Concours Médecine Tanger 2018 — Énoncé Mathématiques

Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger — épreuve de mathématiques.

Année universitaire 2018-2019 — Questions 1 à 16.

Compétences et points clés

Tanger Médecine 2018 comprend une équation logarithmique, une fonction à racine, des modules complexes et un conditionnement hospitalier. Le sujet demande de distinguer les propriétés globales des fonctions des valeurs obtenues en un seul point.

Prérequis à revoir : continuité, dérivée et tableau de variations; limites, division et différence de fonctions; événements, intersections et arbres pondérés.

Rappels de cours utiles

Existence et unicité. Sur un segment, la continuité et des valeurs encadrant la cible permettent d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir une solution. La stricte monotonie sur l’intervalle concerné permet d’en garantir l’unicité. Existence et unicité sont deux étapes distinctes du raisonnement.

Branches infinies. Pour une asymptote oblique, contrôler la limite de la différence entre la fonction et la droite candidate. La limite du quotient par x indique une direction, mais ne suffit pas à établir l’équation complète de l’asymptote. Les comportements aux deux infinis se traitent séparément lorsque le domaine le demande.

Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Pour l’équation logarithmique, déterminer le domaine puis étudier l’existence et le nombre de solutions. Pour la fonction à racine, contrôler la différence avec une droite candidate avant de conclure à une asymptote. Dans les hôpitaux, construire les branches avec leurs proportions puis conditionner par l’événement demandé.

Cette page présente l’énoncé de l’épreuve de mathématiques du concours d’accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger 2018.

Les questions portent sur les fonctions, intégrales, suites, nombres complexes, géométrie de l’espace, probabilités et dénombrement.

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Données de l’énoncé

Concours : Médecine et Pharmacie.
Ville : Tanger.
Année universitaire : 2018-2019.
Épreuve : Mathématiques.
Questions : 1 à 16.
Durée indiquée : 2 heures.

Consignes

L’épreuve de mathématiques comporte 16 questions.
Pour chaque question, cinq réponses sont proposées : A, B, C, D et E.
Une seule réponse est retenue pour chaque question.

Énoncé — Mathématiques

Question 1

Énoncé

L’équation

\[ x\log(1+x^2)-1=0,\qquad x\in\mathbb R \]

A) admet deux solutions.

B) n’admet pas de solutions.

C) admet trois solutions.

D) admet quatre solutions.

E) admet une solution unique.

Question 2

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=\sqrt{x^2+x+1}. \]

A) La courbe de \(f\) admet une branche parabolique au voisinage de \(+\infty\).

B) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\).

C) La droite d’équation \(x=-\dfrac12\) est un axe de symétrie de la courbe de \(f\).

D) Le point \(\Omega(-1;2)\) est un centre de symétrie de la courbe de \(f\).

E) La courbe de \(f\) admet une asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\), d’équation \(y=x\).

Question 3

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie par :

\[ f(x)=|x^2-3x+2|. \]

A) \(f\) est une fonction paire.

B) La courbe de \(f\) admet un axe de symétrie.

C) La courbe de \(f\) admet un centre de symétrie.

D) La courbe de \(f\) admet une asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\).

E) \(f'(x)=2x-3,\ \forall x\in\mathbb R\).

Question 4

Énoncé

Soit

\[ I=\int_0^1 x^2e^x\,dx. \]

On a :

A) \(I=1-e\)

B) \(I=\log2\)

C) \(I=0\)

D) \(I=e-2\)

E) \(I=e+1\)

Question 5

Énoncé

Soit \(f\) la solution de l’équation différentielle

\[ y''-2y'+2y=0, \]

qui admet en \(x=0\) une tangente à sa courbe d’équation \(y=-x+3\). La fonction \(f\) est définie par :

A) \(f(x)=e^x+2e^{-x}\)

B) \(f(x)=4e^x-e^{-2x}\)

C) \(f(x)=(x+3)e^{-x}\)

D) \(f(x)=e^x(3\cos x-4\sin x)\)

E) \(f(x)=3e^x\cos x\)

Question 6

Énoncé

Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite définie par :

\[ u_1=\frac12,\qquad u_{n+1}=\frac{1-u_n}{1+u_n},\quad \forall n\ge1. \]

On a :

A) La suite \((u_n)_{n\ge1}\) n’a pas de limite.

B) \(\displaystyle u_n=\frac1{-n^2+5n-2},\ \forall n\ge1.\)

C) La suite \((u_n)_{n\ge1}\) est strictement croissante.

D) \(\displaystyle u_n=\frac1{n+1},\ \forall n\ge1.\)

E) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\sqrt2-1.\)

Question 7

Énoncé

Soit

\[ u_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\qquad n\ge1. \]

On a :

A) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).

B) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1\).

C) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=e\).

D) La suite \((u_n)_{n\ge1}\) n’admet pas de limite.

E) La suite \((u_n)_{n\ge1}\) est décroissante.

Question 8

Énoncé

Soit

\[ Z=\frac{(1-i\sqrt3)^5}{(-\sqrt3+i)^6}. \]

On a :

A) \(Z=\sqrt3+i\)

B) \(Z=\dfrac13(1+i\sqrt3)\)

C) \(Z=-3-i3\sqrt3\)

D) \(Z=-\dfrac14(1+i\sqrt3)\)

E) \(Z=-4-i4\sqrt3\)

Question 9

Énoncé

Le module du nombre complexe

\[ \frac{1-e^{6i\pi/5}}{1-e^{4i\pi/5}} \]

est égal à :

A) \(\cos\frac{2\pi}{5}\)

B) \(1\)

C) \(\tan\frac{\pi}{5}\)

D) \(\frac12\)

E) \(\sin\frac{4\pi}{5}\)

Question 10

Énoncé

L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère la sphère \(S\) :

\[ x^2+y^2+z^2-2y-2z-2=0, \]

et le plan \(P\) d’équation \(x=-2\). Alors :

A) \(P\) passe par le centre de \(S\).

B) \(P\cap S\) est constitué de deux points.

C) \(P\cap S=\varnothing\).

D) \(P\cap S\) est une droite.

E) \(P\cap S\) est constitué d’un point.

Question 11

Énoncé

L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les deux sphères :

\[ S_1:x^2+y^2+z^2-2y-8=0 \]

\[ S_2:x^2+y^2+z^2-4y+3=0. \]

Alors :

A) \(S_1\cap S_2=\varnothing\).

B) \(S_1\cap S_2\) est un cercle.

C) \(S_1\) coupe \(S_2\) en un point unique.

D) \(S_1\cap S_2\) est une droite.

E) \(S_1\) coupe \(S_2\) en deux points.

Question 12

Énoncé

L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\). L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) vérifiant l’équation :

\[ x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+14=0 \]

est :

A) une droite

B) une sphère

C) l’ensemble vide

D) un point

E) un plan

Question 13

Énoncé

Dans une usine, \(50\%\) des ouvriers parlent le français, \(20\%\) parlent l’anglais, \(45\%\) ne parlent ni le français ni l’anglais. Alors, le pourcentage des ouvriers qui parlent à la fois le français et l’anglais est :

A) 10%

B) 15%

C) 20%

D) 25%

E) 30%

Question 14

Énoncé

La probabilité pour qu’un étudiant soit admis dans l’école \(A\) est \(0{,}5\), et la probabilité pour que le même étudiant soit admis dans l’école \(B\) est \(0{,}2\). On suppose que l’admission dans l’école \(A\) et l’admission dans l’école \(B\) sont deux événements indépendants.

La probabilité pour que cet étudiant ne soit admis dans aucune des deux écoles est :

A) 0.1

B) 0.28

C) 0.31

D) 0.4

E) 0.42

Question 15

Énoncé

Une urne contient cinq boules rouges et trois boules vertes. On tire successivement sans remise, trois boules de cette urne. La probabilité d’avoir trois boules de même couleur est :

A) \(\dfrac8{56}\)

B) \(\dfrac9{56}\)

C) \(\dfrac{10}{56}\)

D) \(\dfrac{11}{56}\)

E) \(\dfrac{12}{56}\)

Question 16

Énoncé

Une ville dispose de deux hôpitaux \(H_1\) et \(H_2\). \(H_1\) reçoit \(70\%\) des malades, \(H_2\) reçoit le reste des malades ; \(5\%\) des malades reçus par \(H_1\) sont des étrangers ; \(1\%\) des malades reçus par \(H_2\) sont des étrangers.

La probabilité qu’un malade, choisi au hasard, soit reçu par \(H_2\), sachant qu’il est étranger, est égale à :

A) \(\dfrac1{38}\)

B) \(\dfrac2{38}\)

C) \(\dfrac3{38}\)

D) \(\dfrac4{38}\)

E) \(\dfrac5{38}\)

Conseil aux élèves

Dans cette épreuve, plusieurs questions demandent un contrôle rapide : dérivée, limite, interprétation géométrique ou formule de probabilité.

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