Concours Médecine Rabat 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat — épreuve de mathématiques.

Jeudi 27 juillet 2017 — Questions 1 à 10.

Compétences et points clés

Rabat Médecine 2017 propose des questions liées sur un complexe, une fonction rationnelle, une intégrale et des tirages. Il permet de travailler la cohérence des écritures : un module est positif et une intégrale dépend du signe de ses bornes et de son intégrande.

Prérequis à revoir : conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles; événements, intersections et arbres pondérés.

Rappels de cours utiles

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour le complexe initial écrit avec un coefficient négatif, distinguer ce coefficient du module. Pour la fonction rationnelle, conserver les exclusions de domaine lors des simplifications. Dans les tirages successifs, suivre les couleurs et l’événement qui devient connu avant de calculer la probabilité finale.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès en première année Médecine — Rabat 2017.

Les questions portent sur les nombres complexes, l’étude de fonctions, les primitives, les intégrales et les probabilités conditionnelles.

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Données de l’énoncé

Concours : première année Médecine.
Ville : Rabat.
Date indiquée : jeudi 27 juillet 2017.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Questions : 1 à 10.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, quatre propositions sont données : A, B, C et D.
Une ou plusieurs propositions peuvent être vraies.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Exercice 1. Soit le nombre complexe :

\[ z=-5\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right). \]

\(\arg(z)\) est congru à :

A) \(-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

B) \(\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

C) \(\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\)

D) \(-\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\)

Question 2

Énoncé

Avec le même nombre complexe \(z\), la forme exponentielle de \(z\) est :

A) \(5e^{i\frac{5\pi}{6}}\)

B) \(5e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)

C) \(-5e^{i\frac{\pi}{6}}\)

D) \(5e^{i\frac{7\pi}{6}}\)

Question 3

Énoncé

Avec le même nombre complexe \(z\), la forme trigonométrique de \(\dfrac1z\) est :

A) \(\dfrac15\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

B) \(5\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

C) \(5\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\)

D) \(\dfrac15\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\)

Question 4

Énoncé

Exercice 2. Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=(x+1)e^{\frac1x}\quad \text{si }x\gt0, \]

\[ f(0)=0. \]

Sur \(]0,+\infty[\), on a :

A) \(f'(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^2}e^{\frac1x}\)

B) \(f'(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x^2}e^{\frac1x}\)

C) \(f'(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}e^{\frac1x}\)

D) \(f'(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2}e^{\frac1x}\)

Question 5

Énoncé

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 2, parmi les propositions suivantes :

A) \(f\) est continue à droite en \(0\).

B) \(f\) est dérivable à droite en \(0\).

C) \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y=x+2\) au voisinage de \(+\infty\).

D) \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\).

Question 6

Énoncé

Exercice 3. Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\) par :

\[ f(x)=\frac{x}{(x^2-1)^2}, \]

et soit l’intégrale :

\[ I=\int_2^3 f(x)\,dx. \]

Une primitive de \(f\) sur \([2,3]\) est \(F\) telle que :

A) \(F(x)=\dfrac1{2(x^2-1)}\)

B) \(F(x)=\dfrac{-1}{2(x^2-1)}\)

C) \(F(x)=\dfrac1{2(x^2-1)}+2\)

D) \(F(x)=\dfrac{-1}{2(x^2-1)}+2\)

Question 7

Énoncé

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, la valeur de l’intégrale

\[ I=\int_2^3 f(x)\,dx \]

est :

A) \(I=\dfrac5{48}\)

B) \(I=-\dfrac5{48}\)

C) \(I=\dfrac{15}{48}\)

D) \(I=-\dfrac{15}{48}\)

Question 8

Énoncé

Exercice 4. Une urne contient \(5\) boules blanches et \(4\) boules rouges indiscernables au toucher.

On effectue trois tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante : si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne avant le tirage suivant ; si elle est blanche, on ne la remet pas.

On considère l’événement :

\[ E_1:\ \text{« seule la première boule tirée est blanche »}. \]

Alors :

A) \(P(E_1)=\dfrac59\)

B) \(P(E_1)=\dfrac49\)

C) \(P(E_1)=\dfrac59\left(\dfrac12\right)^2\)

D) \(P(E_1)=\dfrac59\times\dfrac49\)

Question 9

Énoncé

Avec les données de l’exercice 4, on considère l’événement :

\[ E_2:\ \text{« seule la deuxième boule tirée est blanche »}. \]

Alors :

A) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac48\times\dfrac48\)

B) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac48\)

C) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac49\)

D) \(P(E_2)=3\left(\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac48\right)\)

Question 10

Énoncé

Avec les données de l’exercice 4, sachant que l’on a obtenu une seule boule blanche à l’issue des trois tirages, la probabilité que cette boule ait été tirée en premier est :

A) \(\dfrac{64}{217}\)

B) \(\dfrac{81}{217}\)

C) \(\dfrac9{217}\)

D) \(\dfrac{36}{217}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs propositions peuvent être vraies. Il faut donc étudier chaque proposition séparément, surtout pour les formes complexes, les primitives et les probabilités.

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