Correction Concours Médecine Tanger 2018 — Mathématiques
Faculté de Médecine et de Pharmacie de Tanger — année universitaire 2018-2019.
Correction détaillée des questions 1 à 16.
Cette page présente la correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du concours Médecine Tanger 2018.
Chaque question est traitée avec un rappel utile, une correction détaillée et une réponse finale.
Tableau des réponses finales
Correction détaillée question par question
Question 1 — Équation avec logarithme
L’équation
\[ x\log(1+x^2)-1=0,\qquad x\in\mathbb R \]:
On étudie la fonction associée en séparant le signe de \(x\) et la croissance sur \(]0,+\infty[\).
Posons :
\[ g(x)=x\log(1+x^2)-1. \]Si \(x\lt0\), alors \(\log(1+x^2)\gt0\), donc :
\[ x\log(1+x^2)\lt0. \]Dans ce cas, on ne peut pas avoir \(x\log(1+x^2)=1\).
Pour \(x=0\), on a \(g(0)=-1\).
Pour \(x\gt0\), on dérive :
\[ g'(x)=\log(1+x^2)+\frac{2x^2}{1+x^2}. \]Cette dérivée est strictement positive sur \(]0,+\infty[\). Donc \(g\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
De plus :
\[ g(0)=-1 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. \]Il existe donc une seule solution réelle.
Question 2 — Symétrie d’une courbe
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=\sqrt{x^2+x+1}. \]Une fonction écrite avec \(\left(x+\frac12\right)^2\) fait apparaître un axe de symétrie vertical.
On complète le carré :
\[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34. \]Donc :
\[ f(x)=\sqrt{\left(x+\frac12\right)^2+\frac34}. \]L’expression dépend de \(\left(x+\frac12\right)^2\). La courbe est donc symétrique par rapport à la droite :
\[ x=-\frac12. \]La proposition C est correcte.
De plus :
\[ \frac{f(x)}{x}\to1 \quad (x\to+\infty), \]donc la proposition B est fausse.
Enfin :
\[ f(x)-x=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1}+x}\to\frac12. \]L’asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\) est donc \(y=x+\frac12\), et non \(y=x\). La proposition E est fausse.
Question 3 — Fonction avec valeur absolue
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=|x^2-3x+2|. \]Le trinôme \(x^2-3x+2\) possède un axe de symétrie vertical, conservé par la valeur absolue.
On écrit :
\[ x^2-3x+2=\left(x-\frac32\right)^2-\frac14. \]Donc :
\[ f(x)=\left|\left(x-\frac32\right)^2-\frac14\right|. \]L’expression dépend de \(\left(x-\frac32\right)^2\). La courbe admet donc l’axe de symétrie :
\[ x=\frac32. \]La proposition B est correcte.
La fonction n’est pas paire, car l’axe de symétrie n’est pas l’axe des ordonnées.
La fonction n’admet pas d’asymptote oblique au voisinage de \(+\infty\), car elle se comporte comme un trinôme du second degré.
Enfin, à cause de la valeur absolue, la dérivée n’est pas donnée par \(2x-3\) sur tout \(\mathbb R\).
Question 4 — Intégration par parties
Soit
\[ I=\int_0^1 x^2e^x\,dx. \]On a :
Pour intégrer \(x^2e^x\), on cherche une primitive de la forme \(e^x(ax^2+bx+c)\).
Une primitive de \(x^2e^x\) est :
\[ e^x(x^2-2x+2). \]Donc :
\[ I=\left[e^x(x^2-2x+2)\right]_0^1. \]Pour \(x=1\) :
\[ e(1-2+2)=e. \]Pour \(x=0\) :
\[ 1(0-0+2)=2. \]Ainsi :
\[ I=e-2. \]Question 5 — Équation différentielle
Soit \(f\) la solution de l’équation différentielle
\[ y''-2y'+2y=0, \]qui admet en \(x=0\) une tangente à sa courbe d’équation \(y=-x+3\). La fonction \(f\) est définie par :
Une tangente \(y=-x+3\) en \(x=0\) donne \(f(0)=3\) et \(f'(0)=-1\).
L’équation caractéristique est :
\[ r^2-2r+2=0. \]Ses racines sont :
\[ r=1-i,\qquad r=1+i. \]Donc :
\[ f(x)=e^x(A\cos x+B\sin x). \]La tangente en \(x=0\) est \(y=-x+3\), donc :
\[ f(0)=3,\qquad f'(0)=-1. \]Or :
\[ f(0)=A. \]Donc \(A=3\).
De plus :
\[ f'(0)=A+B. \]Donc :
\[ 3+B=-1, \qquad B=-4. \]Ainsi :
\[ f(x)=e^x(3\cos x-4\sin x). \]Question 6 — Suite récurrente
Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite définie par :
\[ u_1=\frac12,\qquad u_{n+1}=\frac{1-u_n}{1+u_n},\quad \forall n\ge1. \]On a :
On calcule les premiers termes pour identifier le comportement de la suite.
On calcule :
\[ u_1=\frac12. \]Alors :
\[ u_2=\frac{1-\frac12}{1+\frac12}=\frac13. \]Puis :
\[ u_3=\frac{1-\frac13}{1+\frac13}=\frac12. \]Donc :
\[ u_1=\frac12,\quad u_2=\frac13,\quad u_3=\frac12,\quad u_4=\frac13. \]La suite alterne entre deux valeurs différentes. Elle n’admet donc pas de limite.
Question 7 — Limite classique
Soit
\[ u_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\qquad n\ge1. \]On a :
On utilise la limite classique qui définit le nombre \(e\).
On sait que :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=e. \]Question 8 — Puissances de nombres complexes
Soit
\[ Z=\frac{(1-i\sqrt3)^5}{(-\sqrt3+i)^6}. \]On a :
On écrit les deux nombres complexes sous forme trigonométrique.
On a :
\[ 1-i\sqrt3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right). \]Donc :
\[ (1-i\sqrt3)^5=2^5e^{-5i\pi/3}. \]Aussi :
\[ -\sqrt3+i=2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right). \]Donc :
\[ (-\sqrt3+i)^6=2^6e^{5i\pi}=-64. \]De plus :
\[ 2^5e^{-5i\pi/3}=32e^{i\pi/3}=16(1+i\sqrt3). \]Ainsi :
\[ Z=\frac{16(1+i\sqrt3)}{-64} =-\frac14(1+i\sqrt3). \]Question 9 — Module d’un quotient complexe
Le module du nombre complexe
\[ \frac{1-e^{6i\pi/5}}{1-e^{4i\pi/5}} \]est égal à :
On utilise \(|1-e^{i\theta}|=2\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\).
On a :
\[ \left|1-e^{6i\pi/5}\right| = 2\left|\sin\frac{3\pi}{5}\right|. \]Or :
\[ \sin\frac{3\pi}{5}=\sin\frac{2\pi}{5}. \]De plus :
\[ \left|1-e^{4i\pi/5}\right| = 2\left|\sin\frac{2\pi}{5}\right|. \]Donc le module du quotient est :
\[ \frac{2\sin\frac{2\pi}{5}}{2\sin\frac{2\pi}{5}}=1. \]Question 10 — Plan tangent à une sphère
L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère la sphère \(S\) :
\[ x^2+y^2+z^2-2y-2z-2=0, \]et le plan \(P\) d’équation \(x=-2\). Alors :
On compare la distance du centre de la sphère au plan avec le rayon de la sphère.
On complète les carrés :
\[ x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=4. \]La sphère a pour centre :
\[ C(0,1,1) \]et pour rayon :
\[ R=2. \]La distance de \(C\) au plan \(x=-2\) est :
\[ d(C,P)=|0+2|=2. \]Donc :
\[ d(C,P)=R. \]Le plan est tangent à la sphère. L’intersection est constituée d’un point unique.
Question 11 — Position relative de deux sphères
L’espace est rapporté à un repère orthonormé. On considère les deux sphères :
\[ S_1:x^2+y^2+z^2-2y-8=0 \]et
\[ S_2:x^2+y^2+z^2-4y+3=0. \]Alors :
On détermine les centres et les rayons, puis on compare la distance des centres avec les rayons.
Pour \(S_1\), on écrit :
\[ x^2+(y-1)^2+z^2=9. \]Donc \(S_1\) a pour centre \(C_1(0,1,0)\) et rayon \(R_1=3\).
Pour \(S_2\), on écrit :
\[ x^2+(y-2)^2+z^2=1. \]Donc \(S_2\) a pour centre \(C_2(0,2,0)\) et rayon \(R_2=1\).
La distance entre les centres est :
\[ C_1C_2=1. \]Or :
\[ C_1C_2+R_2=2\lt R_1. \]La petite sphère est strictement à l’intérieur de la grande, sans contact.
Donc :
\[ S_1\cap S_2=\varnothing. \]Question 12 — Équation réduite à un point
L’espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\). L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) vérifiant l’équation :
\[ x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+14=0 \]est :
On complète les carrés pour identifier la nature de l’ensemble.
On complète les carrés :
\[ x^2-2x=(x-1)^2-1, \] \[ y^2-4y=(y-2)^2-4, \] \[ z^2-6z=(z-3)^2-9. \]Donc l’équation devient :
\[ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2-1-4-9+14=0. \]Donc :
\[ (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=0. \]Une somme de carrés est nulle si et seulement si chaque carré est nul. Donc :
\[ x=1,\qquad y=2,\qquad z=3. \]L’ensemble est réduit à un seul point.
Question 13 — Pourcentage et inclusion-exclusion
Dans une usine, \(50\%\) des ouvriers parlent le français, \(20\%\) parlent l’anglais, \(45\%\) ne parlent ni le français ni l’anglais. Alors, le pourcentage des ouvriers qui parlent à la fois le français et l’anglais est :
On utilise la formule \(P(F\cup A)=P(F)+P(A)-P(F\cap A)\).
Si \(45\%\) des ouvriers ne parlent ni français ni anglais, alors :
\[ P(F\cup A)=100\%-45\%=55\%. \]Or :
\[ P(F\cup A)=P(F)+P(A)-P(F\cap A). \]Donc :
\[ 55=50+20-P(F\cap A). \]Ainsi :
\[ P(F\cap A)=15. \]Le pourcentage demandé est donc \(15\%\).
Question 14 — Indépendance
La probabilité pour qu’un étudiant soit admis dans l’école \(A\) est \(0{,}5\), et la probabilité pour que le même étudiant soit admis dans l’école \(B\) est \(0{,}2\). On suppose que l’admission dans l’école \(A\) et l’admission dans l’école \(B\) sont deux événements indépendants.
La probabilité pour que cet étudiant ne soit admis dans aucune des deux écoles est :
Si deux événements sont indépendants, leurs complémentaires le sont aussi.
On cherche :
\[ P(\overline A\cap\overline B). \]Comme les événements sont indépendants :
\[ P(\overline A\cap\overline B)=P(\overline A)P(\overline B). \]Or :
\[ P(\overline A)=1-0{,}5=0{,}5, \]et :
\[ P(\overline B)=1-0{,}2=0{,}8. \]Donc :
\[ P(\overline A\cap\overline B)=0{,}5\times0{,}8=0{,}4. \]Question 15 — Tirage sans remise
Une urne contient cinq boules rouges et trois boules vertes. On tire successivement sans remise, trois boules de cette urne. La probabilité d’avoir trois boules de même couleur est :
Trois boules de même couleur signifie : trois rouges ou trois vertes.
Le nombre total de tirages de trois boules parmi huit est :
\[ \mathrm{C}_{8}^{3}=56. \]Le nombre de tirages avec trois boules rouges est :
\[ \mathrm{C}_{5}^{3}=10. \]Le nombre de tirages avec trois boules vertes est :
\[ \mathrm{C}_{3}^{3}=1. \]Donc le nombre de cas favorables est :
\[ 10+1=11. \]La probabilité cherchée est :
\[ \frac{11}{56}. \]Question 16 — Probabilité conditionnelle
Une ville dispose de deux hôpitaux \(H_1\) et \(H_2\). \(H_1\) reçoit \(70\%\) des malades, \(H_2\) reçoit le reste des malades ; \(5\%\) des malades reçus par \(H_1\) sont des étrangers ; \(1\%\) des malades reçus par \(H_2\) sont des étrangers.
La probabilité qu’un malade, choisi au hasard, soit reçu par \(H_2\), sachant qu’il est étranger, est égale à :
On applique la formule de Bayes.
On note \(E\) l’événement « le malade est étranger ».
On a :
\[ P(H_1)=0{,}7,\qquad P(H_2)=0{,}3. \]De plus :
\[ P(E|H_1)=0{,}05,\qquad P(E|H_2)=0{,}01. \]Donc :
\[ P(E)=0{,}7\times0{,}05+0{,}3\times0{,}01. \]Ainsi :
\[ P(E)=0{,}035+0{,}003=0{,}038. \]Par la formule de Bayes :
\[ P(H_2|E)=\frac{P(H_2)P(E|H_2)}{P(E)} = \frac{0{,}3\times0{,}01}{0{,}038}. \]Donc :
\[ P(H_2|E)=\frac{0{,}003}{0{,}038} = \frac3{38}. \]Conseil aux élèves
Dans cette épreuve, les questions mélangent analyse, géométrie, complexes et probabilités. Le plus efficace est d’identifier rapidement l’outil adapté, puis de comparer le résultat avec les propositions.
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