Correction Concours Médecine Rabat 2017

Correction Concours Médecine Rabat 2017 — Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat — jeudi 27 juillet 2017.

Correction détaillée des questions 1 à 10.

Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Rabat 2017.

Plusieurs propositions peuvent être vraies dans une même question ; chaque proposition est donc analysée avec soin.

Voir l’énoncé Guide Médecine Page Concours

Tableau des réponses finales

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Réponse} & D&B,D&A&A&C&B,D&A&C&B&B \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1 — Argument d’un nombre complexe

Rappel complet de la question

Exercice 1. Soit le nombre complexe :

\[ z=-5\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right). \]

\(\arg(z)\) est congru à :

A) \(-\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

B) \(\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]\)

C) \(\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\)

D) \(-\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]\)

Rappel utile
Multiplier un complexe non nul par \(-1\) ajoute \(\pi\) à son argument.

Correction

On écrit :

\[ z=-5e^{i\frac{\pi}{6}}. \]

Comme :

\[ -1=e^{i\pi}, \]

on obtient :

\[ z=5e^{i\pi}e^{i\frac{\pi}{6}} =5e^{i\frac{7\pi}{6}}. \]

Donc un argument de \(z\) est :

\[ \frac{7\pi}{6}. \]

Or :

\[ \frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}. \]

Ainsi :

\[ \arg(z)\equiv -\frac{5\pi}{6}\ [2\pi]. \]

Idée utile : Le signe moins place le complexe dans le troisième quadrant.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 2 — Forme exponentielle

Rappel complet de la question

Avec le même nombre complexe \(z\), la forme exponentielle de \(z\) est :

A) \(5e^{i\frac{5\pi}{6}}\)

B) \(5e^{-i\frac{5\pi}{6}}\)

C) \(-5e^{i\frac{\pi}{6}}\)

D) \(5e^{i\frac{7\pi}{6}}\)

Rappel utile
Une forme exponentielle s’écrit avec un module positif : \(re^{i\theta}\), \(r\gt0\).

Correction

D’après la question précédente :

\[ z=5e^{i\frac{7\pi}{6}}. \]

Donc la proposition D est correcte.

De plus :

\[ \frac{7\pi}{6}-2\pi=-\frac{5\pi}{6}. \]

On peut donc aussi écrire :

\[ z=5e^{-i\frac{5\pi}{6}}. \]

Donc la proposition B est également correcte.

La proposition C représente bien le nombre donné au départ, mais ce n’est pas une forme exponentielle standard, car le coefficient devant l’exponentielle est négatif.

Idée utile : Deux arguments qui diffèrent de \(2\pi\) donnent le même nombre complexe.

Réponses correctes : \(\boxed{B\ \text{et}\ D}\)

Question 3 — Inverse d’un nombre complexe

Rappel complet de la question

Avec le même nombre complexe \(z\), la forme trigonométrique de \(\dfrac1z\) est :

A) \(\dfrac15\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

B) \(5\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)

C) \(5\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\)

D) \(\dfrac15\left(\cos\dfrac{7\pi}{6}+i\sin\dfrac{7\pi}{6}\right)\)

Rappel utile
Si \(z=re^{i\theta}\), alors \(\dfrac1z=\dfrac1r e^{-i\theta}\).

Correction

On peut écrire :

\[ z=5e^{i\frac{7\pi}{6}}. \]

Donc :

\[ \frac1z=\frac15e^{-i\frac{7\pi}{6}}. \]

Or :

\[ -\frac{7\pi}{6}+2\pi=\frac{5\pi}{6}. \]

Ainsi :

\[ \frac1z=\frac15e^{i\frac{5\pi}{6}}. \]

Donc :

\[ \frac1z=\frac15\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right). \]

Idée utile : L’inverse inverse le module et change le signe de l’argument.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 4 — Dérivée d’une fonction exponentielle

Rappel complet de la question

Exercice 2. Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=(x+1)e^{\frac1x}\quad \text{si }x\gt0, \]

\[ f(0)=0. \]

Sur \(]0,+\infty[\), on a :

A) \(f'(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x^2}e^{\frac1x}\)

B) \(f'(x)=\dfrac{x^2+x-1}{x^2}e^{\frac1x}\)

C) \(f'(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}e^{\frac1x}\)

D) \(f'(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2}e^{\frac1x}\)

Rappel utile
On dérive le produit \((x+1)e^{1/x}\).

Correction

Pour \(x\gt0\), on a :

\[ f(x)=(x+1)e^{\frac1x}. \]

Donc :

\[ f'(x)=1\cdot e^{\frac1x}+(x+1)e^{\frac1x}\left(-\frac1{x^2}\right). \]

On factorise :

\[ f'(x)=e^{\frac1x}\left(1-\frac{x+1}{x^2}\right). \]

Donc :

\[ f'(x)=e^{\frac1x}\left(\frac{x^2-x-1}{x^2}\right). \]

Ainsi :

\[ f'(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2}e^{\frac1x}. \]

Idée utile : La dérivée de \(e^{1/x}\) apporte le facteur \(-1/x^2\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 5 — Continuité et asymptote oblique

Rappel complet de la question

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 2, parmi les propositions suivantes :

A) \(f\) est continue à droite en \(0\).

B) \(f\) est dérivable à droite en \(0\).

C) \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y=x+2\) au voisinage de \(+\infty\).

D) \((C_f)\) admet une asymptote oblique d’équation \(y=x\) au voisinage de \(+\infty\).

Rappel utile
Pour une asymptote oblique \(y=ax+b\), on étudie \(f(x)-ax-b\) lorsque \(x\to+\infty\).

Correction

Lorsque \(x\to0^+\), on a :

\[ e^{\frac1x}\to+\infty. \]

Donc :

\[ (x+1)e^{\frac1x}\to+\infty. \]

Or \(f(0)=0\). Donc \(f\) n’est pas continue à droite en \(0\). La proposition A est fausse.

Comme la continuité à droite n’est pas vérifiée, la dérivabilité à droite en \(0\) est impossible. La proposition B est fausse.

Étudions l’asymptote au voisinage de \(+\infty\). On utilise :

\[ e^{\frac1x}=1+\frac1x+\frac{1}{2x^2}+\varepsilon(x)\frac1{x^2}, \qquad \varepsilon(x)\to0. \]

Alors :

\[ f(x)=(x+1)e^{\frac1x} =x+2+\frac{3}{2x}+\varepsilon_1(x)\frac1x, \]

avec \(\varepsilon_1(x)\to0\).

Donc :

\[ f(x)-(x+2)\to0. \]

La courbe admet donc l’asymptote oblique :

\[ y=x+2. \]

Idée utile : La fonction explose en \(0^+\), mais elle se comporte comme \(x+2\) à l’infini.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 6 — Primitive d’une fonction rationnelle

Rappel complet de la question

Exercice 3. Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\) par :

\[ f(x)=\frac{x}{(x^2-1)^2}, \]

et soit l’intégrale :

\[ I=\int_2^3 f(x)\,dx. \]

Une primitive de \(f\) sur \([2,3]\) est \(F\) telle que :

A) \(F(x)=\dfrac1{2(x^2-1)}\)

B) \(F(x)=\dfrac{-1}{2(x^2-1)}\)

C) \(F(x)=\dfrac1{2(x^2-1)}+2\)

D) \(F(x)=\dfrac{-1}{2(x^2-1)}+2\)

Rappel utile
On reconnaît la dérivée de \(x^2-1\), qui vaut \(2x\).

Correction

On cherche une primitive de :

\[ \frac{x}{(x^2-1)^2}. \]

Posons :

\[ u=x^2-1. \]

Alors :

\[ du=2x\,dx. \]

Donc :

\[ \int \frac{x}{(x^2-1)^2}\,dx = \frac12\int u^{-2}\,du. \]

Or :

\[ \frac12\int u^{-2}\,du = -\frac1{2u}+C. \]

Ainsi une primitive est :

\[ F(x)=-\frac1{2(x^2-1)}+C. \]

Les propositions B et D conviennent, car elles ne diffèrent que par une constante.

Idée utile : Deux primitives d’une même fonction peuvent différer d’une constante.

Réponses correctes : \(\boxed{B\ \text{et}\ D}\)

Question 7 — Calcul d’une intégrale

Rappel complet de la question

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, la valeur de l’intégrale

\[ I=\int_2^3 f(x)\,dx \]

est :

A) \(I=\dfrac5{48}\)

B) \(I=-\dfrac5{48}\)

C) \(I=\dfrac{15}{48}\)

D) \(I=-\dfrac{15}{48}\)

Rappel utile
On utilise une primitive trouvée à la question précédente.

Correction

Une primitive de \(f\) est :

\[ F(x)=-\frac1{2(x^2-1)}. \]

Donc :

\[ I=F(3)-F(2). \]

On calcule :

\[ F(3)=-\frac1{2(9-1)}=-\frac1{16}, \]

et :

\[ F(2)=-\frac1{2(4-1)}=-\frac16. \]

Ainsi :

\[ I=-\frac1{16}+\frac16. \]

Donc :

\[ I=\frac{-3+8}{48}=\frac5{48}. \]

Idée utile : La fonction est positive sur \([2,3]\), donc l’intégrale doit être positive.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 8 — Probabilité d’un tirage ordonné

Rappel complet de la question

Exercice 4. Une urne contient \(5\) boules blanches et \(4\) boules rouges indiscernables au toucher.

On effectue trois tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante : si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne avant le tirage suivant ; si elle est blanche, on ne la remet pas.

On considère l’événement :

\[ E_1:\ \text{« seule la première boule tirée est blanche »}. \]

Alors :

A) \(P(E_1)=\dfrac59\)

B) \(P(E_1)=\dfrac49\)

C) \(P(E_1)=\dfrac59\left(\dfrac12\right)^2\)

D) \(P(E_1)=\dfrac59\times\dfrac49\)

Rappel utile
Seule la première boule est blanche signifie : blanche, puis rouge, puis rouge.

Correction

L’événement \(E_1\) correspond à la succession :

\[ B,\ R,\ R. \]

Au premier tirage :

\[ P(B)=\frac59. \]

Après une boule blanche, elle n’est pas remise. Il reste \(4\) blanches et \(4\) rouges, donc \(8\) boules.

Au deuxième tirage :

\[ P(R|B)=\frac48=\frac12. \]

Comme la boule rouge est remise, la composition reste la même pour le troisième tirage :

\[ P(R|B,R)=\frac48=\frac12. \]

Donc :

\[ P(E_1)=\frac59\left(\frac12\right)^2. \]

Idée utile : Après une blanche, le total baisse ; après une rouge, le total ne change pas.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 9 — Probabilité d’un seul succès au deuxième tirage

Rappel complet de la question

Avec les données de l’exercice 4, on considère l’événement :

\[ E_2:\ \text{« seule la deuxième boule tirée est blanche »}. \]

Alors :

A) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac48\times\dfrac48\)

B) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac48\)

C) \(P(E_2)=\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac49\)

D) \(P(E_2)=3\left(\dfrac49\times\dfrac59\times\dfrac48\right)\)

Rappel utile
Seule la deuxième boule est blanche signifie : rouge, puis blanche, puis rouge.

Correction

L’événement \(E_2\) correspond à la succession :

\[ R,\ B,\ R. \]

Au premier tirage :

\[ P(R)=\frac49. \]

La boule rouge est remise, donc la composition de l’urne ne change pas.

Au deuxième tirage :

\[ P(B|R)=\frac59. \]

Après une boule blanche, elle n’est pas remise. Il reste \(4\) blanches et \(4\) rouges, donc \(8\) boules.

Au troisième tirage :

\[ P(R|R,B)=\frac48. \]

Donc :

\[ P(E_2)=\frac49\times\frac59\times\frac48. \]

Idée utile : Il ne faut pas multiplier par \(3\), car la position de la blanche est imposée.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 10 — Probabilité conditionnelle

Rappel complet de la question

Avec les données de l’exercice 4, sachant que l’on a obtenu une seule boule blanche à l’issue des trois tirages, la probabilité que cette boule ait été tirée en premier est :

A) \(\dfrac{64}{217}\)

B) \(\dfrac{81}{217}\)

C) \(\dfrac9{217}\)

D) \(\dfrac{36}{217}\)

Rappel utile
On calcule les trois cas possibles : blanche au premier, au deuxième ou au troisième tirage.

Correction

On note :

\[ E_1:\ B,R,R, \qquad E_2:\ R,B,R, \qquad E_3:\ R,R,B. \]

On a :

\[ P(E_1)=\frac59\cdot\frac48\cdot\frac48=\frac5{36}. \]

Et :

\[ P(E_2)=\frac49\cdot\frac59\cdot\frac48=\frac{10}{81}. \]

Enfin :

\[ P(E_3)=\frac49\cdot\frac49\cdot\frac59=\frac{80}{729}. \]

L’événement « une seule boule blanche » est :

\[ E_1\cup E_2\cup E_3. \]

Ces événements sont incompatibles, donc :

\[ P(E_1\cup E_2\cup E_3) = \frac5{36}+\frac{10}{81}+\frac{80}{729}. \]

On réduit au même dénominateur :

\[ \frac5{36}=\frac{405}{2916}, \quad \frac{10}{81}=\frac{360}{2916}, \quad \frac{80}{729}=\frac{320}{2916}. \]

Donc :

\[ P(E_1\cup E_2\cup E_3)=\frac{1085}{2916}. \]

La probabilité demandée est :

\[ P(E_1|E_1\cup E_2\cup E_3) = \frac{P(E_1)}{P(E_1\cup E_2\cup E_3)}. \]

Ainsi :

\[ \frac{\frac5{36}}{\frac{1085}{2916}} = \frac{405}{1085} = \frac{81}{217}. \]

Idée utile : On conditionne sur l’événement : exactement une seule boule blanche.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Conseil aux élèves

Dans ce format, une question peut avoir plusieurs réponses correctes. Les questions sur les primitives et les formes exponentielles exigent particulièrement de comparer toutes les propositions.

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