Concours Médecine Oujda 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda — épreuve de mathématiques.

Concours d’accès 2017-2018 — Questions 1 à 10.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda 2017.

Les questions portent sur les nombres complexes, les fonctions logarithmiques, le calcul intégral, les équations différentielles, les fonctions exponentielles et les aires.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Oujda.
Année : 2017-2018.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Questions : 1 à 10.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Il faut choisir la proposition correcte selon les données de chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

On pose :

\[ A=1+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right) \]

\[ B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{9\pi}{5}\right). \]

On considère le nombre complexe :

\[ z=A+iB. \]

Le nombre complexe \(z\) est égal à :

A) \(z=0\)

B) \(z=-2i\)

C) \(z=\dfrac12\)

D) \(z=2i\)

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

Question 2

Énoncé

Soit la fonction numérique \(f\) définie pour la variable réelle \(x\) par :

\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2). \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) Le domaine de définition de \(f\) est : \(D_f=\mathbb R^+\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0\).

D) \(\displaystyle f''(x)=\frac{x(4-x)}{((x-1)^2+1)^2}\).

E) \(\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\ln2\).

Question 3

Énoncé

On considère :

\[ I=\int_0^1 5e^t\cos(2t)\,dt \]

\[ J=\int_0^1 5e^t\sin(2t)\,dt. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) \(2J-I=e\cos(2)-1\).

B) \(2I+J=1-e\sin(2)\).

C) \(J=2+e\sin(2)-2e\cos(2)\).

D) \(I=2+e\cos(2)-2\sin(2)\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 4

Énoncé

Si une fonction \(f\) est définie en un point \(a\), alors nécessairement :

A) \(f\) est continue en \(a\).

B) \(\ln(f)\) est définie en \(a\).

C) \(\dfrac1f\) est définie en \(a\).

D) \(\dfrac1{e^f}\) est définie en \(a\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 5

Énoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\).

On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives :

\[ z_A=1,\qquad z_B=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i. \]

Soit \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) L’affixe \(z_C\) du point \(C\) est \(z_C=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\).

B) Le triangle \(ABC\) est équilatéral.

C) Le module \(|z_B-z_A|=\sqrt2\).

D) Le triangle \(ABC\) est isocèle.

E) L’affixe \(z_C\) du point \(C\) est \(z_C=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i\).

Question 6

Énoncé

Choisir la bonne réponse :

A) La solution de l’équation différentielle \(y''-2y'-8y=0\), avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\), est \(y=e^{-2x}+2e^{4x}\).

B) Le nombre \(\left(e^{i\theta}\right)^m\), avec \(m\in\mathbb N\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(\cos(\theta^m)+i\sin(\theta^m)\).

C) Le nombre \(\left(e^{i\theta}\right)^m\), avec \(m\in\mathbb N\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(m(\cos\theta+i\sin\theta)\).

D) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) de l’espace tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est une sphère.

E) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) de l’espace tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est un ensemble vide.

Question 7

Énoncé

On considère la fonction \(f_n(x)\) définie par :

\[ f_n(x)=nxe^{-nx} \]

pour tout réel \(x\in[0,+\infty[\), avec \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\).

On note \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n(x)\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\).

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=n\).

D) \(\displaystyle f_n'(x)=ne^{-nx}(nx-1)\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 8

Énoncé

On prend les mêmes données de la question précédente.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) La courbe \(C_n\) admet l’asymptote dont l’équation est \(y=1\).

B) La courbe \(C_n\) admet l’asymptote dont l’équation est \(y=e\).

C) \(f_n(x)\) présente un maximum en un point de coordonnées \(\left(\dfrac1e;\dfrac1n\right)\).

D) \(f_n(x)\) présente un maximum en un point de coordonnées \(\left(\dfrac1n;\dfrac1e\right)\).

E) \(f_n(x)\) présente un maximum en un point de coordonnées \(\left(\dfrac1e;-\dfrac1n\right)\).

Question 9

Énoncé

On prend les mêmes données de la question 7.

On note \(C_1\) et \(C_2\) les courbes représentatives de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\) pour \(n=1\) et \(n=2\).

Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?

A) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points \(P\) et \(Q\) d’abscisses respectives \(p=e^2\) et \(q=\ln4\).

B) Dans l’intervalle \(]\ln2,+\infty[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

C) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) ne se coupent pas.

D) Dans l’intervalle \(]0,\ln2[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

E) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points \(P\) et \(Q\) d’abscisses respectives \(p=e^2\) et \(q=e\).

Question 10

Énoncé

On prend les mêmes données de la question 7.

L’aire du domaine compris entre \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites définies par les équations \(x=0\) et \(x=\ln2\) est :

A) \(\dfrac12(\ln2-1)\).

B) \(\ln2-1\).

C) \(1-\ln2\).

D) \(\dfrac{\ln2}{2}\).

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, les questions sont courtes mais demandent une lecture attentive des formules : sommes trigonométriques, logarithmes, dérivées, intégrales et comparaison de courbes.

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