Correction Concours Médecine Tanger 2016 — Mathématiques
Université Abdelmalek Essaâdi — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger.
Année universitaire 2016-2017 — Correction détaillée des questions 1 à 16.
Cette page présente la correction pédagogique de la partie mathématiques du concours Médecine Tanger 2016.
Chaque question est reprise avec ses propositions, un rappel utile, une correction détaillée et la réponse finale. Les notions extérieures au programme du baccalauréat marocain sont expliquées avant leur utilisation.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Probabilité conditionnelle
\(P(A)=0{,}7\), \(P(B)=0{,}4\) et \(P(A\cup B)=0{,}9\). Calculer \(P(A\mid B)\).
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \] et, si \(P(B)\ne0\), \[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}. \]
Donc :
\[ P(A\mid B)=\frac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5. \]Question 2 — Variance d’une variable aléatoire
| \(x_i\) | \(-1\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac3{10}\) | \(\dfrac2{10}\) | \(\dfrac4{10}\) | \(\dfrac1{10}\) |
Calculer \(V(X)\).
\[ V(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2. \]
Ainsi :
\[ V(X)=3{,}5-(0{,}9)^2=3{,}5-0{,}81=2{,}69. \]Question 3 — Distance d’un point à une droite dans l’espace
On considère \(M(1,0,1)\), la droite passant par \(A(2,0,1)\) et dirigée par \(\vec u=(2,2,1)\). Calculer la distance de \(M\) à cette droite.
La distance d’un point \(M\) à une droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) est : \[ d(M,\Delta)=\frac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}. \]
On écrit :
\[ \overrightarrow{AM} =-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM} =(-1,0,0). \] \[ \overrightarrow{AM}\wedge\vec u = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ -1&0&0\\ 2&2&1 \end{vmatrix} =(0,1,-2). \]Donc :
\[ \|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|=\sqrt5, \qquad \|\vec u\|=\sqrt{4+4+1}=3. \] \[ d(M,\Delta)=\frac{\sqrt5}{3}. \]Question 4 — Intersection d’une sphère et d’un plan
Une sphère de centre \(O\) et de rayon \(\sqrt2\) coupe le plan \(2x-2y+z+6=0\). Déterminer l’intersection.
On compare la distance du centre de la sphère au plan avec le rayon \(R\).
Or :
\[ R=\sqrt2 \qquad\text{et}\qquad 2\gt\sqrt2. \]Le plan est donc extérieur à la sphère. Leur intersection est vide.
Question 5 — Équation différentielle du second ordre
\(f\) vérifie \(y''-6y'+9y=0\), et sa courbe admet en \(x=0\) la tangente \(y=-x+3\).
Pour une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, on associe l’équation caractéristique. Ici : \[ r^2-6r+9=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (r-3)^2=0. \] Lorsque la racine \(r=3\) est double, les solutions sont de la forme : \[ y(x)=(ax+b)e^{3x}. \]
L’équation de la tangente en \(0\) donne :
\[ f(0)=3 \qquad\text{et}\qquad f'(0)=-1. \]Avec \(f(x)=(ax+b)e^{3x}\), on a :
\[ f(0)=b=3. \] \[ f'(x)=\bigl(a+3ax+3b\bigr)e^{3x}, \] donc : \[ f'(0)=a+3b=-1. \]Comme \(b=3\), alors :
\[ a+9=-1 \quad\Longrightarrow\quad a=-10. \]Ainsi :
\[ f(x)=(-10x+3)e^{3x}. \]Question 6 — Intégrale par changement de variable
On reconnaît la dérivée de \(2+\sin x\), qui est \(\cos x\).
Une primitive de la fonction intégrée est :
\[ \sqrt{2+\sin x}, \] car : \[ \left(\sqrt{2+\sin x}\right)' =\frac{\cos x}{2\sqrt{2+\sin x}}. \]Donc :
\[ I=\left[\sqrt{2+\sin x}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\sqrt3-\sqrt2. \]Question 7 — Volume d’un solide de révolution
On fait tourner autour de l’axe des abscisses la portion de la courbe \(y=\sin x\) correspondant à \([0,\pi]\). Calculer le volume obtenu.
Pour la rotation autour de l’axe des abscisses de la courbe \(y=f(x)\ge0\) sur \([a,b]\), la méthode des disques donne : \[ V=\pi\int_a^b\bigl(f(x)\bigr)^2\,dx. \] Chaque section perpendiculaire à l’axe des abscisses est un disque de rayon \(f(x)\), donc d’aire \(\pi f(x)^2\).
On utilise :
\[ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}. \]Ainsi :
\[ \int_0^\pi\sin^2x\,dx = \left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_0^\pi =\frac{\pi}{2}. \]Par conséquent :
\[ V=\pi\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}. \]Question 8 — Forme trigonométrique d’un complexe
\[ \frac12+i\frac{\sqrt3}{2} =\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}. \] On applique la formule de Moivre.
Question 9 — Module d’un nombre complexe
Pour \(\theta\in]0,\pi[\), calculer :
\[ \left|\frac{1-e^{2i\theta}}{1-e^{i\theta}}\right|. \]On factorise \(1-e^{2i\theta}\), puis on utilise : \[ 1+e^{i\theta}=2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}. \]
Comme \(\theta\in]0,\pi[\), on a \(e^{i\theta}\ne1\). Donc :
\[ \frac{1-e^{2i\theta}}{1-e^{i\theta}} = \frac{(1-e^{i\theta})(1+e^{i\theta})}{1-e^{i\theta}} = 1+e^{i\theta}. \]Or :
\[ 1+e^{i\theta} = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\theta/2}. \]Comme \(\dfrac{\theta}{2}\in]0,\dfrac{\pi}{2}[\), le cosinus est positif. Ainsi :
\[ \left|1+e^{i\theta}\right| = 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right). \]Question 10 — Limite d’une puissance
\[ \left(1+\frac1n\right)^n\longrightarrow e. \]
La quantité entre crochets tend vers \(e\gt1\). Elle est donc supérieure à un nombre strictement supérieur à \(1\) à partir d’un certain rang. Sa puissance \(n\)-ième tend alors vers \(+\infty\).
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n^2}=+\infty. \]Question 11 — Suite périodique
Il suffit ici de calculer les premiers termes et d’observer leur répétition.
On retrouve donc \(u_2=u_0\). La récurrence impose alors :
\[ u_{2n}=4, \qquad u_{2n+1}=\frac92. \]Les sous-suites paire et impaire ont des limites différentes. Par conséquent, \((u_n)\) n’admet pas de limite.
Question 12 — Continuité en un point
Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
La continuité en \(1\) impose : \[ a=f(1)=\lim_{x\to1}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x-1}. \]
Posons \(h=x-1\). Alors \(h\to0\) et :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi h}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right). \]Donc :
\[ \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{x-1} = -\frac{\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)}{h} = -\frac{\pi}{2} \frac{\sin\left(\frac{\pi h}{2}\right)}{\frac{\pi h}{2}}. \]Comme \(\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\), on obtient :
\[ a=-\frac{\pi}{2}. \]Question 13 — Nombre de solutions d’une équation
On étudie les variations de \(g(x)=x^5-5x-1\), puis on applique le théorème des valeurs intermédiaires.
Comme \(x^2+1\gt0\), la fonction \(g\) est :
— croissante sur \(]-\infty,-1]\) ;
— décroissante sur \([-1,1]\) ;
— croissante sur \([1,+\infty[\).
De plus :
\[ g(-2)=-23,\qquad g(-1)=3, \] \[ g(1)=-5,\qquad g(2)=21. \]Il existe donc une solution dans chacun des intervalles :
\[ ]-2,-1[,\qquad ]-1,1[,\qquad ]1,2[. \]La stricte monotonie sur chacun des trois intervalles de variation montre que chacune de ces solutions est unique. L’équation possède donc exactement trois solutions réelles.
Question 14 — Dérivabilité d’une valeur absolue
Le signe de \(x^3-8\) change en \(x=2\).
La dérivée à gauche en \(2\) vaut :
\[ f'_g(2)=-3(2)^2=-12. \]La dérivée à droite en \(2\) vaut :
\[ f'_d(2)=3(2)^2=12. \]Ces deux nombres sont différents. La fonction n’est donc pas dérivable en \(2\).
Question 15 — Dérivée d’une fonction composée
Si \(f=e^u\), alors \(f'=u'e^u\).
Posons :
\[ u(x)=\sqrt{x^2+1}. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]Par conséquent :
\[ f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}e^{\sqrt{x^2+1}}. \]Question 16 — Axe de symétrie d’une courbe
La droite \(x=a\) est un axe de symétrie de la courbe de \(f\) si, pour tout \(x\in\mathbb R\) :
Deux abscisses symétriques par rapport à \(a\) sont \(x\) et \(2a-x\).
La symétrie par rapport à la droite verticale \(x=a\) conserve l’ordonnée. Les points d’abscisses \(x\) et \(2a-x\) doivent donc avoir la même image :
\[ f(x)=f(2a-x). \]Cette condition est équivalente à :
\[ f(a+h)=f(a-h) \quad\text{pour tout }h\in\mathbb R. \]Conseil aux élèves
Cette épreuve combine des questions classiques du baccalauréat et quelques notions supplémentaires. Il faut d’abord reconnaître le chapitre concerné, vérifier les conditions d’application, puis effectuer un calcul court et contrôlé. Pour les questions hors programme, la formule nécessaire doit être comprise avant d’être appliquée.
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