Correction Concours Médecine Rabat 2018

Correction Concours Médecine Rabat 2018 — Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat — samedi 21 juillet 2018.

Correction détaillée des questions 1 à 10.

Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Rabat 2018.

Plusieurs propositions peuvent être vraies dans une même question ; chaque proposition est donc analysée avec soin.

Voir l’énoncé Guide Médecine Page Concours

Tableau des réponses finales

\[ \begin{array}{c|cccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline \text{Réponse} & B&C&A,D&A,D&B&B,D&C&B&D&B,D \end{array} \]

Correction détaillée question par question

Question 1 — Forme exponentielle d’un complexe

Rappel complet de la question

Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, on considère les points \(A,B,C,D,E\) d’affixes respectives :

\[ z_A=-1,\qquad z_B=-2+i\sqrt3,\qquad z_C=-\overline{z_B},\qquad z_D=\frac{z_B-1}{z_B+1},\qquad z_E=1. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(z_B+1=2e^{i\frac{\pi}{3}}\)

B) \(z_B+1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)

C) \(z_B+1=2e^{-i\frac{\pi}{3}}\)

D) \(z_B+1=4e^{i\frac{\pi}{3}}\)

Rappel utile
Pour écrire un complexe sous forme exponentielle, on calcule son module puis un argument.

Correction

On a :

\[ z_B+1=(-2+i\sqrt3)+1=-1+i\sqrt3. \]

Son module est :

\[ |z_B+1|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=2. \]

Comme :

\[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 \quad\text{et}\quad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \]

on obtient :

\[ -1+i\sqrt3=2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right). \]

Donc :

\[ z_B+1=2e^{i\frac{2\pi}{3}}. \]

Idée utile : Le complexe \(-1+i\sqrt3\) est dans le deuxième quadrant.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 2 — Calcul de l’affixe \(z_D\)

Rappel complet de la question

Avec les mêmes données de l’exercice 1, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(z_D=\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{i}{2}\right)\)

B) \(z_D=3\left(\dfrac{i}{2}-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

C) \(z_D=\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)\)

D) \(z_D=3\left(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)

Rappel utile
Pour diviser deux complexes écrits sous forme algébrique, on multiplie par le conjugué du dénominateur.

Correction

On calcule d’abord :

\[ z_D=\frac{z_B-1}{z_B+1} =\frac{-3+i\sqrt3}{-1+i\sqrt3}. \]

On multiplie par le conjugué de \(-1+i\sqrt3\) :

\[ z_D=\frac{(-3+i\sqrt3)(-1-i\sqrt3)}{(-1)^2+(\sqrt3)^2}. \]

Le dénominateur vaut :

\[ 1+3=4. \]

Le numérateur vaut :

\[ (-3+i\sqrt3)(-1-i\sqrt3)=6+2i\sqrt3. \]

Donc :

\[ z_D=\frac{6+2i\sqrt3}{4} =\frac32+i\frac{\sqrt3}{2}. \]

Or :

\[ \sqrt3\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right) =\frac32+i\frac{\sqrt3}{2}. \]

Ainsi la proposition C est vraie.

Idée utile : Le calcul direct de \(z_D\) donne une forme algébrique facile à comparer.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 3 — Alignement dans le plan complexe

Rappel complet de la question

Avec les mêmes données de l’exercice 1, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=\frac12\)

B) \(\displaystyle\frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=-\frac12\)

C) \(\displaystyle\frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=\frac{i}{2}\)

D) Les points \(C,D,E\) sont alignés.

Rappel utile
Trois points \(C,D,E\) sont alignés lorsque le quotient \(\dfrac{z_C-z_D}{z_C-z_E}\) est réel.

Correction

On a :

\[ z_C=-\overline{z_B}. \]

Comme \(z_B=-2+i\sqrt3\), alors :

\[ \overline{z_B}=-2-i\sqrt3, \]

d’où :

\[ z_C=2+i\sqrt3. \]

D’après la question précédente :

\[ z_D=\frac32+i\frac{\sqrt3}{2}, \qquad z_E=1. \]

Donc :

\[ z_C-z_D= \left(2-\frac32\right)+i\left(\sqrt3-\frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac12+i\frac{\sqrt3}{2}. \]

Et :

\[ z_C-z_E=(2-1)+i\sqrt3=1+i\sqrt3. \]

Or :

\[ 1+i\sqrt3=2\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right). \]

Ainsi :

\[ \frac{z_C-z_D}{z_C-z_E}=\frac12. \]

Le quotient est réel. Donc les points \(C,D,E\) sont alignés.

Idée utile : Le quotient réel donne en même temps la valeur \(\frac12\) et l’alignement.

Réponses correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ D}\)

Question 4 — Suite auxiliaire

Rappel complet de la question

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite numérique définie par :

\[ u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+2}. \]

Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :

\[ v_n=\frac{u_n}{u_n+1}. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\forall n\ge0,\quad v_{n+1}=\dfrac12v_n\)

B) \(\forall n\ge0,\quad v_{n+1}=1+v_n\)

C) \(\forall n\ge0,\quad v_n=\left(\dfrac12\right)^n\)

D) \(\forall n\ge0,\quad v_n=\left(\dfrac12\right)^{n+1}\)

Rappel utile
On remplace \(u_{n+1}\) par son expression dans la définition de \(v_{n+1}\).

Correction

On a :

\[ v_{n+1}=\frac{u_{n+1}}{u_{n+1}+1}. \]

Or :

\[ u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+2}. \]

Donc :

\[ v_{n+1} = \frac{\frac{u_n}{u_n+2}}{\frac{u_n}{u_n+2}+1}. \]

On simplifie le dénominateur :

\[ \frac{u_n}{u_n+2}+1 = \frac{u_n+u_n+2}{u_n+2} = \frac{2u_n+2}{u_n+2}. \]

Ainsi :

\[ v_{n+1} = \frac{u_n}{2u_n+2} = \frac12\cdot\frac{u_n}{u_n+1} = \frac12v_n. \]

Donc la proposition A est vraie.

De plus :

\[ v_0=\frac{u_0}{u_0+1}=\frac12. \]

La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac12\), donc :

\[ v_n=v_0\left(\frac12\right)^n = \left(\frac12\right)^{n+1}. \]

La proposition D est donc vraie.

Idée utile : La suite \(v_n\) est géométrique, mais son premier terme vaut \(\frac12\), pas \(1\).

Réponses correctes : \(\boxed{A\ \text{et}\ D}\)

Question 5 — Limite de la suite \(u_n\)

Rappel complet de la question

Avec la suite \((u_n)\) de l’exercice 2, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\)

B) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=0\)

C) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=-1\)

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\)

Rappel utile
On utilise le lien \(v_n=\dfrac{u_n}{u_n+1}\) pour exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\).

Correction

On sait que :

\[ v_n=\left(\frac12\right)^{n+1}. \]

Donc :

\[ v_n\to0. \]

Or :

\[ v_n=\frac{u_n}{u_n+1}. \]

On résout par rapport à \(u_n\) :

\[ v_n(u_n+1)=u_n. \]

Donc :

\[ v_nu_n+v_n=u_n. \]

Ainsi :

\[ v_n=u_n(1-v_n). \]

Donc :

\[ u_n=\frac{v_n}{1-v_n}. \]

Comme \(v_n\to0\), on obtient :

\[ u_n\to0. \]

Idée utile : La limite de \(v_n\) permet de revenir à celle de \(u_n\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 6 — Limites d’une fonction logarithmique

Rappel complet de la question

On considère la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[ f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}. \]

Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\)

B) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty\)

C) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)

D) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\)

Rappel utile
Le carré \((\ln x)^2\) est positif, et à l’infini une puissance de \(x\) domine une puissance de \(\ln x\).

Correction

Lorsque \(x\to0^+\), on a :

\[ \ln x\to-\infty. \]

Donc :

\[ (\ln x)^2\to+\infty. \]

Et comme \(x\to0^+\), on obtient :

\[ \frac{(\ln x)^2}{x}\to+\infty. \]

La proposition B est vraie.

Lorsque \(x\to+\infty\), on utilise le fait que \(x\) domine \((\ln x)^2\). Donc :

\[ \frac{(\ln x)^2}{x}\to0. \]

La proposition D est vraie.

Idée utile : Le carré de \(\ln x\) rend la limite en \(0^+\) positive infinie.

Réponses correctes : \(\boxed{B\ \text{et}\ D}\)

Question 7 — Dérivée de \(f(x)=rac{(\ln x)^2}{x}\)

Rappel complet de la question

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}\)

B) \(\displaystyle f'(x)=\frac{1+\ln x}{x^2}\)

C) \(\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}\)

D) \(\displaystyle f'(x)=\frac{\ln x(2-x\ln x)}{x^2}\)

Rappel utile
On dérive un quotient ou on écrit \(f(x)=(\ln x)^2x^{-1}\).

Correction

On écrit :

\[ f(x)=(\ln x)^2x^{-1}. \]

Alors :

\[ f'(x)=2\ln x\cdot\frac1x\cdot x^{-1}+(\ln x)^2(-x^{-2}). \]

Donc :

\[ f'(x)=\frac{2\ln x}{x^2}-\frac{(\ln x)^2}{x^2}. \]

On factorise :

\[ f'(x)=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}. \]

Idée utile : Le facteur commun est \(\frac{\ln x}{x^2}\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 8 — Intégrale logarithmique

Rappel complet de la question

Avec la fonction \(f\) de l’exercice 3, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=\frac56\)

B) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=\frac13\)

C) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=1\)

D) \(\displaystyle\int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx=e\)

Rappel utile
On utilise le changement de variable \(t=\ln x\), donc \(dt=\frac{dx}{x}\).

Correction

Posons :

\[ t=\ln x. \]

Alors :

\[ dt=\frac{dx}{x}. \]

Lorsque \(x=1\), on a \(t=0\). Lorsque \(x=e\), on a \(t=1\).

Donc :

\[ \int_1^e\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \int_0^1 t^2\,dt. \]

Ainsi :

\[ \int_0^1 t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^1 = \frac13. \]

Idée utile : La présence de \(\frac{dx}{x}\) impose naturellement le changement \(t=\ln x\).

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 9 — Loi binomiale

Rappel complet de la question

On lance un dé cubique trois fois de suite. Soit \(X\) la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le nombre \(6\) apparaît.

Les paramètres \(n\) et \(p\) de la variable aléatoire \(X\) sont :

A) \(n=3\ \text{et}\ p=\dfrac12\)

B) \(n=6\ \text{et}\ p=\dfrac12\)

C) \(n=3\ \text{et}\ p=\dfrac13\)

D) \(n=3\ \text{et}\ p=\dfrac16\)

Rappel utile
Une loi binomiale compte le nombre de succès dans \(n\) répétitions indépendantes d’une même expérience.

Correction

On lance le dé trois fois. Donc :

\[ n=3. \]

Le succès est : « obtenir le nombre \(6\) ».

Pour un dé cubique équilibré :

\[ p=P(\text{obtenir }6)=\frac16. \]

Donc :

\[ X\sim\mathcal B\left(3,\frac16\right). \]

Idée utile : Le nombre de répétitions est \(3\), et la probabilité d’obtenir \(6\) à un lancer est \(\frac16\).

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 10 — Probabilités avec une loi binomiale

Rappel complet de la question

Avec la variable aléatoire \(X\) de l’exercice 4, parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

A) \(\displaystyle P(X=2)=\frac38\)

B) \(\displaystyle P(X=2)=\frac5{72}\)

C) \(\displaystyle P(X=3)=\frac5{24}\)

D) \(\displaystyle P(X=3)=\frac1{216}\)

Rappel utile
Si \(X\sim\mathcal B(n,p)\), alors \(P(X=k)=\mathrm C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\).

Correction

D’après la question précédente :

\[ X\sim\mathcal B\left(3,\frac16\right). \]

Donc :

\[ P(X=2)=\mathrm C_3^2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right). \]

Comme \(\mathrm C_3^2=3\), on obtient :

\[ P(X=2)=3\cdot\frac1{36}\cdot\frac56 = \frac{15}{216} = \frac5{72}. \]

La proposition B est vraie.

Ensuite :

\[ P(X=3)=\mathrm C_3^3\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^0. \]

Donc :

\[ P(X=3)=\frac1{216}. \]

La proposition D est vraie.

Idée utile : On applique la formule binomiale avec \(n=3\) et \(p=\frac16\).

Réponses correctes : \(\boxed{B\ \text{et}\ D}\)

Conseil aux élèves

Dans ce format, une question peut contenir plusieurs propositions vraies. Il faut donc traiter les propositions une par une, surtout dans les questions sur les complexes, les suites et les probabilités.

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