Concours Médecine Oujda 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda — épreuve de mathématiques.

Concours d’accès 2017-2018 — Questions 1 à 10.

Compétences et points clés

Oujda 2017 fait travailler les sommes trigonométriques, les logarithmes, les équations différentielles et les aires. Il est utile de séparer les questions qui demandent une identité algébrique de celles qui nécessitent un argument de signe ou de domaine.

Prérequis à revoir : conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; dérivées première et seconde et conditions initiales.

Rappels de cours utiles

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Contrôler une équation différentielle. Pour tester une fonction proposée, calculer les dérivées demandées, les remplacer dans l’équation puis vérifier les conditions initiales. Une équation non linéaire ne relève pas automatiquement des formules des équations linéaires. Le domaine sur lequel une expression est définie fait partie de la vérification.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour la somme de sinus et cosinus, rechercher une représentation complexe. Pour le logarithme du trinôme, étudier d’abord le signe de son argument. Une solution différentielle proposée doit satisfaire l’équation et les conditions initiales ; pour une aire, déterminer la position de la courbe par rapport à l’axe.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda 2017.

Les questions portent sur les nombres complexes, les fonctions logarithmiques, le calcul intégral, les équations différentielles, les fonctions exponentielles et les aires.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Oujda.
Année : 2017-2018.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Questions : 1 à 10.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Il faut choisir la proposition correcte selon les données de chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

On pose :

\[ A=1+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right) \]

\[ B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{9\pi}{5}\right). \]

On considère le nombre complexe :

\[ z=A+iB. \]

Le nombre complexe \(z\) est égal à :

A) \(z=0\)

B) \(z=-2i\)

C) \(z=\dfrac12\)

D) \(z=2i\)

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

Question 2

Énoncé

Soit la fonction numérique \(f\) définie pour la variable réelle \(x\) par :

\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2). \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) Le domaine de définition de \(f\) est : \(D_f=\mathbb R^+\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0\).

D) \(\displaystyle f''(x)=\frac{x(4-x)}{((x-1)^2+1)^2}\).

E) \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\ln2\).

Question 3

Énoncé

On considère :

\[ I=\int_0^1 5e^t\cos(2t)\,dt \]

\[ J=\int_0^1 5e^t\sin(2t)\,dt. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) \(2J-I=e\cos(2)-1\).

B) \(2I+J=1-e\sin(2)\).

C) \(J=2+e\sin(2)-2e\cos(2)\).

D) \(I=2+e\cos(2)-2\sin(2)\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 4

Énoncé

Si une fonction \(f\) est définie en un point \(a\), alors nécessairement :

A) \(f\) est continue en \(a\).

B) \(\ln(f)\) est définie en \(a\).

C) \(\dfrac1f\) est définie en \(a\).

D) \(\dfrac1{e^f}\) est définie en \(a\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 5

Énoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\).

On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives :

\[ z_A=1,\qquad z_B=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i. \]

Soit \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) L’affixe \(z_C\) du point \(C\) est \(z_C=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\).

B) Le triangle \(ABC\) est équilatéral.

C) Le module \(|z_B-z_A|=\sqrt2\).

D) Le triangle \(ABC\) est isocèle.

E) L’affixe \(z_C\) du point \(C\) est \(z_C=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\).

Question 6

Énoncé

Choisir la bonne réponse :

A) La solution de l’équation différentielle \(y''-2y'-8y=0\), avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\), est \(y=e^{-2x}+2e^{4x}\).

B) Le nombre \(\left(e^{i\theta}\right)^m\), avec \(m\in\mathbb N\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(\cos(\theta^m)+i\sin(\theta^m)\).

C) Le nombre \(\left(e^{i\theta}\right)^m\), avec \(m\in\mathbb N\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(m(\cos\theta+i\sin\theta)\).

D) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) de l’espace tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est une sphère.

E) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) de l’espace tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est un ensemble vide.

Question 7

Énoncé

On considère la fonction \(f_n(x)\) définie par :

\[ f_n(x)=nxe^{-nx} \]

pour tout réel \(x\in[0,+\infty[\), avec \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\).

On note \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n(x)\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\).

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=n\).

D) \(\displaystyle f_n'(x)=ne^{-nx}(nx-1)\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 8

Énoncé

On prend les mêmes données de la question précédente.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) La courbe \(C_n\) admet l’asymptote dont l’équation est \(y=1\).

B) La courbe \(C_n\) admet l’asymptote dont l’équation est \(y=e\).

C) \(f_n(x)\) présente un maximum en un point de coordonnées \(\left(\dfrac1e;\dfrac1n\right)\).

D) \(f_n(x)\) présente un maximum en un point de coordonnées \(\left(\dfrac1n;\dfrac1e\right)\).

E) \(f_n(x)\) présente un maximum en un point de coordonnées \(\left(\dfrac1e;-\dfrac1n\right)\).

Question 9

Énoncé

On prend les mêmes données de la question 7.

On note \(C_1\) et \(C_2\) les courbes représentatives de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\) pour \(n=1\) et \(n=2\).

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points \(P\) et \(Q\) d’abscisses respectives \(p=e^2\) et \(q=\ln4\).

B) Dans l’intervalle \(]\ln2,+\infty[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

C) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) ne se coupent pas.

D) Dans l’intervalle \(]0,\ln2[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

E) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points \(P\) et \(Q\) d’abscisses respectives \(p=e^2\) et \(q=e\).

Question 10

Énoncé

On prend les mêmes données de la question 7.

L’aire du domaine compris entre \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites définies par les équations \(x=0\) et \(x=\ln2\) est :

A) \(\dfrac12(\ln2-1)\).

B) \(\ln2-1\).

C) \(1-\ln2\).

D) \(\dfrac{\ln2}{2}\).

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, les questions sont courtes mais demandent une lecture attentive des formules : sommes trigonométriques, logarithmes, dérivées, intégrales et comparaison de courbes.

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