Concours Médecine Rabat 2018 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat — épreuve de mathématiques.

Samedi 21 juillet 2018 — Questions 1 à 10.

Compétences et points clés

Le sujet de Rabat 2018 relie des affixes complexes, une suite homographique et une étude logarithmique. Les propositions d’un même exercice doivent être examinées séparément : un calcul établi pour la première question peut servir à plusieurs affirmations suivantes.

Prérequis à revoir : conjugué, forme algébrique et forme trigonométrique; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; inéquations, signe d’un produit et intersections d’intervalles.

Rappels de cours utiles

Module et argument. Pour un complexe non nul, le module donne une longueur et l’argument une direction modulo un tour complet. Pour un quotient de complexes non nuls, les modules se divisent et les arguments se soustraient. Le complexe nul n’a pas d’argument ; cette exclusion compte dans les lieux géométriques.

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Domaines et expressions composées. Une racine carrée réelle exige un radicand positif ou nul, un logarithme exige un argument strictement positif et un quotient exige un dénominateur non nul. Ces conditions doivent être réunies simultanément avant toute simplification.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Conserver une écriture simplifiée des affixes et vérifier que les quotients utilisés existent. Pour la suite, exploiter la transformation auxiliaire proposée. Pour la fonction logarithmique, établir le domaine avant les limites et contrôler la dérivée avant de choisir une proposition.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès en première année Médecine — Rabat 2018.

Les questions portent sur les nombres complexes, les suites, les fonctions logarithmiques, les intégrales et les probabilités.

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Données de l’énoncé

Concours : Première année Médecine.
Ville : Rabat.
Date indiquée : samedi 21 juillet 2018.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 1 à 10.
Durée indiquée : 30 minutes.

Consignes

La partie mathématiques comporte 10 questions.
Pour chaque question, plusieurs propositions sont proposées : A, B, C et D.
Une ou plusieurs propositions peuvent être vraies selon la question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, on considère les points \(A,B,C,D,E\) d’affixes respectives :

\[ z_A=-1,\qquad z_B=-2+i\sqrt3,\qquad z_C=-\overline{z_B},\qquad z_D=\frac{z_B-1}{z_B+1},\qquad z_E=1. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(z_B+1=2e^{i\frac{\pi}{3}}\)

B) \(z_B+1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)

C) \(z_B+1=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\)

D) \(z_B+1=4e^{i\frac{\pi}{3}}\)

Question 2

Énoncé

Avec les mêmes données de l’exercice 1, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(z_D=\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)\)

B) \(z_D=3\left(\dfrac{i}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

C) \(z_D=\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)\)

D) \(z_D=3\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

Question 3

Énoncé

Avec les mêmes données de l’exercice 1, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=\frac12\)

B) \(\displaystyle\frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=-\frac12\)

C) \(\displaystyle\frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=\frac{i}{2}\)

D) Les points \(C,D,E\) sont alignés.

Question 4

Énoncé

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite numérique définie par :

\[ u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+2}. \]

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ v_n=\frac{u_n}{u_n+1}. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\forall n\ge0,\quad v_{n+1}=\dfrac12v_n\)

B) \(\forall n\ge0,\quad v_{n+1}=1+v_n\)

C) \(\forall n\ge0,\quad v_n=\left(\dfrac12\right)^n\)

D) \(\forall n\ge0,\quad v_n=\left(\dfrac12\right)^{n+1}\)

Question 5

Énoncé

Avec la suite \((u_n)\) de l’exercice 2, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\)

B) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\)

C) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-1\)

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)

Question 6

Énoncé

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\)

B) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\)

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)

D) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\)

Question 7

Énoncé

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\)

B) \(\displaystyle f'(x)=\frac{1+\ln x}{x^2}\)

C) \(\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}\)

D) \(\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x(2-x\ln x)}{x^2}\)

Question 8

Énoncé

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=\frac56\)

B) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=\frac13\)

C) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=1\)

D) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=e\)

Question 9

Énoncé

On lance un dé cubique trois fois de suite. Soit \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le nombre \(6\) apparaît.

Les paramètres \(n\) et \(p\) de la variable aléatoire \(X\) sont :

A) \(n=3\ \text{et}\ p=\dfrac12\)

B) \(n=6\ \text{et}\ p=\dfrac12\)

C) \(n=3\ \text{et}\ p=\dfrac13\)

D) \(n=3\ \text{et}\ p=\dfrac16\)

Question 10

Énoncé

Avec la variable aléatoire \(X\) de l’exercice 4, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle P(X=2)=\frac38\)

B) \(\displaystyle P(X=2)=\frac5{72}\)

C) \(\displaystyle P(X=3)=\frac5{24}\)

D) \(\displaystyle P(X=3)=\frac1{216}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs propositions peuvent être vraies. Il faut donc étudier chaque proposition séparément et ne pas s’arrêter dès qu’une réponse semble correcte.

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