Concours Médecine Tanger 2016 — Énoncé Mathématiques

Université Abdelmalek Essaâdi — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger.

Année universitaire 2016-2017 — Épreuve de mathématiques — Questions 1 à 16.

Compétences et points clés

Tanger Médecine 2016 commence par une réunion d’événements et une loi de variable aléatoire, puis aborde complexes et symétrie. Le sujet demande de distinguer une relation géométrique, une égalité algébrique et un résultat probabiliste.

Prérequis à revoir : événements, intersections et arbres pondérés; tableau de probabilités et moyenne pondérée; sinus, cosinus, angles et identités usuelles.

Rappels de cours utiles

Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.

Loi d’une variable aléatoire. Une loi de probabilité associe à chaque valeur possible une probabilité positive ou nulle, et leur somme vaut un. L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Pour compter des succès, il faut d’abord identifier les valeurs possibles et le modèle des essais.

Trigonométrie et signes. Les identités trigonométriques s’utilisent en conservant leur domaine de validité. Dans une expression contenant une tangente ou un quotient, exclure les zéros du dénominateur. Un angle s’interprète avec son quadrant ; une racine carrée donne une valeur positive ou nulle, ce qui peut imposer une valeur absolue.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Dans la réunion des événements, retrouver la partie commune avant de conclure à une indépendance éventuelle. Dans le tableau de loi, contrôler la somme des probabilités avant l’espérance. Pour les modules complexes, conserver les signes utiles du domaine de l’angle. La symétrie de courbe se traduit par une identité entre valeurs.

Cette page présente la transcription française de l’énoncé de la partie mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger 2016.

Les questions portent sur les probabilités, la géométrie dans l’espace, les équations différentielles, les intégrales, les nombres complexes, les suites et l’étude des fonctions.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Tanger.
Université : Université Abdelmalek Essaâdi.
Année universitaire : 2016-2017.
Épreuve : Mathématiques.
Durée indiquée pour cette épreuve : 30 minutes.
Questions : 1 à 16.

Consignes

Pour chaque question, cinq propositions sont données : A, B, C, D et E.
Une seule proposition est correcte.
Les questions 1 à 7 sont notées sur 2 points chacune.
Les questions 8 à 13 sont notées sur 0,75 point chacune.
Les questions 14 à 16 sont notées sur 0,5 point chacune.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

\(A\) et \(B\) sont deux événements liés à une même expérience aléatoire tels que :

\[ P(A)=0{,}7,\qquad P(B)=0{,}4 \qquad\text{et}\qquad P(A\cup B)=0{,}9. \]

La probabilité de \(A\), sachant que \(B\) est réalisé, est :

A) \(0{,}5\).

B) \(0{,}6\).

C) \(0{,}7\).

D) \(0{,}8\).

E) \(0{,}9\).

Question 2

Énoncé

Soit \(X\) une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

\(x_i\)	\(-1\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)
\(P(X=x_i)\)	\(\dfrac3{10}\)	\(\dfrac2{10}\)	\(\dfrac4{10}\)	\(\dfrac1{10}\)

La variance \(V(X)\) est :

A) \(1{,}89\).

B) \(2{,}34\).

C) \(3{,}25\).

D) \(1{,}54\).

E) \(2{,}69\).

Question 3

Énoncé

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\). On considère le point :

\[ M(1,0,1), \]

et la droite passant par \(A(2,0,1)\) et dirigée par le vecteur :

\[ \vec u=(2,2,1). \]

La distance du point \(M\) à cette droite est :

A) \(\dfrac{\sqrt7}{2}\).

B) \(\dfrac{\sqrt5}{9}\).

C) \(\dfrac13\).

D) \(\dfrac{\sqrt2}{2}\).

E) \(\dfrac{\sqrt5}{3}\).

Question 4

Énoncé

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\). Une sphère de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt2\) coupe le plan d’équation :

\[ 2x-2y+z+6=0. \]

L’intersection est :

A) L’ensemble vide.

B) Un cercle.

C) Une droite.

D) Un point unique.

E) Un ensemble formé de deux points.

Question 5

Énoncé

On considère une fonction \(f\) qui vérifie l’équation différentielle :

\[ y''-6y'+9y=0, \]

et dont la courbe admet, au point d’abscisse \(0\), la tangente d’équation :

\[ y=-x+3. \]

La fonction \(f\) est définie par :

A) \(f(x)=10e^{3x}-7e^{-2x}\).

B) \(f(x)=(-10x+3)e^{3x}\).

C) \(f(x)=e^{3x}-2e^{-2x}\).

D) \(f(x)=(-x+11)e^{3x}\).

E) \(f(x)=e^{3x}(3\cos2x+\sin2x)\).

Question 6

Énoncé

Calculer :

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2\sqrt{\,2+\sin x\,}}\,dx. \]

A) \(\sqrt{\pi}-1\).

B) \(2(\sqrt5-\sqrt3)\).

C) \(1\).

D) \(\sqrt3-\sqrt2\).

E) \(2\sqrt2\).

Question 7

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=\sin x. \]

Le volume du solide engendré par la rotation, autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe de \(f\) correspondant à l’intervalle \([0,\pi]\) est :

A) \(4\).

B) \(\pi^{3/2}\).

C) \(2\pi\).

D) \(\dfrac{\pi^2}{2}\).

E) \(\pi^3-\pi\).

Question 8

Énoncé

Le nombre complexe suivant est égal à :

\[ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)^9. \]

A) \(\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

B) \(i\).

C) \(-1\).

D) \(\dfrac12-i\dfrac{\sqrt3}{2}\).

E) \(-i\).

Question 9

Énoncé

Soit \(\theta\in]0,\pi[\). Le module du nombre complexe :

\[ \frac{1-e^{2i\theta}}{1-e^{i\theta}} \]

est :

A) \(2\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\).

B) \(2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\).

C) \(\tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\).

D) \(\cos\theta\).

E) \(1\).

Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}. \]

A) \(1\).

B) \(0\).

C) \(+\infty\).

D) \(e\).

E) La suite n’admet pas de limite.

Question 11

Énoncé

On considère la suite numérique \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=4 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=\frac{2u_n+1}{u_n-2} \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

A) \((u_n)\) est strictement croissante.

B) \((u_n)\) est strictement décroissante.

C) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2\).

D) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

E) La suite n’admet pas de limite.

Question 12

Énoncé

On considère la fonction \(f\) définie par :

\[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x-1}, & x\ne1,\\[6pt] a, & x=1. \end{cases} \]

La valeur de \(a\) pour laquelle \(f\) est continue en \(1\) est :

A) \(\dfrac{3\pi}{2}\).

B) \(-\pi\).

C) \(-\dfrac{\pi}{2}\).

D) \(2\pi\).

E) \(-1\).

Question 13

Énoncé

L’équation :

\[ x^5-5x-1=0 \]

admet :

A) Cinq solutions dans \(\mathbb R\).

B) Quatre solutions dans \(\mathbb R\).

C) Une unique solution dans \([-2,2]\).

D) Trois solutions dans \(\mathbb R\).

E) Deux solutions dans \(\mathbb R\).

Question 14

Énoncé

On considère la fonction numérique définie par :

\[ f(x)=\left|x^3-8\right|. \]

A) \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).

B) \(f\) est strictement décroissante.

C) \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).

D) \(f\) n’est pas dérivable en \(2\).

E) \(f\) est strictement croissante.

Question 15

Énoncé

On considère la fonction numérique définie par :

\[ f(x)=e^{\sqrt{x^2+1}}. \]

Sa dérivée est :

A) \(\displaystyle f'(x)=e^{\sqrt{x^2+1}}\).

B) \(\displaystyle f'(x)=2x\,e^{\sqrt{x^2+1}}\).

C) \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\,e^{\sqrt{x^2+1}}\).

D) \(\displaystyle f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,e^{\sqrt{x^2+1}}\).

E) \(\displaystyle f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+1}}\,e^{\sqrt{x^2+1}}\).

Question 16

Énoncé

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb R\). La droite d’équation \(x=a\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\) si, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

A) \(f(x)=f(2a-x)\).

B) \(f(x)=f(2a+x)\).

C) \(f(x)=f(x-a)\).

D) \(f(x)=-f(x-2a)\).

E) \(f(x)=f(a+x)\).

Conseil aux élèves

Cette épreuve comporte plusieurs questions courtes et indépendantes. Il faut identifier rapidement la propriété utile, contrôler les conditions d’application et éviter les calculs inutilement longs.

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