Concours Médecine Rabat 2017 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat — épreuve de mathématiques.

Jeudi 27 juillet 2017 — Questions 1 à 10.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès en première année Médecine — Rabat 2017.

Les questions portent sur les nombres complexes, l’étude de fonctions, les primitives, les intégrales et les probabilités conditionnelles.

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Données de l’énoncé

Concours : première année Médecine.
Ville : Rabat.
Date indiquée : jeudi 27 juillet 2017.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée : 30 minutes.
Questions : 1 à 10.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, quatre propositions sont données : A, B, C et D.
Une ou plusieurs propositions peuvent être vraies.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Exercice 1. Soit le nombre complexe :

\[ z=-5\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right). \]

\(\arg(z)\) est congru à :

A) \(-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

B) \(\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

C) \(\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\)

D) \(-\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\)

Question 2

Énoncé

Avec le même nombre complexe \(z\), la forme exponentielle de \(z\) est :

A) \(5e^{i\frac{5\pi}{6}}\)

B) \(5e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)

C) \(-5e^{i\frac{\pi}{6}}\)

D) \(5e^{i\frac{7\pi}{6}}\)

Question 3

Énoncé

Avec le même nombre complexe \(z\), la forme trigonométrique de \(\dfrac1z\) est :

A) \(\dfrac15\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

B) \(5\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

C) \(5\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\)

D) \(\dfrac15\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\)

Question 4

Énoncé

Exercice 2. Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=(x+1)e^{\frac1x}\quad \text{si }x\gt0, \]

\[ f(0)=0. \]

Sur \(]0,+\infty[\), on a :

A) \(f'(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^2}e^{\frac1x}\)

B) \(f'(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x^2}e^{\frac1x}\)

C) \(f'(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}e^{\frac1x}\)

D) \(f'(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2}e^{\frac1x}\)

Question 5

Énoncé

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 2, parmi les propositions suivantes :

A) \(f\) est continue à droite en \(0\).

B) \(f\) est dérivable à droite en \(0\).

C) \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y=x+2\) au voisinage de \(+\infty\).

D) \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\).

Question 6

Énoncé

Exercice 3. Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\) par :

\[ f(x)=\frac{x}{(x^2-1)^2}, \]

et soit l’intégrale :

\[ I=\int_2^3 f(x)\,dx. \]

Une primitive de \(f\) sur \([2,3]\) est \(F\) telle que :

A) \(F(x)=\dfrac1{2(x^2-1)}\)

B) \(F(x)=\dfrac{-1}{2(x^2-1)}\)

C) \(F(x)=\dfrac1{2(x^2-1)}+2\)

D) \(F(x)=\dfrac{-1}{2(x^2-1)}+2\)

Question 7

Énoncé

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, la valeur de l’intégrale

\[ I=\int_2^3 f(x)\,dx \]

est :

A) \(I=\dfrac5{48}\)

B) \(I=-\dfrac5{48}\)

C) \(I=\dfrac{15}{48}\)

D) \(I=-\dfrac{15}{48}\)

Question 8

Énoncé

Exercice 4. Une urne contient \(5\) boules blanches et \(4\) boules rouges indiscernables au toucher.

On effectue trois tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante : si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne avant le tirage suivant ; si elle est blanche, on ne la remet pas.

On considère l’événement :

\[ E_1:\ \text{« seule la première boule tirée est blanche »}. \]

Alors :

A) \(P(E_1)=\dfrac59\)

B) \(P(E_1)=\dfrac49\)

C) \(P(E_1)=\dfrac59\left(\dfrac12\right)^2\)

D) \(P(E_1)=\dfrac59\times\dfrac49\)

Question 9

Énoncé

Avec les données de l’exercice 4, on considère l’événement :

\[ E_2:\ \text{« seule la deuxième boule tirée est blanche »}. \]

Alors :

A) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac48\times\dfrac48\)

B) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac48\)

C) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac49\)

D) \(P(E_2)=3\left(\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac48\right)\)

Question 10

Énoncé

Avec les données de l’exercice 4, sachant que l’on a obtenu une seule boule blanche à l’issue des trois tirages, la probabilité que cette boule ait été tirée en premier est :

A) \(\dfrac{64}{217}\)

B) \(\dfrac{81}{217}\)

C) \(\dfrac9{217}\)

D) \(\dfrac{36}{217}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs propositions peuvent être vraies. Il faut donc étudier chaque proposition séparément, surtout pour les formes complexes, les primitives et les probabilités.

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