Correction Concours Médecine Oujda 2018 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie d’Oujda — année universitaire 2017-2018.
Correction détaillée des questions 1 à 10.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Oujda 2018.
Chaque proposition est contrôlée par un calcul direct, une propriété du cours ou une interprétation géométrique.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Somme trigonométrique et nombre complexe
On pose :
\[ A=1+\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right) \]et
\[ B=\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{9\pi}{5}\right). \]On considère le nombre complexe \(z=A+iB\). Le nombre complexe \(z\) est égal à :
Une somme de cosinus et sinus peut être regroupée sous la forme d’une somme d’exponentielles complexes.
On remarque que :
\[ \cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}. \]Donc :
\[ z=1+\sum_{k=1}^{9}\left(\cos\frac{k\pi}{5}+i\sin\frac{k\pi}{5}\right). \]Ainsi :
\[ z=\sum_{k=0}^{9}e^{ik\frac{\pi}{5}}. \]C’est une somme géométrique de raison :
\[ q=e^{i\frac{\pi}{5}}. \]Comme :
\[ q^{10}=e^{i2\pi}=1 \quad\text{et}\quad q\ne1, \]on obtient :
\[ z=\frac{1-q^{10}}{1-q}=0. \]Question 2 — Fonction logarithmique
Soit \(f\) la fonction numérique définie pour la variable réelle \(x\) par :
\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2). \]Pour une fonction logarithmique, on commence par contrôler la stricte positivité de l’expression à l’intérieur du logarithme.
On écrit :
\[ x^2-2x+2=(x-1)^2+1. \]Cette quantité est strictement positive pour tout réel \(x\). Donc le domaine de définition est :
\[ \mathbb R. \]La proposition A est correcte.
Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ x^2-2x+2\to+\infty. \]Donc :
\[ f(x)=2\ln(x^2-2x+2)\to+\infty. \]La proposition B est fausse.
Au voisinage de \(0\), on a :
\[ f(0)=2\ln2\ne0. \]Donc \(\dfrac{f(x)}{x}\) n’a pas pour limite \(0\) lorsque \(x\to0\). La proposition C est fausse.
On dérive :
\[ f'(x)=2\frac{2x-2}{x^2-2x+2} = \frac{4(x-1)}{(x-1)^2+1}. \]Donc :
\[ f''(x)=4\frac{((x-1)^2+1)-2(x-1)^2}{((x-1)^2+1)^2}. \]Ainsi :
\[ f''(x)=4\frac{1-(x-1)^2}{((x-1)^2+1)^2}. \]Or :
\[ 1-(x-1)^2=2x-x^2=x(2-x). \]Donc :
\[ f''(x)=\frac{4x(2-x)}{\left((x-1)^2+1\right)^2}. \]La proposition D est correcte.
Enfin, au voisinage de \(+\infty\), \(f(x)\) est de l’ordre de \(4\ln x\), donc :
\[ \frac{f(x)}{x}\to0. \]La proposition E est fausse.
Question 3 — Intégrales avec \(e^t\cos(2t)\) et \(e^t\sin(2t)\)
On considère :
\[ I=\int_0^1 5e^t\cos(2t)\,dt \quad\text{et}\quad J=\int_0^1 5e^t\sin(2t)\,dt. \]Les intégrales de \(e^t\cos(2t)\) et \(e^t\sin(2t)\) se traitent efficacement en regroupant \(I+iJ\).
On pose :
\[ I+iJ=5\int_0^1 e^t(\cos2t+i\sin2t)\,dt. \]Donc :
\[ I+iJ=5\int_0^1 e^{(1+2i)t}\,dt. \]Alors :
\[ I+iJ=5\frac{e^{1+2i}-1}{1+2i}. \]Comme :
\[ \frac{5}{1+2i}=1-2i, \]on obtient :
\[ I+iJ=(e(\cos2+i\sin2)-1)(1-2i). \]En identifiant les parties réelles et imaginaires :
\[ I=e\cos2-1+2e\sin2, \]et :
\[ J=e\sin2-2e\cos2+2. \]Donc :
\[ J=2+e\sin2-2e\cos2. \]Question 4 — Fonction définie en un point
Si une fonction \(f\) est définie en un point \(a\), alors nécessairement :
Si \(f(a)\) existe comme nombre réel, alors \(e^{f(a)}\) existe toujours.
Le fait que \(f\) soit définie en \(a\) signifie seulement que \(f(a)\) existe.
Cela n’implique pas la continuité en \(a\). La proposition A est fausse.
La fonction \(\ln(f)\) est définie en \(a\) seulement si :
\[ f(a)>0. \]Ce n’est pas nécessairement vrai. La proposition B est fausse.
La fonction \(\dfrac1f\) est définie en \(a\) seulement si :
\[ f(a)\ne0. \]Ce n’est pas nécessairement vrai. La proposition C est fausse.
En revanche, pour tout réel \(f(a)\), le nombre \(e^{f(a)}\) existe. Donc \(e^f\) est définie en \(a\).
Question 5 — Géométrie complexe
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec u,\vec v)\).
On considère les points \(A\) et \(B\) d’affixes respectives :
\[ z_A=1,\qquad z_B=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]Soit \(C\) le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses.
Le symétrique d’un point par rapport à l’axe réel a pour affixe le conjugué de l’affixe initiale.
Comme \(C\) est le symétrique de \(B\) par rapport à l’axe des abscisses, son affixe est le conjugué de \(z_B\) :
\[ z_C=\overline{z_B}=-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}. \]La proposition A est correcte et la proposition E est fausse.
On calcule :
\[ |z_B-z_A| = \left|-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}-1\right| = \left|-\frac32+i\frac{\sqrt3}{2}\right|. \]Donc :
\[ |z_B-z_A|=\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3. \]La proposition C est fausse.
De même :
\[ |z_C-z_A|=\sqrt3. \]Enfin :
\[ |z_B-z_C| = \left|i\sqrt3\right| = \sqrt3. \]Les trois côtés sont égaux. Donc \(ABC\) est équilatéral.
Un triangle équilatéral est aussi isocèle.
Question 6 — Équation différentielle, De Moivre et sphère
Choisir la bonne réponse :
On juge chaque proposition séparément : équation caractéristique, formule de De Moivre et complétion des carrés.
Pour l’équation différentielle :
\[ r^2-2r-8=0. \]Donc :
\[ (r-4)(r+2)=0. \]La solution générale est :
\[ y(x)=\alpha e^{4x}+\beta e^{-2x}. \]Avec \(y(0)=1\) et \(y'(0)=2\), on obtient :
\[ \alpha+\beta=1, \qquad 4\alpha-2\beta=2. \]Donc :
\[ \alpha=\frac23,\qquad \beta=\frac13. \]La proposition A est fausse.
Par la formule de De Moivre :
\[ (e^{i\theta})^m=e^{im\theta}=\cos(m\theta)+i\sin(m\theta). \]La proposition B est correcte et la proposition C est fausse.
Pour l’équation de l’ensemble de points :
\[ x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z+3=0. \]On complète les carrés :
\[ (x-1)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=3. \]C’est une sphère de centre \((1,-2,-1)\) et de rayon \(\sqrt3\).
La proposition D est correcte et la proposition E est fausse.
Question 7 — Suite de fonctions
On considère la fonction \(f_n\) définie par :
\[ f_n(x)=nxe^{-nx}, \]pour tout réel \(x\in[0,+\infty[\), avec \(n\) un entier supérieur ou égal à \(1\). On note \(C_n\) la courbe représentative de \(f_n\).
L’exponentielle \(e^{-nx}\) l’emporte sur le facteur polynomial \(x\) lorsque \(x\to+\infty\).
Lorsque \(x\to+\infty\), on a :
\[ xe^{-nx}\to0. \]Donc :
\[ f_n(x)=nxe^{-nx}\to0. \]Les propositions A, B et C sont fausses.
Calculons la dérivée :
\[ f'_n(x)=n\left(e^{-nx}+x(-n)e^{-nx}\right). \]Donc :
\[ f'_n(x)=ne^{-nx}(1-nx). \]La proposition D donne l’opposé :
\[ ne^{-nx}(nx-1). \]Elle est donc fausse.
Par conséquent, toutes les propositions A, B, C et D sont fausses.
Question 8 — Maximum de \(f_n\)
On reprend les mêmes données de la question précédente.
Le maximum se trouve en étudiant le signe de \(f'_n(x)=ne^{-nx}(1-nx)\).
D’après la question précédente :
\[ f'_n(x)=ne^{-nx}(1-nx). \]Comme \(ne^{-nx}>0\), le signe de \(f'_n(x)\) est celui de :
\[ 1-nx. \]Donc \(f'_n(x)>0\) si \(x<\dfrac1n\), et \(f'_n(x)<0\) si \(x>\dfrac1n\).
La fonction admet donc un maximum pour :
\[ x=\frac1n. \]La valeur maximale est :
\[ f_n\left(\frac1n\right) = n\cdot\frac1n\cdot e^{-1} = \frac1e. \]Le point de maximum est :
\[ \left(\frac1n,\frac1e\right). \]Question 9 — Position relative de \(C_1\) et \(C_2\)
On reprend les mêmes données de la question 7. On note \(C_1\) et \(C_2\) les courbes représentatives de \(f_1(x)\) et \(f_2(x)\).
Pour trouver les points d’intersection, on résout \(f_1(x)=f_2(x)\).
On a :
\[ f_1(x)=xe^{-x}, \qquad f_2(x)=2xe^{-2x}. \]On résout :
\[ xe^{-x}=2xe^{-2x}. \]Pour \(x=0\), l’égalité est vraie.
Pour \(x>0\), on divise par \(xe^{-2x}\) :
\[ e^x=2. \]Donc :
\[ x=\ln2. \]Les deux courbes se coupent donc en deux points : pour \(x=0\) et pour \(x=\ln2\). La proposition A est correcte.
Pour \(x>\ln2\), on a :
\[ e^x>2. \]Donc :
\[ xe^{-x}>2xe^{-2x}. \]Ainsi :
\[ f_1(x)>f_2(x). \]Donc \(C_2\) est en dessous de \(C_1\) sur \(]\ln2,+\infty[\). La proposition B est correcte.
Sur \(]0,\ln2[\), on a \(e^x<2\), donc \(f_2(x)>f_1(x)\). La proposition D est fausse.
Question 10 — Calcul d’aire
On reprend les mêmes données de la question 7.
L’aire du domaine compris entre \(C_1\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=0\) et \(x=\ln2\) est :
L’aire sous la courbe de \(f_1(x)=xe^{-x}\) entre \(0\) et \(\ln2\) est l’intégrale de \(f_1\) sur cet intervalle.
L’aire cherchée est :
\[ \mathcal A=\int_0^{\ln2}xe^{-x}\,dx. \]On utilise une intégration par parties, ou la primitive :
\[ \int xe^{-x}\,dx=-(x+1)e^{-x}+C. \]Donc :
\[ \mathcal A=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_0^{\ln2}. \]Pour \(x=\ln2\) :
\[ -(\ln2+1)e^{-\ln2} = -\frac{\ln2+1}{2}. \]Pour \(x=0\) :
\[ -(0+1)e^0=-1. \]Ainsi :
\[ \mathcal A = -\frac{\ln2+1}{2}+1 = \frac{1-\ln2}{2}. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, plusieurs questions exigent de juger des propositions séparément. Il faut donc contrôler chaque affirmation, puis retenir uniquement celles qui sont compatibles avec les calculs.
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