Concours Médecine Oujda 2018 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2017-2018 — durée : 30 minutes.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda 2018.

Les questions portent sur les nombres complexes, fonctions logarithmiques, intégrales, équations différentielles, géométrie de l’espace, suites de fonctions et calcul d’aire.

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Données de l’énoncé

• Concours : Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire.
• Ville : Oujda.
• Année : 2017-2018.
• Épreuve : Mathématiques.
• Questions : 1 à 10.
• Durée indiquée : 30 minutes.

Consignes

• La partie mathématiques comporte 10 questions.
• Les propositions sont notées A, B, C, D et E.
• Chaque question doit être traitée à partir des données fournies dans l’énoncé.

Accès rapide aux questions

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

On pose :

\[ A=1+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right) \]

et

\[ B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{9\pi}{5}\right). \]

On considère le nombre complexe \(z=A+iB\). Le nombre complexe \(z\) est égal à :

A) \(z=0\)

B) \(z=-2i\)

C) \(z=\dfrac12\)

D) \(z=2i\)

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

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Question 2

Énoncé

Soit \(f\) la fonction numérique définie pour la variable réelle \(x\) par :

\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2). \]

A) Le domaine de définition de \(f\) est \(\mathbb R\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0\).

D) \(\displaystyle f''(x)=\frac{4x(2-x)}{\left((x-1)^2+1\right)^2}\).

E) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\ln2\).

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Question 3

Énoncé

On considère :

\[ I=\int_0^1 5e^t\cos(2t)\,dt \quad\text{et}\quad J=\int_0^1 5e^t\sin(2t)\,dt. \]

A) \(2J-I=e\cos(2)-1\)

B) \(2I+J=1-e\sin(2)\)

C) \(J=2+e\sin(2)-2e\cos(2)\)

D) \(I=2+e\cos(2)-2e\sin(2)\)

E) Toutes les propositions sont fausses.

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Question 4

Énoncé

Si une fonction \(f\) est définie en un point \(a\), alors nécessairement :

A) \(f\) est continue en \(a\).

B) \(\ln(f)\) est définie en \(a\).

C) \(\dfrac1f\) est définie en \(a\).

D) \(e^f\) est définie en \(a\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

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Question 5

Énoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\).

On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives :

\[ z_A=1,\qquad z_B=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]

Soit \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses.

A) L’affixe du point \(C\) est \(z_C=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

B) Le triangle \(ABC\) est équilatéral.

C) Le module \(|z_B-z_A|=2\).

D) Le triangle \(ABC\) est isocèle.

E) L’affixe du point \(C\) est \(z_C=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

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Question 6

Énoncé

Choisir la bonne réponse :

A) La solution de \(y''-2y'-8y=0\), avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\), est \(y=e^{-2x}+2e^{4x}\).

B) Le nombre \((e^{i\theta})^m\), avec \(m\in\mathbb Z\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(\cos(m\theta)+i\sin(m\theta)\).

C) Le nombre \((e^{i\theta})^m\), avec \(m\in\mathbb Z\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(m(\cos\theta+i\sin\theta)\).

D) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est une sphère.

E) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est vide.

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Question 7

Énoncé

On considère la fonction \(f_n\) définie par :

\[ f_n(x)=nxe^{-nx}, \]

pour tout réel \(x\in[0,+\infty[\), avec \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\). On note \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n\).

A) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=n\).

D) \(f'_n(x)=ne^{-nx}(nx-1)\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

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Question 8

Énoncé

On reprend les mêmes données de la question précédente.

A) La courbe \(C_n\) admet une asymptote d’équation \(y=1\).

B) La courbe \(C_n\) admet une asymptote d’équation \(y=e\).

C) \(f_n(x)\) présente un maximum au point de coordonnées \(\left(\dfrac1n,\dfrac1e\right)\).

D) \(f_n(x)\) présente un maximum au point de coordonnées \(\left(\dfrac1e,\dfrac1n\right)\).

E) \(f_n(x)\) présente un maximum au point de coordonnées \(\left(\dfrac1e,-\dfrac1n\right)\).

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Question 9

Énoncé

On reprend les mêmes données de la question 7. On note \(C_1\) et \(C_2\) les courbes représentatives de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\).

A) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points.

B) Dans l’intervalle \(]\ln2,+\infty[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

C) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) ne se coupent pas.

D) Dans l’intervalle \(]0,\ln2[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

E) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points d’abscisses \(e^2\) et \(e\).

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Question 10

Énoncé

On reprend les mêmes données de la question 7.

L’aire du domaine compris entre \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=\ln2\) est :

A) \(\dfrac12(\ln2-1)\)

B) \(\ln2-1\)

C) \(1-\ln2\)

D) \(\dfrac{1-\ln2}{2}\)

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

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Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs questions demandent de juger des propositions séparément. Il faut donc contrôler chaque affirmation par un calcul rapide ou par une propriété du cours.

Ressources liées

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