Concours Médecine Rabat 2016 — Énoncé Mathématiques

Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat.

Session du mercredi 27 juillet 2016 — Épreuve de mathématiques — Questions 1 à 10.

Cette page présente l’énoncé de la partie mathématiques du concours d’accès en première année de Médecine à Rabat en 2016.

Les questions portent sur les nombres complexes, les suites, les limites, les intégrales, la dérivation et les probabilités.

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Données de l’énoncé

• Concours : Médecine.
• Ville : Rabat.
• Université : Université Mohammed V de Rabat.
• Faculté : Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat.
• Date indiquée : mercredi 27 juillet 2016.
• Épreuve : Mathématiques.
• Durée indiquée : 30 minutes.
• Questions : 1 à 10.

Consignes

• Pour chaque question, quatre propositions sont données : A, B, C et D.
• Il n’y a qu’une seule bonne réponse par question.
• La calculatrice n’est pas nécessaire pour traiter les questions proposées.

Accès rapide aux questions

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Soit \(x\) un nombre réel. L’expression :

\[ \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^4 \]

est égale à :

A) \(-16\sin^4x\).

B) \(16\sin^4x\).

C) \(16\cos^4x\).

D) \(-16\cos^4x\).

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Question 2

Énoncé

Soit \(x\) un nombre réel tel que :

\[ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]

L’expression :

\[ \frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1} \]

est égale à :

A) \(\displaystyle \frac{i}{\tan x}\).

B) \(\tan x\).

C) \(i\tan x\).

D) \(-i\tan x\).

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Question 3

Énoncé

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_n=\frac{e^n-2^n}{3^n-5^n}. \]

On a :

A) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=\frac e3\).

B) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=-\frac25\).

C) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

D) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

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Question 4

Énoncé

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on considère la suite \((v_n)\) définie par :

\[ v_n=\frac{\ln(5n)}{\ln(3n)}. \]

On a :

A) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=0\).

B) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=\frac53\).

C) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=\frac{\ln5}{\ln3}\).

D) \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}v_n=1\).

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Question 5

Énoncé

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on considère :

\[ w_n=\int_0^1 t^n e^{-t}\,dt. \]

La relation correcte est :

A) \(\displaystyle w_{n+1}+(n+1)w_n=\frac1e\).

B) \(\displaystyle w_{n+1}-(n+1)w_n=-\frac1e\).

C) \(w_n\le0\).

D) La suite \((w_n)\) est croissante.

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Question 6

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R^*\) par :

\[ f(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}. \]

Alors :

A) \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\).

B) \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=1\).

C) \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=0\).

D) \(\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\).

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Question 7

Énoncé

On reprend la fonction :

\[ f(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}, \qquad x\in\mathbb R^*. \]

Pour tout \(x\in D_f\), la dérivée \(f'(x)\) vérifie :

A) \(\displaystyle f'(x)=\frac1{x^3}f(x)\).

B) \(\displaystyle f'(x)=\frac{3x^2-1}{x^3}f(x)\).

C) \(\displaystyle f'(x)=-\frac1{x^3}f(x)\).

D) \(\displaystyle f'(x)=\frac{-3x^2+2}{x^3}f(x)\).

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Question 8

Énoncé

On reprend la fonction :

\[ f(x)=\frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}}. \]

On pose :

\[ I=\int_1^2 f(x)\,dx. \]

La valeur de \(I\) est :

A) \(\displaystyle I=\frac12\left(e^{-\frac14}+e^{-1}\right)\).

B) \(\displaystyle I=\frac12e^{-\frac14}\).

C) \(\displaystyle I=\frac12\left(e^{-\frac14}-e^{-1}\right)\).

D) \(\displaystyle I=\frac12e^{-1}\).

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Question 9

Énoncé

Une urne contient neuf boules indiscernables au toucher :

• cinq boules rouges numérotées de \(1\) à \(5\) ;
• quatre boules noires numérotées de \(1\) à \(4\).

On tire simultanément deux boules. On considère les événements :

\(A\) : « les deux boules tirées sont de même couleur » ;

\(B\) : « les deux boules tirées portent un numéro pair ».

La probabilité \(P(A\cap B)\) est :

A) \(\dfrac29\).

B) \(\dfrac1{18}\).

C) \(\dfrac1{36}\).

D) \(\dfrac49\).

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Question 10

Énoncé

On reprend les événements \(A\) et \(B\) définis dans la question précédente.

La probabilité conditionnelle de \(B\) sachant que l’événement contraire de \(A\) est réalisé est :

A) \(\displaystyle P_{\overline A}(B)=\frac1{18}\).

B) \(\displaystyle P_{\overline A}(B)=\frac{17}{18}\).

C) \(\displaystyle P_{\overline A}(B)=\frac14\).

D) \(\displaystyle P_{\overline A}(B)=\frac15\).

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Conseil aux élèves

Cette épreuve est courte et structurée en quatre exercices. Il faut reconnaître rapidement les identités complexes, les résultats de limites, l’intégration par parties et les règles de dénombrement.

Ressources liées

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