Correction Concours Médecine Rabat 2016 — Mathématiques
Université Mohammed V de Rabat — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat.
Session 2016 — Correction détaillée des questions 1 à 10.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Rabat 2016.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une correction détaillée et la réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Identité complexe et trigonométrie
Soit \(x\in\mathbb R\). Calculer :
\[ \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^4. \]La formule d’Euler donne : \[ e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x. \]
Or :
\[ (2i)^4=2^4i^4=16. \]Par conséquent :
\[ \left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^4 =16\sin^4x. \]Question 2 — Quotient complexe
Soit \(x\in\mathbb R\), avec \(x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\). Simplifier :
\[ \frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1}. \]On fait apparaître \(e^{ix}-e^{-ix}\) et \(e^{ix}+e^{-ix}\).
On factorise \(e^{ix}\) au numérateur et au dénominateur :
\[ e^{2ix}-1=e^{ix}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right), \] \[ e^{2ix}+1=e^{ix}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right). \]Ainsi :
\[ \frac{e^{2ix}-1}{e^{2ix}+1} = \frac{2i\sin x}{2\cos x} =i\tan x. \]La condition donnée assure que \(\cos x\ne0\).
Question 3 — Limite d’une suite exponentielle
On divise le numérateur et le dénominateur par la puissance dominante du dénominateur, ici \(5^n\).
Comme :
\[ 0\lt\frac e5\lt1,\qquad 0\lt\frac25\lt1,\qquad 0\lt\frac35\lt1, \]on obtient :
\[ \left(\frac e5\right)^n\to0,\qquad \left(\frac25\right)^n\to0,\qquad \left(\frac35\right)^n\to0. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n = \frac{0-0}{0-1}=0. \]Question 4 — Limite d’un quotient logarithmique
\[ \ln(ab)=\ln a+\ln b. \]
On divise le numérateur et le dénominateur par \(\ln n\) :
\[ v_n = \frac{1+\frac{\ln5}{\ln n}} {1+\frac{\ln3}{\ln n}}. \]Lorsque \(n\to+\infty\), \(\ln n\to+\infty\), donc :
\[ \frac{\ln5}{\ln n}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac{\ln3}{\ln n}\to0. \]Ainsi :
\[ \lim_{n\to+\infty}v_n=1. \]Question 5 — Relation de récurrence intégrale
On applique une intégration par parties à \(w_{n+1}\).
On pose :
\[ u(t)=t^{n+1}, \qquad v'(t)=e^{-t}. \]Alors :
\[ u'(t)=(n+1)t^n, \qquad v(t)=-e^{-t}. \]Par intégration par parties :
\[ w_{n+1} = \left[-t^{n+1}e^{-t}\right]_0^1 +(n+1)\int_0^1 t^ne^{-t}\,dt. \]Donc :
\[ w_{n+1} = -\frac1e+(n+1)w_n. \]Finalement :
\[ w_{n+1}-(n+1)w_n=-\frac1e. \]Question 6 — Limite avec une exponentielle
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)\).
L’exponentielle \(e^{-t}\) tend vers \(0\) plus rapidement que toute puissance de \(t\) ne tend vers \(+\infty\).
Posons :
\[ t=\frac1{x^2}. \]Lorsque \(x\to0^+\), on a \(t\to+\infty\). De plus :
\[ \frac1{x^3} = \left(\frac1{x^2}\right)^{3/2} =t^{3/2}. \]Ainsi :
\[ f(x)=t^{3/2}e^{-t}. \]Par croissance comparée :
\[ \lim_{t\to+\infty}t^{3/2}e^{-t}=0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]Question 7 — Dérivation d’un produit
Exprimer \(f'(x)\) en fonction de \(f(x)\).
On écrit \(f(x)=x^{-3}e^{-1/x^2}\), puis on utilise la dérivée d’un produit et celle d’une fonction composée.
D’autre part :
\[ \left(-\frac1{x^2}\right)'=\frac2{x^3}. \]Donc :
\[ f'(x) = -3x^{-4}e^{-\frac1{x^2}} +x^{-3}\frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}. \]On factorise \(f(x)=x^{-3}e^{-1/x^2}\) :
\[ f'(x) = \left(-\frac3x+\frac2{x^3}\right)f(x). \]Ainsi :
\[ f'(x) = \frac{-3x^2+2}{x^3}f(x). \]Question 8 — Calcul d’une intégrale
\[ \left(e^{-\frac1{x^2}}\right)' = \frac2{x^3}e^{-\frac1{x^2}}. \]
On en déduit :
\[ \frac1{x^3}e^{-\frac1{x^2}} = \frac12\left(e^{-\frac1{x^2}}\right)'. \]Donc :
\[ I = \frac12\left[e^{-\frac1{x^2}}\right]_1^2. \]Ainsi :
\[ I = \frac12\left(e^{-\frac14}-e^{-1}\right). \]Question 9 — Tirage simultané
Une urne contient cinq boules rouges numérotées de \(1\) à \(5\) et quatre boules noires numérotées de \(1\) à \(4\). On tire simultanément deux boules.
\(A\) : « les deux boules sont de même couleur » ;
\(B\) : « les deux boules portent un numéro pair ».
Calculer \(P(A\cap B)\).
Dans un tirage simultané, l’ordre ne compte pas. Le nombre total de tirages est \(\mathrm C_9^2\).
Les boules rouges portant un numéro pair sont \(R_2\) et \(R_4\). Les boules noires portant un numéro pair sont \(N_2\) et \(N_4\).
Pour réaliser \(A\cap B\), on doit tirer :
— les deux boules rouges paires : une possibilité ;
— ou les deux boules noires paires : une possibilité.
Le nombre de cas favorables est donc :
\[ \mathrm C_2^2+\mathrm C_2^2=1+1=2. \]Le nombre total de tirages est :
\[ \mathrm C_9^2=36. \]Ainsi :
\[ P(A\cap B)=\frac2{36}=\frac1{18}. \]Question 10 — Probabilité conditionnelle
Avec les mêmes données, calculer :
\[ P_{\overline A}(B)=P(B\mid\overline A). \]\[ P(B\mid\overline A) = \frac{P(B\cap\overline A)}{P(\overline A)}. \] On peut calculer directement cette probabilité en travaillant dans l’univers des tirages de deux boules de couleurs différentes.
L’événement \(\overline A\) signifie que les deux boules sont de couleurs différentes.
On choisit alors une boule rouge parmi cinq et une boule noire parmi quatre :
\[ 5\times4=20 \]tirages possibles.
Pour réaliser en plus \(B\), les deux numéros doivent être pairs. Il existe deux boules rouges paires et deux boules noires paires, donc :
\[ 2\times2=4 \]tirages favorables.
Par conséquent :
\[ P(B\mid\overline A) = \frac4{20} = \frac15. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, les questions sont regroupées par thème. Il est utile de conserver les résultats d’une question pour la suivante, notamment pour la fonction étudiée aux questions 6 à 8 et pour les événements probabilistes des questions 9 et 10.
Commentaires
Enregistrer un commentaire