Concours Médecine Oujda 2018 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2017-2018 — durée : 30 minutes.

Compétences et points clés

Oujda Médecine 2018 articule sommes trigonométriques, logarithme d’un trinôme, équation différentielle et aire. La proximité de certaines questions avec d’autres archives n’autorise pas à reprendre une réponse : les données et conditions doivent être relues dans cette version.

Prérequis à revoir : conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; dérivées première et seconde et conditions initiales.

Rappels de cours utiles

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Contrôler une équation différentielle. Pour tester une fonction proposée, calculer les dérivées demandées, les remplacer dans l’équation puis vérifier les conditions initiales. Une équation non linéaire ne relève pas automatiquement des formules des équations linéaires. Le domaine sur lequel une expression est définie fait partie de la vérification.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour les sommes trigonométriques, chercher une représentation qui traite sinus et cosinus ensemble. Pour le logarithme, établir le signe du trinôme avant les propriétés de la fonction. Pour l’équation différentielle, vérifier l’équation et les conditions initiales. Pour l’aire finale, déterminer le signe de la fonction sur les bornes de cette édition.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda 2018.

Les questions portent sur les nombres complexes, fonctions logarithmiques, intégrales, équations différentielles, géométrie de l’espace, suites de fonctions et calcul d’aire.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine, Pharmacie et Médecine Dentaire.
Ville : Oujda.
Année : 2017-2018.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 1 à 10.
Durée indiquée : 30 minutes.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Les propositions sont notées A, B, C, D et E.
Chaque question doit être traitée à partir des données fournies dans l’énoncé.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

On pose :

\[ A=1+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right) \]

\[ B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{9\pi}{5}\right). \]

On considère le nombre complexe \(z=A+iB\). Le nombre complexe \(z\) est égal à :

A) \(z=0\)

B) \(z=-2i\)

C) \(z=\dfrac12\)

D) \(z=2i\)

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

Question 2

Énoncé

Soit \(f\) la fonction numérique définie pour la variable réelle \(x\) par :

\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2). \]

A) Le domaine de définition de \(f\) est \(\mathbb R\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0\).

D) \(\displaystyle f''(x)=\frac{4x(2-x)}{\left((x-1)^2+1\right)^2}\).

E) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\ln2\).

Question 3

Énoncé

On considère :

\[ I=\int_0^1 5e^t\cos(2t)\,dt \quad\text{et}\quad J=\int_0^1 5e^t\sin(2t)\,dt. \]

A) \(2J-I=e\cos(2)-1\)

B) \(2I+J=1-e\sin(2)\)

C) \(J=2+e\sin(2)-2e\cos(2)\)

D) \(I=2+e\cos(2)-2e\sin(2)\)

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 4

Énoncé

Si une fonction \(f\) est définie en un point \(a\), alors nécessairement :

A) \(f\) est continue en \(a\).

B) \(\ln(f)\) est définie en \(a\).

C) \(\dfrac1f\) est définie en \(a\).

D) \(e^f\) est définie en \(a\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 5

Énoncé

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\).

On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives :

\[ z_A=1,\qquad z_B=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]

Soit \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses.

A) L’affixe du point \(C\) est \(z_C=-\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

B) Le triangle \(ABC\) est équilatéral.

C) Le module \(|z_B-z_A|=2\).

D) Le triangle \(ABC\) est isocèle.

E) L’affixe du point \(C\) est \(z_C=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Question 6

Énoncé

Choisir la bonne réponse :

A) La solution de \(y''-2y'-8y=0\), avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\), est \(y=e^{-2x}+2e^{4x}\).

B) Le nombre \((e^{i\theta})^m\), avec \(m\in\mathbb Z\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(\cos(m\theta)+i\sin(m\theta)\).

C) Le nombre \((e^{i\theta})^m\), avec \(m\in\mathbb Z\) et \(\theta\in\mathbb R\), est égal à \(m(\cos\theta+i\sin\theta)\).

D) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est une sphère.

E) L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) tels que \(x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0\) est vide.

Question 7

Énoncé

On considère la fonction \(f_n\) définie par :

\[ f_n(x)=nxe^{-nx}, \]

pour tout réel \(x\in[0,+\infty[\), avec \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\). On note \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n\).

A) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=+\infty\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty\).

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_n(x)=n\).

D) \(f'_n(x)=ne^{-nx}(nx-1)\).

E) Toutes les propositions sont fausses.

Question 8

Énoncé

On reprend les mêmes données de la question précédente.

A) La courbe \(C_n\) admet une asymptote d’équation \(y=1\).

B) La courbe \(C_n\) admet une asymptote d’équation \(y=e\).

C) \(f_n(x)\) présente un maximum au point de coordonnées \(\left(\dfrac1n,\dfrac1e\right)\).

D) \(f_n(x)\) présente un maximum au point de coordonnées \(\left(\dfrac1e,\dfrac1n\right)\).

E) \(f_n(x)\) présente un maximum au point de coordonnées \(\left(\dfrac1e,-\dfrac1n\right)\).

Question 9

Énoncé

On reprend les mêmes données de la question 7. On note \(C_1\) et \(C_2\) les courbes représentatives de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\).

A) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points.

B) Dans l’intervalle \(]\ln2,+\infty[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

C) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) ne se coupent pas.

D) Dans l’intervalle \(]0,\ln2[\), \(C_2\) est en dessous de \(C_1\).

E) Les deux courbes \(C_1\) et \(C_2\) se coupent en deux points d’abscisses \(e^2\) et \(e\).

Question 10

Énoncé

On reprend les mêmes données de la question 7.

L’aire du domaine compris entre \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=\ln2\) est :

A) \(\dfrac12(\ln2-1)\)

B) \(\ln2-1\)

C) \(1-\ln2\)

D) \(\dfrac{1-\ln2}{2}\)

E) Toutes les réponses proposées sont fausses.

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs questions demandent de juger des propositions séparément. Il faut donc contrôler chaque affirmation par un calcul rapide ou par une propriété du cours.

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