Correction Concours Médecine Oujda 2017 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda — concours d’accès 2017-2018.
Correction détaillée des questions 1 à 10.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Oujda 2017.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction détaillée et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Somme de racines de l’unité
On pose :
\[ A=1+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right) \]et
\[ B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{9\pi}{5}\right). \]On considère le nombre complexe :
\[ z=A+iB. \]Le nombre complexe \(z\) est égal à :
On reconnaît une somme géométrique complexe de raison \(e^{i\pi/5}\).
On écrit :
\[ z=1+\sum_{k=1}^{9}\left(\cos\frac{k\pi}{5}+i\sin\frac{k\pi}{5}\right). \]Donc :
\[ z=\sum_{k=0}^{9}e^{i\frac{k\pi}{5}}. \]C’est une somme géométrique de raison :
\[ q=e^{i\frac{\pi}{5}}. \]Comme \(q\ne1\) et :
\[ q^{10}=e^{i2\pi}=1, \]on obtient :
\[ z=\frac{1-q^{10}}{1-q}=0. \]Question 2 — Limites d’une fonction logarithmique
Soit la fonction numérique \(f\) définie pour la variable réelle \(x\) par :
\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2). \]Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
On commence par écrire \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1\).
On a :
\[ x^2-2x+2=(x-1)^2+1. \]Cette quantité est strictement positive pour tout réel \(x\). Le domaine est donc \(\mathbb R\), et non \(\mathbb R^+\).
Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2)\sim 2\ln(x^2)=4\ln x. \]Donc :
\[ f(x)\to+\infty. \]Mais :
\[ \frac{f(x)}{x}\sim \frac{4\ln x}{x}\to0. \]La proposition C est donc correcte.
Enfin :
\[ f(0)=2\ln2, \]donc la proposition E est fausse.
Question 3 — Intégrales avec exponentielle et trigonométrie
On considère :
\[ I=\int_0^1 5e^t\cos(2t)\,dt \]et
\[ J=\int_0^1 5e^t\sin(2t)\,dt. \]Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
On utilise une primitive de \(e^t\sin(2t)\) ou la forme complexe.
On calcule directement une primitive de \(5e^t\sin(2t)\).
On sait que :
\[ \int e^t\sin(2t)\,dt = \frac{e^t(\sin(2t)-2\cos(2t))}{5}. \]Donc :
\[ J=\left[e^t(\sin(2t)-2\cos(2t))\right]_0^1. \]Pour \(t=1\), on obtient :
\[ e(\sin2-2\cos2). \]Pour \(t=0\), on obtient :
\[ 1(0-2)=-2. \]Donc :
\[ J=e\sin2-2e\cos2+2. \]Ainsi :
\[ J=2+e\sin(2)-2e\cos(2). \]Question 4 — Fonction définie en un point
Si une fonction \(f\) est définie en un point \(a\), alors nécessairement :
Si \(f(a)\) existe, alors \(e^{f(a)}\) existe et n’est jamais nul.
Le fait que \(f\) soit définie en \(a\) signifie que \(f(a)\) existe.
Cela ne garantit pas la continuité en \(a\). Donc A est fausse.
La fonction \(\ln(f)\) exige :
\[ f(a)>0, \]ce qui n’est pas garanti. Donc B est fausse.
La fonction \(\dfrac1f\) exige :
\[ f(a)\ne0, \]ce qui n’est pas garanti. Donc C est fausse.
En revanche, \(e^{f(a)}\) existe toujours et :
\[ e^{f(a)}\ne0. \]Donc :
\[ \frac1{e^{f(a)}} \]est toujours défini.
Question 5 — Triangle dans le plan complexe
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\).
On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives :
\[ z_A=1,\qquad z_B=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i. \]Soit \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
Le symétrique par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe le conjugué.
Comme \(C\) est le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses, on a :
\[ z_C=\overline{z_B}. \]Donc :
\[ z_C=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i. \]Cette valeur n’est pas proposée dans A ni dans E.
Calculons les longueurs.
D’abord :
\[ |z_B-z_A| = \left|-\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right| = \sqrt{\frac94+\frac34} = \sqrt3. \]Donc la proposition C est fausse.
Ensuite, comme \(B\) et \(C\) sont symétriques :
\[ |z_B-z_C|=\left|i\sqrt3\right|=\sqrt3. \]Enfin :
\[ |z_A-z_C| = \left|\frac32+\frac{\sqrt3}{2}i\right| = \sqrt3. \]Ainsi :
\[ AB=BC=CA=\sqrt3. \]Le triangle \(ABC\) est donc équilatéral. Il est aussi isocèle.
Question 6 — Équation d’une sphère
Choisir la bonne réponse :
Pour reconnaître une sphère, on complète les carrés.
On considère :
\[ x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0. \]On complète les carrés :
\[ x^2-2x=(x-1)^2-1, \] \[ y^2+4y=(y+2)^2-4, \] \[ z^2+2z=(z+1)^2-1. \]Donc l’équation devient :
\[ (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2-1-4-1+3=0. \]Ainsi :
\[ (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=3. \]C’est une sphère de centre \((1,-2,-1)\) et de rayon \(\sqrt3\).
Question 7 — Limite et dérivée de \(f_n\)
On considère la fonction \(f_n(x)\) définie par :
\[ f_n(x)=nxe^{-nx} \]pour tout réel \(x\in[0,+\infty[\), avec \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\).
On note \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n(x)\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
On dérive \(nxe^{-nx}\) comme un produit.
Lorsque \(x\to+\infty\), l’exponentielle \(e^{-nx}\) tend vers \(0\) plus rapidement que \(x\) ne grandit.
Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}nxe^{-nx}=0. \]Les propositions A, B et C sont donc fausses.
Calculons la dérivée :
\[ f_n'(x)=n e^{-nx}+nx(-n)e^{-nx}. \]Donc :
\[ f_n'(x)=ne^{-nx}(1-nx). \]La proposition D donne le signe opposé :
\[ ne^{-nx}(nx-1). \]Elle est donc fausse.
Par conséquent, toutes les propositions A, B, C et D sont fausses.
Question 8 — Maximum de \(f_n\)
On prend les mêmes données de la question précédente.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
Le maximum est obtenu lorsque \(f_n'(x)=0\).
D’après la question précédente :
\[ f_n'(x)=ne^{-nx}(1-nx). \]Comme \(ne^{-nx}>0\), le signe de \(f_n'(x)\) est celui de :
\[ 1-nx. \]On résout :
\[ 1-nx=0. \]Donc :
\[ x=\frac1n. \]La valeur maximale est :
\[ f_n\left(\frac1n\right) = n\cdot\frac1n\cdot e^{-1} = \frac1e. \]Le maximum est donc atteint au point :
\[ \left(\frac1n,\frac1e\right). \]Question 9 — Position relative de \(C_1\) et \(C_2\)
On prend les mêmes données de la question 7.
On note \(C_1\) et \(C_2\) les courbes représentatives de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\) pour \(n=1\) et \(n=2\).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
On compare \(f_2(x)\) et \(f_1(x)\) à l’aide du quotient \(\frac{f_2(x)}{f_1(x)}\).
Pour \(x>0\), on a :
\[ f_1(x)=xe^{-x}, \qquad f_2(x)=2xe^{-2x}. \]Donc :
\[ \frac{f_2(x)}{f_1(x)}=\frac{2xe^{-2x}}{xe^{-x}}=2e^{-x}. \]Les deux courbes se coupent lorsque :
\[ 2e^{-x}=1. \]Donc :
\[ e^x=2, \qquad x=\ln2. \]Pour \(x\in]\ln2,+\infty[\), on a :
\[ e^x>2. \]Donc :
\[ 2e^{-x}<1. \]Ainsi :
\[ f_2(x)Question 10 — Aire sous une courbe
On prend les mêmes données de la question 7.
L’aire du domaine compris entre \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites définies par les équations \(x=0\) et \(x=\ln2\) est :
Cette aire est l’intégrale de \(f_1(x)=xe^{-x}\) entre \(0\) et \(\ln2\).
L’aire demandée est :
\[ \mathcal A=\int_0^{\ln2}xe^{-x}\,dx. \]Une primitive de \(xe^{-x}\) est :
\[ -(x+1)e^{-x}. \]Donc :
\[ \mathcal A= \left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{\ln2}. \]Pour \(x=\ln2\), on obtient :
\[ -(\ln2+1)e^{-\ln2} = -\frac{\ln2+1}{2}. \]Pour \(x=0\), on obtient :
\[ -1. \]Ainsi :
\[ \mathcal A = -\frac{\ln2+1}{2}+1 = \frac{1-\ln2}{2}. \]Cette valeur ne figure pas parmi les propositions A, B, C et D.
Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, il faut repérer rapidement la structure : somme géométrique complexe, croissance logarithmique, primitive adaptée et comparaison de courbes.
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