La proposition D est vraie.
Enfin :
\[ J_n = e^{-n\pi/2}+nI_n = \frac{n+e^{-n\pi/2}}{n^2+1}. \]La proposition E est fausse.
Question 9 — Deux intégrales dépendant d’un paramètre
On pose :
\[ I= \int_0^a \frac{\cos x}{1+2\sin x}\,dx \]et :
\[ J= \int_0^a \frac{\sin(2x)}{1+2\sin x}\,dx. \]Posons :
\[ u=1+2\sin x. \]Alors :
\[ du=2\cos x\,dx. \]Donc :
\[ I = \frac12 \int_1^{1+2\sin a}\frac{du}{u}. \]Ainsi :
\[ I = \frac12\ln(1+2\sin a). \]Les propositions A et B sont fausses.
Calcul de \(J\)Comme :
\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x, \]on écrit :
\[ J = \int_0^a \frac{2\sin x\cos x}{1+2\sin x}\,dx. \]Avec le même changement de variable :
\[ u=1+2\sin x, \qquad du=2\cos x\,dx, \]et :
\[ \sin x=\frac{u-1}{2}. \]On obtient :
\[ J = \frac12 \int_1^{1+2\sin a} \left( 1-\frac1u \right)du. \]Donc :
\[ J = \frac12 \left[ u-\ln u \right]_1^{1+2\sin a}. \]Ainsi :
\[ J = \sin a - \frac12\ln(1+2\sin a). \]Or :
\[ -\frac12\ln(1+2\sin a) = \ln\left( \frac1{\sqrt{1+2\sin a}} \right). \]Donc :
\[ J = \sin a + \ln\left( \frac1{\sqrt{1+2\sin a}} \right). \]La proposition D est vraie.
Question 10 — Intégrales définies par récurrence
Pour \(n\ge1\), on pose :
\[ I_n= \int_0^a x^n e^{-x}\,dx. \]Une primitive de \(xe^{-x}\) est :
\[ -(x+1)e^{-x}. \]Donc :
\[ I_1 = \left[ -(x+1)e^{-x} \right]_0^a. \]Ainsi :
\[ I_1 = 1-(a+1)e^{-a} = 1-\frac{a+1}{e^a}. \]La proposition A est fausse.
Variation pour \(a=1\)Sur l’intervalle \([0,1]\), on a :
\[ 0\le x^{n+1}\le x^n. \]Comme \(e^{-x}\gt0\) :
\[ 0\le x^{n+1}e^{-x}\le x^ne^{-x}. \]En intégrant de \(0\) à \(1\) :
\[ I_{n+1}\le I_n. \]La suite est décroissante, et non croissante. La proposition B est fausse.
De plus :
\[ 0\le I_n = \int_0^1x^ne^{-x}\,dx \le \int_0^1x^n\,dx = \frac1{n+1}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n=0. \]La proposition C est fausse.
Relation de récurrenceEffectuons une intégration par parties avec :
\[ u=x^n, \qquad dv=e^{-x}dx. \]Alors :
\[ du=nx^{n-1}dx, \qquad v=-e^{-x}. \]Donc :
\[ I_n = \left[ -x^ne^{-x} \right]_0^a + n \int_0^a x^{n-1}e^{-x}\,dx. \]Ainsi :
\[ I_n = -a^ne^{-a} + nI_{n-1}. \]Le signe du terme \(a^ne^{-a}\) est négatif. La proposition D est fausse.
Les propositions A, B, C et D étant toutes fausses, la proposition E est vraie.
Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Bonne réponse |
|---|---|
| Q1 | D |
| Q2 | E |
| Q3 | C |
| Q4 | D |
| Q5 | C |
| Q6 | B |
| Q7 | E |
| Q8 | D |
| Q9 | D |
| Q10 | E |
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